BTS | Mathématiques | Durée : 40 min | /20
Dernière mise à jour : 21 juin 2026
Nom : _____ Prénom : _____ Date : _____
Valeurs utiles : \(z_{\alpha/2} = 1{,}645\) (90 %), \(1{,}960\) (95 %), \(2{,}576\) (99 %). \(\Phi(2{,}50) = 0{,}9938\) ; \(\Phi(1{,}43) = 0{,}9236\). Table de Student : \(t_{14;\,0{,}025} = 2{,}145\).
Une chaîne produit des axes dont l'écart-type historique du diamètre est \(\sigma = 0{,}08\) mm. On prélève un échantillon de \(n = 64\) axes.
Sur \(n = 100\) pièces coulées, un responsable qualité mesure une masse moyenne \(\bar{x} = 848{,}5\) g. L'écart-type de production, connu, est \(\sigma = 12\) g.
Sur \(n = 400\) clients interrogés, 240 se déclarent satisfaits.
Le diamètre nominal d'un roulement est \(\mu_0 = 25{,}000\) mm, avec \(\sigma = 0{,}03\) mm (connu). Sur \(n = 36\) pièces, le technicien mesure \(\bar{x} = 25{,}0125\) mm. On teste l'existence d'une dérive au seuil \(\alpha = 5\,\%\).
Un contremaître relève le nombre de pannes par jour ouvré sur une semaine (total = 100 pannes). On veut tester une répartition uniforme au seuil \(\alpha = 5\,\%\). Valeur critique : \(\chi^2_{4;\,0{,}05} = 9{,}488\).
| Jour | Lun | Mar | Mer | Jeu | Ven |
|---|---|---|---|---|---|
| Effectif observé \(O_i\) | 16 | 24 | 20 | 22 | 18 |
Exercice 1 (3 pts)
a) \(\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} = \dfrac{0{,}08}{\sqrt{64}} = \dfrac{0{,}08}{8} = 0{,}010\) mm. (1,5 pt)
b) L'erreur standard varie en \(1/\sqrt{n}\). Pour la diviser par 2, il faut multiplier \(\sqrt{n}\) par 2, donc multiplier \(n\) par \(2^2 = \mathbf{4}\) (soit \(n = 256\), donnant \(0{,}08/16 = 0{,}005\) mm). (1,5 pt)
Exercice 2 (4 pts)
a) \(\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} = \dfrac{12}{\sqrt{100}} = \dfrac{12}{10} = 1{,}2\) g. (1 pt)
b) Marge d'erreur : \(1{,}96 \times 1{,}2 = 2{,}352\) g. \[IC_{95\,\%} = [848{,}5 - 2{,}352\ ;\ 848{,}5 + 2{,}352] = [846{,}15\ ;\ 850{,}85] \text{ g}\] (2 pts)
c) \(850 \in [846{,}15\ ;\ 850{,}85]\) : la valeur nominale appartient à l'intervalle. On ne peut donc pas conclure à une dérive significative de la masse moyenne au niveau 95 %. (1 pt)
Exercice 3 (4 pts)
a) \(\hat{p} = \dfrac{240}{400} = 0{,}60\). Conditions : \(n\hat{p} = 400 \times 0{,}60 = 240 \ge 5\) ✓ et \(n(1-\hat{p}) = 400 \times 0{,}40 = 160 \ge 5\) ✓. (1,5 pt)
b) \(\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} = \sqrt{\dfrac{0{,}60 \times 0{,}40}{400}} = \sqrt{\dfrac{0{,}24}{400}} = \sqrt{0{,}0006} \approx 0{,}0245\). Marge : \(1{,}96 \times 0{,}0245 \approx 0{,}0480\). \[IC_{95\,\%} = [0{,}60 - 0{,}048\ ;\ 0{,}60 + 0{,}048] \approx [0{,}552\ ;\ 0{,}648]\] Le taux de satisfaction est estimé entre 55,2 % et 64,8 % avec une confiance de 95 %. (2,5 pts)
Exercice 4 (5 pts)
a) \(H_0 : \mu = 25{,}000\) | \(H_1 : \mu \neq 25{,}000\) (bilatéral). (1 pt)
b) Erreur standard : \(\dfrac{0{,}03}{\sqrt{36}} = \dfrac{0{,}03}{6} = 0{,}005\) mm. \[Z_{obs} = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\sigma/\sqrt{n}} = \frac{25{,}0125 - 25{,}000}{0{,}005} = \frac{0{,}0125}{0{,}005} = 2{,}50\] (2 pts)
c) \(|Z_{obs}| = 2{,}50 \gt 1{,}96\) → zone de rejet. On rejette \(H_0\) au seuil 5 %. La dérive du diamètre moyen est statistiquement significative ; un recalibrage est nécessaire. (1 pt)
d) p-valeur (bilatérale) : \(2(1 - \Phi(2{,}50)) = 2(1 - 0{,}9938) = 2 \times 0{,}0062 = 0{,}0124\), soit 1,24 %. Comme \(0{,}0124 \lt 0{,}05\), la conclusion est confirmée : preuve modérée contre \(H_0\). (1 pt)
Exercice 5 (4 pts)
a) Sous l'hypothèse uniforme : \(E_i = \dfrac{100}{5} = 20\) pannes pour chaque jour. (1 pt)
b) \[\chi^2_{obs} = \frac{(16-20)^2}{20} + \frac{(24-20)^2}{20} + \frac{(20-20)^2}{20} + \frac{(22-20)^2}{20} + \frac{(18-20)^2}{20}\] \[= \frac{16}{20} + \frac{16}{20} + 0 + \frac{4}{20} + \frac{4}{20} = 0{,}80 + 0{,}80 + 0 + 0{,}20 + 0{,}20 = 2{,}00\] (2 pts)
c) \(\nu = k - 1 = 4\). \(\chi^2_{obs} = 2{,}00 \lt 9{,}488\) → hors zone de rejet. On ne rejette pas \(H_0\) : il n'y a pas de preuve statistique contre une répartition uniforme des pannes sur la semaine. (1 pt)
Total : 3 + 4 + 4 + 5 + 4 = 20 points.