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L'essentiel :
- À partir d'un échantillon, on infère une conclusion sur la population entière, avec un risque quantifié.
- TCL : pour \(n \ge 30\), \(\bar{X} \sim \mathcal{N}\!\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)\) ; erreur standard \(\sigma/\sqrt{n}\) (diminue en \(1/\sqrt{n}\)).
- Un intervalle de confiance = estimation \(\pm\) marge d'erreur. Un test tranche entre H₀ et H₁.
- Choisir l'outil : \(\sigma\) connue → loi normale (\(z\)) ; \(\sigma\) inconnue → loi de Student (\(t\)).
- Règle de décision : on rejette H₀ si la statistique est en zone de rejet, ou si p-valeur \(\lt \alpha\).
Définitions clés
Définition
Population / échantillon : la population est l'ensemble complet étudié ; l'échantillon (taille \(n\)) en est un sous-ensemble tiré au sort.
Définition
Paramètre vs statistique : le paramètre (\(\mu\), \(\sigma\), \(p\)) caractérise la population (inconnu) ; la statistique (\(\bar{x}\), \(s\), \(\hat{p}\)) est calculée sur l'échantillon.
Définition
Intervalle de confiance \(1-\alpha\) : intervalle aléatoire \([A\,;\,B]\) tel que \(\mathbb{P}(A \le \theta \le B) = 1-\alpha\). \(\alpha\) est le risque d'erreur.
Définition
H₀ / H₁ : H₀ est l'hypothèse de référence (statu quo, \(\mu=\mu_0\)) ; H₁ est ce qu'on cherche à démontrer. On rejette H₀ seulement avec une preuve suffisante.
Définition
p-valeur : probabilité, sous H₀, d'obtenir une statistique au moins aussi extrême que celle observée. Plus elle est petite, plus la preuve contre H₀ est forte.
Formules à connaître
Théorème central limite — erreur standard
\[\bar{X} \sim \mathcal{N}\!\left(\mu,\ \frac{\sigma^2}{n}\right) \qquad Z = \frac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}} \sim \mathcal{N}(0,1)\]
Intervalles de confiance
\[\mu\ (\sigma \text{ connue}) : \bar{x} \pm z_{\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\]
\[\mu\ (\sigma \text{ inconnue}) : \bar{x} \pm t_{n-1;\,\alpha/2}\,\frac{s}{\sqrt{n}}\]
\[p : \hat{p} \pm z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} \quad (n\hat{p}\ge 5,\ n(1-\hat{p})\ge 5)\]
Statistiques de test
\[Z_{obs} = \frac{\bar{x}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}} \qquad T_{obs} = \frac{\bar{x}-\mu_0}{s/\sqrt{n}} \sim \mathcal{T}(n-1)\]
\[Z_{obs} = \frac{\hat{p}-p_0}{\sqrt{p_0(1-p_0)/n}} \qquad \chi^2_{obs} = \sum_{i=1}^k \frac{(O_i-E_i)^2}{E_i}\]
Taille d'échantillon (proportion, sans info sur \(p\))
\[n \ge \frac{z_{\alpha/2}^2}{4e^2} \qquad\text{(moyenne) }\ n \ge \left(\frac{z_{\alpha/2}\,\sigma}{e}\right)^2\]
Quantiles usuels
| Niveau \(1-\alpha\) | \(\alpha\) | \(z_{\alpha/2}\) (bilatéral) | \(z_\alpha\) (unilatéral) |
|---|
| 90 % | 10 % | 1,645 | 1,282 |
| 95 % | 5 % | 1,960 | 1,645 |
| 99 % | 1 % | 2,576 | 2,326 |
Pour \(n \ge 30\), \(t_{n-1;\,\alpha/2} \approx z_{\alpha/2}\) (Student tend vers la normale).
Méthode — Conduire un test d'hypothèse
Méthode
Les étapes du test
- Énoncer H₀ et H₁ en lien avec le contexte (bilatéral \(\ne\), ou unilatéral \(\lt\) / \(\gt\)).
- Fixer le seuil \(\alpha\) (souvent 5 %).
- Choisir la statistique adaptée : \(Z\) (\(\sigma\) connue), \(T\) (\(\sigma\) inconnue), proportion ou \(\chi^2\).
- Calculer la valeur observée sur l'échantillon.
- Comparer à la valeur critique (zone de rejet) ou calculer la p-valeur.
- Conclure : si en zone de rejet (ou p-valeur \(\lt \alpha\)) → rejet de H₀ ; sinon → non-rejet. Interpréter dans le contexte.
Erreurs fréquentes
Attention
❌ Diviser la variance par \(n\) au lieu de \(n-1\).
✅ La variance corrigée \(s^2\) divise par \(n-1\) pour être sans biais.
❌ Utiliser \(z\) alors que \(\sigma\) est inconnue.
✅ Si \(\sigma\) est estimée par \(s\), utiliser la loi de Student \(t_{n-1}\).
❌ Confondre test bilatéral et unilatéral pour la zone de rejet.
✅ Bilatéral → \(z_{\alpha/2}\) ; unilatéral → \(z_\alpha\) (un seul côté).
❌ Conclure « H₀ est vraie » quand on ne rejette pas.
✅ On dit seulement « on ne rejette pas H₀ » : absence de preuve n'est pas preuve d'absence.
❌ Oublier de vérifier les conditions de validité (\(n\ge30\) pour le TCL ; \(np\ge5\), \(n(1-p)\ge5\) pour une proportion ; \(E_i \ge 5\) pour le \(\chi^2\)).
✅ Toujours contrôler les conditions avant d'appliquer une formule.