Nombres complexes | BTS | Mathématiques
Dernière mise à jour : 21 octobre 2026
Un bureau d'études modélise le régime transitoire d'un système mécanique amorti. Les calculs suivants interviennent dans cette étude. On pose \(z_1 = 3 - 4j\) et \(z_2 = 1 + 2j\).
1. Calculer \(z_1 + z_2\) et \(z_1 \times z_2\) sous forme algébrique. (1,5 pt)
2. Donner le conjugué \(\bar{z}_1\) et calculer le module \(|z_1|\). (1 pt)
3. L'équation caractéristique du système s'écrit \(z^2 - 6z + 34 = 0\). La résoudre dans \(\mathbb{C}\), puis vérifier les deux racines trouvées à l'aide de leur somme et de leur produit. (2,5 pt)
1. \(z_1 + z_2 = (3-4j) + (1+2j) = 4 - 2j\).
\(z_1 \times z_2 = (3-4j)(1+2j) = 3 + 6j - 4j - 8j^2 = 3 + 2j + 8 = 11 + 2j\) (car \(j^2=-1\)).
2. \(\bar{z}_1 = 3 + 4j\). \(|z_1| = \sqrt{3^2+(-4)^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5\).
3. \(\Delta = (-6)^2 - 4\times1\times34 = 36 - 136 = -100 < 0\), donc \(\Delta' = 100\) et \(\sqrt{\Delta'} = 10\).
\[z_1 = \frac{6+10j}{2} = 3+5j \qquad z_2 = \frac{6-10j}{2} = 3-5j = \bar{z}_1\]Vérification : \(z_1+z_2 = 6 = -\dfrac{b}{a}\) ✓ et \(z_1\times z_2 = (3+5j)(3-5j) = 9-25j^2 = 9+25 = 34 = \dfrac{c}{a}\) ✓.
Un technicien en automatismes représente des signaux sinusoïdaux par des nombres complexes en notation exponentielle, ce qui simplifie les calculs de déphasage et de composition de signaux.
1. Écrire \(z = -1 + j\sqrt{3}\) sous forme exponentielle (on détaillera le calcul du module et de l'argument). (2 pt)
2. On donne \(z_1 = 4\,e^{j\pi/3}\) et \(z_2 = 2\,e^{j\pi/6}\). Calculer, sous forme exponentielle, \(z_1 \times z_2\), \(\dfrac{z_1}{z_2}\) et \(z_1^{\,3}\), puis donner la forme algébrique de \(z_1^{\,3}\). (3 pt)
1. \(|z| = \sqrt{(-1)^2+(\sqrt3)^2} = \sqrt{1+3} = \sqrt{4} = 2\).
\(\cos\theta = \dfrac{-1}{2}\) et \(\sin\theta = \dfrac{\sqrt3}{2}\) : ces deux valeurs correspondent à \(\theta = \dfrac{2\pi}{3}\) (2\(^\text{e}\) quadrant).
\[\boxed{z = 2\,e^{j2\pi/3}}\]2. \(z_1 \times z_2 = 4\times2\,e^{j(\pi/3+\pi/6)} = 8\,e^{j\pi/2}\).
\(\dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{4}{2}\,e^{j(\pi/3-\pi/6)} = 2\,e^{j\pi/6}\).
\(z_1^{\,3} = 4^3\,e^{j\times3\times\pi/3} = 64\,e^{j\pi}\).
Forme algébrique : \(64\,e^{j\pi} = 64(\cos\pi + j\sin\pi) = 64\times(-1+0j)\), soit :
\[\boxed{z_1^{\,3} = -64}\]Un technicien en CAO/DAO conçoit une plaque de renfort triangulaire pour un support métallique. Dans le plan complexe (repère orthonormé \((O\,;\,\vec{u},\vec{v})\)), les trois sommets ont pour affixes \(z_A = 1+j\), \(z_B = 4+j\) et \(z_C = 1+4j\), représentés ci-dessous.
Sommets de la plaque de renfort : \(z_A=1+j\), \(z_B=4+j\), \(z_C=1+4j\).
1. Calculer \(z_B - z_A\) et \(z_C - z_A\), puis \(|z_B-z_A|\) et \(|z_C-z_A|\). Que peut-on en conclure sur le triangle ABC ? (1,5 pt)
2. Calculer le quotient \(\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\) sous forme algébrique, puis en déduire une mesure de l'angle géométrique \(\widehat{BAC}\). (1 pt)
3. Le technicien doit faire pivoter la plaque d'un angle \(\dfrac{\pi}{2}\) (sens direct) autour du point A pour repositionner le support. Déterminer l'affixe \(z'_B\) de l'image \(B'\) de B par cette rotation. Que remarque-t-on ? (1,5 pt)
4. Décrire géométriquement l'ensemble des points \(M\) d'affixe \(z\) tels que \(|z - z_A| = 3\). Ce cercle a-t-il un lien avec les points B et C ? Justifier à l'aide de la question 1. (1 pt)
1. \(z_B - z_A = (4+j)-(1+j) = 3\). \(z_C - z_A = (1+4j)-(1+j) = 3j\).
