Statistique inférentielle | BTS | Mathématiques
Dernière mise à jour : 21 octobre 2026
Un technicien de laboratoire pharmaceutique pèse \(n=8\) comprimés issus d'un même lot de production (masse en mg, valeur nominale \(\mu_0 = 500\) mg) :
499,8 500,3 500,1 499,9 500,2 500,0 499,7 500,4
1. Somme des masses : \(4\,000{,}4\) mg.
\[\bar{x} = \frac{4\,000{,}4}{8} = 500{,}05 \text{ mg}\]2. Écarts à la moyenne : \(-0{,}25\ ;\ 0{,}25\ ;\ 0{,}05\ ;\ -0{,}15\ ;\ 0{,}15\ ;\ -0{,}05\ ;\ -0{,}35\ ;\ 0{,}35\).
\[ s^2 = \frac{0{,}0625+0{,}0625+0{,}0025+0{,}0225+0{,}0225+0{,}0025+0{,}1225+0{,}1225}{7} = \frac{0{,}42}{7} = 0{,}06 \text{ mg}^2 \]Écart-type empirique : \(s = \sqrt{0{,}06} \approx 0{,}245\) mg.
Conclusion : la moyenne empirique (500,05 mg) est très proche de la valeur nominale, et la dispersion mesurée (\(s \approx 0{,}245\) mg) est faible : la production paraît bien centrée et régulière sur cet échantillon.
La résistance électrique de bobinages produits en série suit un écart-type historique \(\sigma = 2{,}5\ \Omega\). Un technicien de contrôle prélève des échantillons de tailles différentes.
1.
| \(n\) | \(\sigma/\sqrt{n}\) |
|---|---|
| 10 | \(2{,}5/\sqrt{10} \approx 0{,}791\ \Omega\) |
| 25 | \(2{,}5/\sqrt{25} = 0{,}500\ \Omega\) |
| 100 | \(2{,}5/\sqrt{100} = 0{,}250\ \Omega\) |
2. L'erreur standard varie en \(1/\sqrt{n}\) : multiplier \(n\) par 10 divise l'erreur standard par \(\sqrt{10} \approx 3{,}16\) (et non par 10). Il faudrait multiplier \(n\) par 100 pour diviser l'erreur standard par 10.
Un fabricant d'éclairage industriel prélève \(n=64\) ampoules LED et mesure leur durée de vie jusqu'à défaillance. On obtient \(\bar{x} = 15\,000\) heures. L'écart-type de fabrication, connu par l'historique de production, vaut \(\sigma = 800\) heures.
1. \(\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} = \dfrac{800}{\sqrt{64}} = \dfrac{800}{8} = 100\) heures.
2. Marge d'erreur : \(1{,}960 \times 100 = 196\) heures.
\[IC_{95\,\%} = [15\,000 - 196\ ;\ 15\,000 + 196] = [14\,804\ ;\ 15\,196] \text{ heures}\]Conclusion : on est confiant à 95 % que la durée de vie moyenne réelle de la production se situe entre 14 804 et 15 196 heures.
Un ingénieur qualité mesure la tension de sortie d'un lot de transformateurs : \(n=36\) appareils, \(\bar{x} = 229{,}8\) V. L'écart-type de fabrication est connu : \(\sigma = 0{,}6\) V.
Erreur standard : \(\dfrac{0{,}6}{\sqrt{36}} = \dfrac{0{,}6}{6} = 0{,}1\) V.
1. Marge à 90 % : \(1{,}645 \times 0{,}1 = 0{,}1645\) V.
\[IC_{90\,\%} = [229{,}8 - 0{,}1645\ ;\ 229{,}8 + 0{,}1645] = [229{,}64\ ;\ 229{,}96] \text{ V}\]2. Marge à 99 % : \(2{,}576 \times 0{,}1 = 0{,}2576\) V.
\[IC_{99\,\%} = [229{,}8 - 0{,}2576\ ;\ 229{,}8 + 0{,}2576] = [229{,}54\ ;\ 230{,}06] \text{ V}\]3. L'IC à 99 % (largeur \(\approx 0{,}515\) V) est plus large que l'IC à 90 % (largeur \(\approx 0{,}329\) V) : pour être plus confiant que l'intervalle contient la vraie valeur, il faut accepter une fourchette plus large.
Un contrôleur qualité mesure la résistance à la traction (en kN) de \(n=9\) câbles en acier prélevés dans un même lot :
152 148 155 150 149 153 151 147 154
1. Somme \(=1\,359\) kN, donc \(\bar{x} = \dfrac{1\,359}{9} = 151{,}0\) kN.
Écarts à la moyenne : \(1\ ;\ -3\ ;\ 4\ ;\ -1\ ;\ -2\ ;\ 2\ ;\ 0\ ;\ -4\ ;\ 3\). Somme des carrés : \(60\).
\[s^2 = \frac{60}{8} = 7{,}5 \text{ kN}^2 \qquad s = \sqrt{7{,}5} \approx 2{,}739 \text{ kN}\]2. Marge d'erreur : \(2{,}306 \times \dfrac{2{,}739}{\sqrt{9}} = 2{,}306 \times \dfrac{2{,}739}{3} \approx 2{,}106\) kN.
\[IC_{95\,\%} = [151{,}0 - 2{,}106\ ;\ 151{,}0 + 2{,}106] \approx [148{,}89\ ;\ 153{,}11] \text{ kN}\]Conclusion : on est confiant à 95 % que la résistance moyenne réelle du lot se situe entre 148,89 et 153,11 kN.
Un technicien informatique industriel mesure le temps de réponse (en ms) d'un automate programmable sur \(n=20\) cycles : \(\bar{x} = 45{,}3\) ms, \(s = 6{,}2\) ms (écart-type de la population inconnu).
1. L'écart-type de la population est inconnu (on ne dispose que de \(s\), estimé sur l'échantillon) : on utilise la loi de Student à \(\nu = n-1 = 19\) degrés de liberté.
2. Marge d'erreur : \(2{,}093 \times \dfrac{6{,}2}{\sqrt{20}} = 2{,}093 \times \dfrac{6{,}2}{4{,}472} \approx 2{,}902\) ms.
\[IC_{95\,\%} = [45{,}3 - 2{,}902\ ;\ 45{,}3 + 2{,}902] \approx [42{,}40\ ;\ 48{,}20] \text{ ms}\]Conclusion : le temps de réponse moyen réel de l'automate est estimé entre 42,40 et 48,20 ms avec une confiance de 95 %.
Sur \(n=180\) connecteurs électroniques contrôlés en sortie de chaîne, 12 présentent un défaut de soudure.
1. \(\hat{p} = \dfrac{12}{180} \approx 0{,}0667\).
Conditions : \(n\hat{p} = 180 \times 0{,}0667 = 12 \geq 5\) ✓ \(n(1-\hat{p}) = 168 \geq 5\) ✓
2. \(\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} = \sqrt{\dfrac{0{,}0667 \times 0{,}9333}{180}} \approx 0{,}01860\)
Marge d'erreur : \(1{,}96 \times 0{,}01860 \approx 0{,}0364\)
\[IC_{95\,\%} = [0{,}0667 - 0{,}0364\ ;\ 0{,}0667 + 0{,}0364] \approx [0{,}0302\ ;\ 0{,}1031]\]Conclusion : le taux réel de connecteurs non conformes est estimé entre 3,02 % et 10,31 % avec une confiance de 95 %.
Un service qualité d'une compagnie de transport souhaite estimer la proportion de trajets en retard (plus de 5 minutes) sur l'ensemble du réseau, avec une marge d'erreur de \(\pm 2{,}5\,\%\) au niveau de confiance 95 % (\(z_{0{,}025}=1{,}96\)).
1. Sans information sur \(p\) :
\[n \geq \frac{z_{\alpha/2}^2}{4e^2} = \frac{(1{,}96)^2}{4 \times (0{,}025)^2} = \frac{3{,}8416}{0{,}0025} \approx 1\,536{,}6\]Il faut donc interroger au moins 1 537 trajets (on arrondit toujours à l'entier supérieur).