\(|z_B-z_A| = |3| = 3\). \(|z_C-z_A| = |3j| = 3\).
Les deux distances \(AB\) et \(AC\) sont égales à 3 : le triangle ABC est isocèle en A.
2. \(\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A} = \dfrac{3j}{3} = j\).
\(j = e^{j\pi/2}\) est de module 1 et d'argument \(\dfrac{\pi}{2}\) : cela signifie que le vecteur \(\overrightarrow{AC}\) s'obtient à partir du vecteur \(\overrightarrow{AB}\) par une rotation d'angle \(\dfrac{\pi}{2}\). L'angle géométrique \(\widehat{BAC}\) mesure donc \(\dfrac{\pi}{2}\) (90°) : le triangle a un angle droit en A, ce qui confirme la marque portée sur la figure.
3. La rotation de centre A et d'angle \(\dfrac{\pi}{2}\) transforme z en \(z'\) tel que \(z' - z_A = e^{j\pi/2}(z-z_A) = j(z-z_A)\).
Pour B : \(z'_B - z_A = j\times(z_B-z_A) = j\times3 = 3j\), donc :
\[z'_B = z_A + 3j = (1+j) + 3j = 1+4j = z_C\]On remarque que \(B' = C\) : la rotation envoie exactement le point B sur le point C. Ce résultat est cohérent avec les questions précédentes, puisque le triangle est rectangle isocèle en A (\(AB=AC\) et angle droit en A) : une rotation d'un quart de tour autour du sommet de l'angle droit échange les deux autres sommets.
4. L'ensemble des points \(M\) tels que \(|z-z_A|=3\) est le cercle de centre A et de rayon 3.
D'après la question 1, \(|z_B-z_A| = |z_C-z_A| = 3\) : les points B et C appartiennent tous les deux à ce cercle (ils sont chacun à distance 3 de A).
Un technicien de maintenance en électrotechnique étudie un circuit RLC série alimenté en régime sinusoïdal permanent, comportant une résistance \(R = 50\;\Omega\), une bobine d'inductance \(L = 0{,}15\;\text{H}\) et un condensateur de capacité \(C = 20\;\mu\text{F}\), pour une fréquence \(f = 50\;\text{Hz}\).
1. Calculer la pulsation \(\omega = 2\pi f\) (en rad/s, arrondie au dixième). (1 pt)
2. Calculer \(L\omega\) et \(\dfrac{1}{C\omega}\) (en ohms, arrondis au dixième), puis écrire l'impédance complexe \(\underline{Z} = R + j\!\left(L\omega - \dfrac{1}{C\omega}\right)\) sous forme algébrique. (2 pt)
3. Calculer le module \(|\underline{Z}|\) (impédance en ohms, arrondie au dixième). (1 pt)
4. Calculer l'argument \(\varphi = \arg(\underline{Z})\) (déphasage tension/courant, en degrés, arrondi au dixième). Le circuit est-il inductif ou capacitif ? Interpréter. (1 pt)
1. \(\omega = 2\pi\times50 = 100\pi \approx 314{,}2\;\text{rad/s}\).
2. \(L\omega = 0{,}15\times314{,}2 \approx 47{,}1\;\Omega\).
\(\dfrac{1}{C\omega} = \dfrac{1}{20\times10^{-6}\times314{,}2} = \dfrac{1}{6{,}283\times10^{-3}} \approx 159{,}1\;\Omega\).
\[\underline{Z} = 50 + j(47{,}1-159{,}1) = \boxed{50 - 112{,}0\,j\;\;\Omega}\]3. \(|\underline{Z}| = \sqrt{50^2+112{,}0^2} = \sqrt{2\,500+12\,544} = \sqrt{15\,044} \approx 122{,}7\;\Omega\).
4. \(\varphi = \arctan\!\left(\dfrac{-112{,}0}{50}\right) = \arctan(-2{,}240) \approx -65{,}9° \approx -1{,}15\;\text{rad}\).
Comme \(\varphi < 0\), le circuit est capacitif : le courant est en avance sur la tension (l'effet du condensateur l'emporte sur celui de la bobine).
Vecteur \(\underline{Z} = 50-112{,}0j\;\Omega\) : décomposition en résistance R (partie réelle) et réactance X (partie imaginaire).