2. Avec \(p \approx 0{,}15\) :
\[n \geq \frac{z_{\alpha/2}^2\,p(1-p)}{e^2} = \frac{(1{,}96)^2 \times 0{,}15 \times 0{,}85}{(0{,}025)^2} = \frac{3{,}8416 \times 0{,}1275}{0{,}000625} \approx 783{,}7\]Il suffit ici d'observer au moins 784 trajets.
Conclusion : connaître une estimation approximative de \(p\), surtout lorsqu'elle s'éloigne de 0,5, permet de réduire sensiblement la taille d'échantillon nécessaire (ici, près de deux fois moins de trajets à observer).
Une chaîne d'embouteillage doit remplir des bouteilles d'eau minérale à \(\mu_0 = 1\,500\) mL. L'écart-type de la machine, connu par l'historique, est \(\sigma = 10\) mL. Sur un échantillon de \(n=25\) bouteilles, on mesure un volume moyen \(\bar{x} = 1\,495\) mL. Peut-on affirmer que le réglage de la machine a dérivé ? (\(\alpha = 5\,\%\))
1. H₀ : \(\mu = 1\,500\) | H₁ : \(\mu \neq 1\,500\) (test bilatéral, on cherche une dérive dans les deux sens).
2. Erreur standard : \(\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} = \dfrac{10}{\sqrt{25}} = \dfrac{10}{5} = 2\) mL.
\[Z_{obs} = \frac{1\,495 - 1\,500}{2} = \frac{-5}{2} = -2{,}50\]\(|Z_{obs}| = 2{,}50 > z_{0{,}025} = 1{,}96\) → zone de rejet.
On rejette H₀ au seuil 5 %.
Conclusion : la dérive du volume moyen de remplissage est statistiquement significative. Il faut recalibrer la machine avant de poursuivre la production.
Un fabricant de granulés de bois de chauffage annonce un poids nominal de sac \(\mu_0 = 15\) kg, avec un écart-type de production connu \(\sigma = 0{,}8\) kg. Le service qualité soupçonne un sous-remplissage systématique. Sur \(n=64\) sacs, on mesure \(\bar{x} = 14{,}77\) kg. Tester au seuil \(\alpha = 5\,\%\) (\(z_{0{,}05} = 1{,}645\)).
1. H₀ : \(\mu = 15\) | H₁ : \(\mu < 15\) (on cherche à prouver un sous-remplissage, donc une moyenne inférieure).
2. Erreur standard : \(\dfrac{0{,}8}{\sqrt{64}} = \dfrac{0{,}8}{8} = 0{,}1\) kg.
\[Z_{obs} = \frac{14{,}77 - 15}{0{,}1} = \frac{-0{,}23}{0{,}1} = -2{,}30\]\(Z_{obs} = -2{,}30 < -z_{0{,}05} = -1{,}645\) → zone de rejet.
On rejette H₀ au seuil 5 %.
Conclusion : le sous-remplissage est statistiquement significatif : les sacs pèsent en moyenne moins de 15 kg. Le fabricant doit ajuster le dosage de sa chaîne d'ensachage.
Un laboratoire pharmaceutique garantit une teneur moyenne en principe actif de \(\mu_0 = 250\) mg par comprimé. Un contrôleur mesure \(n=15\) comprimés : \(\bar{x} = 245{,}8\) mg, \(s = 9{,}3\) mg (écart-type de la population inconnu). Tester au seuil \(\alpha = 5\,\%\).
1. H₀ : \(\mu = 250\) | H₁ : \(\mu \neq 250\) (bilatéral). L'écart-type \(\sigma\) de la population est inconnu, on utilise donc \(s\) et la loi de Student à \(\nu=n-1=14\) degrés de liberté.
2. Erreur standard estimée : \(\dfrac{s}{\sqrt{n}} = \dfrac{9{,}3}{\sqrt{15}} \approx \dfrac{9{,}3}{3{,}873} \approx 2{,}401\) mg.
\[T_{obs} = \frac{245{,}8 - 250}{2{,}401} = \frac{-4{,}2}{2{,}401} \approx -1{,}75\]\(|T_{obs}| = 1{,}75 < t_{14;\,0{,}025} = 2{,}145\) → hors zone de rejet.
On ne rejette pas H₀ au seuil 5 %.
Conclusion : l'écart observé entre la teneur mesurée et la teneur nominale n'est pas statistiquement significatif à ce seuil. On ne peut pas conclure à une non-conformité du lot ; une surveillance reste toutefois utile.
Un cahier des charges impose à un fournisseur de composants électroniques un taux de défaut \(p_0 \leq 3\,\%\). Sur \(n=500\) composants réceptionnés, 20 sont défectueux. Le service achats veut savoir si le taux de défaut dépasse significativement le seuil contractuel. (\(\alpha = 5\,\%\), \(z_{0{,}05}=1{,}645\))
1. H₀ : \(p = 0{,}03\) | H₁ : \(p > 0{,}03\) (unilatéral droit : on cherche à prouver un dépassement du seuil).
2. Conditions : \(np_0 = 500 \times 0{,}03 = 15 \geq 5\) ✓ \(n(1-p_0) = 485 \geq 5\) ✓
\(\hat{p} = \dfrac{20}{500} = 0{,}040\)
\[Z_{obs} = \frac{0{,}040 - 0{,}030}{\sqrt{0{,}030 \times 0{,}970 / 500}} = \frac{0{,}010}{0{,}00763} \approx 1{,}31\]\(Z_{obs} = 1{,}31 < z_{0{,}05} = 1{,}645\) → hors zone de rejet.
On ne rejette pas H₀ au seuil 5 %.
Conclusion : bien que le taux observé (4 %) dépasse le seuil contractuel de 3 %, l'écart n'est pas statistiquement significatif compte tenu de la taille de l'échantillon. On ne peut pas conclure que le fournisseur dépasse réellement le seuil ; il est prudent d'augmenter la taille de l'échantillon de contrôle avant de trancher.
Une résistance électronique doit avoir une valeur nominale \(\mu_0 = 100\ \Omega\). L'écart-type de fabrication, connu, est \(\sigma = 1{,}6\ \Omega\). Sur \(n=64\) résistances, on mesure \(\bar{x} = 99{,}56\ \Omega\).
1. Erreur standard : \(\dfrac{1{,}6}{\sqrt{64}} = \dfrac{1{,}6}{8} = 0{,}2\ \Omega\).
\[Z_{obs} = \frac{99{,}56 - 100}{0{,}2} = \frac{-0{,}44}{0{,}2} = -2{,}20\]2.
\[\text{p-valeur} = 2\times\mathbb{P}(Z \geq 2{,}20) = 2\times(1-\Phi(2{,}20)) \approx 2\times(1-0{,}9861) = 2\times0{,}0139 = 0{,}0278\]La p-valeur vaut environ 2,78 %.
Conclusion : la preuve contre H₀ est modérée. Pour un contrôle standard (α = 5 %), on considère l'écart comme significatif ; pour une décision plus exigeante (α = 1 %, par exemple sur un composant critique), l'écart n'est pas jugé suffisamment fort pour rejeter la conformité.
Un service de maintenance recense 120 interventions réparties sur 4 machines (A, B, C, D) sur un mois : A = 35, B = 25, C = 28, D = 32. On souhaite savoir si les interventions sont réparties uniformément entre les 4 machines. (\(\alpha = 5\,\%\))
1. H₀ : les interventions sont réparties uniformément entre les 4 machines → \(E_i = 120/4 = 30\) pour chacune.
| Machine | \(O_i\) | \(E_i\) | \(O_i-E_i\) | \((O_i-E_i)^2/E_i\) |
|---|---|---|---|---|
| A | 35 | 30 | +5 | \(25/30 \approx 0{,}833\) |
| B | 25 | 30 | −5 | \(25/30 \approx 0{,}833\) |
| C | 28 | 30 | −2 | \(4/30 \approx 0{,}133\) |
| D | 32 | 30 | +2 | \(4/30 \approx 0{,}133\) |
| Total | 120 | 120 | 0 | 1,93 |
2.
\[\chi^2_{obs} \approx 1{,}93\]3. \(\nu = k-1 = 3\).
\(\chi^2_{obs} = 1{,}93 < \chi^2_{3;\,0{,}05} = 7{,}815\) → hors zone de rejet.
On ne rejette pas H₀ au seuil 5 %.
Conclusion : il n'y a pas de preuve statistique contre une répartition uniforme des interventions entre les 4 machines.
Un atelier d'usinage doit produire des vis en trois tailles selon les proportions théoriques suivantes : 20 % de petites, 50 % de moyennes, 30 % de grandes. Sur un lot de \(n=200\) vis contrôlées, on observe : 20 petites, 150 moyennes, 30 grandes. La production respecte-t-elle les proportions théoriques ? (\(\alpha = 5\,\%\))
1. H₀ : la production respecte les proportions théoriques (20 %, 50 %, 30 %).
| Taille | Petite | Moyenne | Grande | Total |
|---|---|---|---|---|
| Observé \(O_i\) | 20 | 150 | 30 | 200 |
| Théorique \(E_i\) | 40 | 100 | 60 | 200 |
Les trois effectifs théoriques (40, 100, 60) sont \(\geq 5\) : la condition de validité est respectée.
2.
\[ \chi^2_{obs} = \frac{(20-40)^2}{40} + \frac{(150-100)^2}{100} + \frac{(30-60)^2}{60} = \frac{400}{40} + \frac{2\,500}{100} + \frac{900}{60} = 10 + 25 + 15 = 50{,}0 \]3. \(\nu = k-1 = 2\) (les proportions théoriques sont fixées à l'avance, aucun paramètre n'est estimé sur l'échantillon).
\(\chi^2_{obs} = 50{,}0 > \chi^2_{2;\,0{,}05} = 5{,}991\) → zone de rejet.
On rejette H₀ au seuil 5 %.
Conclusion : la répartition des tailles produites s'écarte significativement des proportions théoriques attendues (trop de vis moyennes, pas assez de petites et de grandes) : le réglage de la chaîne d'usinage doit être revu.
Un atelier de mécanique usine des arbres de transmission dont le diamètre nominal est \(\mu_0 = 40{,}00\) mm, avec un écart-type de fabrication connu \(\sigma = 0{,}05\) mm. Sur un contrôle final portant sur \(n=49\) arbres, on obtient un diamètre moyen \(\bar{x} = 39{,}98\) mm.
1. Intervalle de confiance
Erreur standard : \(\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} = \dfrac{0{,}05}{\sqrt{49}} = \dfrac{0{,}05}{7} \approx 0{,}00714\) mm.
Marge d'erreur à 95 % : \(1{,}96 \times 0{,}00714 \approx 0{,}014\) mm.
\[IC_{95\,\%} = [39{,}98 - 0{,}014\ ;\ 39{,}98 + 0{,}014] = [39{,}966\ ;\ 39{,}994] \text{ mm}\]On remarque que la valeur nominale 40,00 mm n'appartient pas à cet intervalle.
2. Test d'hypothèse (bilatéral)
H₀ : \(\mu = 40{,}00\) mm | H₁ : \(\mu \neq 40{,}00\) mm
\[Z_{obs} = \frac{39{,}98 - 40{,}00}{0{,}00714} = \frac{-0{,}02}{0{,}00714} \approx -2{,}80\]\(|Z_{obs}| = 2{,}80 > z_{0{,}025} = 1{,}96\) → zone de rejet.
On rejette H₀ au seuil 5 %.
3. p-valeur
\[\text{p-valeur} = 2\times(1-\Phi(2{,}80)) \approx 2\times(1-0{,}9974) = 2\times0{,}0026 = 0{,}0052 \approx 0{,}52\,\%\]La p-valeur (0,52 %) est inférieure à la fois à 5 % et à 1 % : la preuve contre H₀ est très forte.
4. Conclusion opérationnelle : le diamètre moyen des arbres de transmission produits présente un écart hautement significatif par rapport à la cote nominale de 40,00 mm (dérive d'environ 0,02 mm vers le bas). L'intervalle de confiance confirme ce constat : il ne contient pas la valeur nominale. Le chef d'atelier doit faire vérifier le réglage de la machine-outil avant de poursuivre la production, et envisager un contrôle renforcé sur le lot déjà produit.