Exercices par capacités · BTS
Dernière mise à jour : 21 juin 2026
On mesure la masse (en g) de \(n=5\) comprimés pharmaceutiques : 502, 498, 500, 499, 501. Calculer la moyenne empirique \(\bar{x}\) et la variance corrigée \(s^2\).
\(\bar{x} = \dfrac{502+498+500+499+501}{5} = \dfrac{2500}{5} = 500\) g.
Écarts à la moyenne : \(+2,\ -2,\ 0,\ -1,\ +1\). Carrés : \(4,\ 4,\ 0,\ 1,\ 1\), somme \(=10\).
\(s^2 = \dfrac{10}{n-1} = \dfrac{10}{4} = 2{,}5\) g\(^2\), soit \(s = \sqrt{2{,}5} \approx 1{,}58\) g.
Une production a un écart-type historique connu \(\sigma = 0{,}08\) mm. Calculer l'erreur standard \(\sigma/\sqrt{n}\) de la moyenne d'échantillon pour les tailles indiquées.
| Taille \(n\) | Erreur standard |
|---|---|
| 16 | ? |
| 64 | ? |
| 100 | ? |
\(n=16\) : \(\dfrac{0{,}08}{\sqrt{16}} = \dfrac{0{,}08}{4} = 0{,}020\) mm.
\(n=64\) : \(\dfrac{0{,}08}{\sqrt{64}} = \dfrac{0{,}08}{8} = 0{,}010\) mm.
\(n=100\) : \(\dfrac{0{,}08}{\sqrt{100}} = \dfrac{0{,}08}{10} = 0{,}008\) mm.
L'erreur standard décroît en \(1/\sqrt{n}\) : plus l'échantillon est grand, plus la moyenne est précise.
Une moyenne d'échantillon a une erreur standard de \(0{,}5\) g pour \(n=36\). Par quel facteur faut-il multiplier la taille \(n\) pour ramener l'erreur standard à \(0{,}25\) g ?
L'erreur standard varie en \(1/\sqrt{n}\). Pour la diviser par 2, il faut multiplier \(\sqrt{n}\) par 2, donc multiplier \(n\) par \(2^2 = 4\).
Vérification : avec \(n' = 4 \times 36 = 144\), on a \(\sigma_{\bar{X}}\) divisée par \(\sqrt{4} = 2\), donnant bien \(0{,}25\) g.
On mesure le diamètre (en mm) de \(n=6\) axes usinés : 12,02 ; 11,98 ; 12,00 ; 12,04 ; 11,96 ; 12,00. Calculer \(\bar{x}\) puis \(s\) (écart-type corrigé).
Somme \(= 12{,}02+11{,}98+12{,}00+12{,}04+11{,}96+12{,}00 = 72{,}00\), donc \(\bar{x} = \dfrac{72{,}00}{6} = 12{,}00\) mm.
Écarts : \(+0{,}02,\ -0{,}02,\ 0,\ +0{,}04,\ -0{,}04,\ 0\). Carrés : \(0{,}0004,\ 0{,}0004,\ 0,\ 0{,}0016,\ 0{,}0016,\ 0\), somme \(= 0{,}0040\).
\(s^2 = \dfrac{0{,}0040}{5} = 8\times 10^{-4}\) mm\(^2\), donc \(s = \sqrt{8\times 10^{-4}} \approx 0{,}0283\) mm.
Sur \(n=100\) pièces, on mesure une longueur moyenne \(\bar{x} = 48{,}5\) mm. L'écart-type de production connu est \(\sigma = 2{,}0\) mm. Construire l'intervalle de confiance à 95 % de la longueur moyenne (\(z_{\alpha/2} = 1{,}96\)).
Erreur standard : \(\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} = \dfrac{2{,}0}{\sqrt{100}} = \dfrac{2{,}0}{10} = 0{,}20\) mm.
Marge d'erreur : \(1{,}96 \times 0{,}20 = 0{,}392\) mm.
\(IC_{95\,\%} = [48{,}5 - 0{,}392\ ;\ 48{,}5 + 0{,}392] = [48{,}11\ ;\ 48{,}89]\) mm.
On est confiant à 95 % que la longueur moyenne se situe entre 48,11 mm et 48,89 mm.
Avec les mêmes données qu'à l'exercice 5 (\(\bar{x} = 48{,}5\), \(\sigma = 2{,}0\), \(n=100\)), construire l'intervalle de confiance à 99 % (\(z_{\alpha/2} = 2{,}576\)). Comparer sa largeur à celle de l'IC à 95 %.
Erreur standard inchangée : \(0{,}20\) mm.
Marge : \(2{,}576 \times 0{,}20 = 0{,}5152\) mm.
\(IC_{99\,\%} = [48{,}5 - 0{,}515\ ;\ 48{,}5 + 0{,}515] = [47{,}98\ ;\ 49{,}02]\) mm.
L'IC à 99 % (largeur \(\approx 1{,}03\) mm) est plus large que l'IC à 95 % (largeur \(\approx 0{,}78\) mm) : plus on exige de confiance, plus l'intervalle s'élargit.
Un contrôleur mesure la résistance (en MPa) de \(n=10\) éprouvettes et obtient \(\bar{x} = 305\) MPa et \(s = 8\) MPa (écart-type corrigé, \(\sigma\) inconnu). Construire l'IC à 95 % en utilisant la loi de Student (\(t_{9;\,0{,}025} = 2{,}262\)).
\(\sigma\) étant inconnu et \(n\) petit, on emploie la loi de Student à \(\nu = n-1 = 9\) ddl.
Erreur standard estimée : \(\dfrac{s}{\sqrt{n}} = \dfrac{8}{\sqrt{10}} = \dfrac{8}{3{,}162} \approx 2{,}530\) MPa.
Marge : \(2{,}262 \times 2{,}530 \approx 5{,}72\) MPa.
\(IC_{95\,\%} = [305 - 5{,}72\ ;\ 305 + 5{,}72] = [299{,}3\ ;\ 310{,}7]\) MPa.
Un laboratoire mesure le temps de prise (en min) de \(n=8\) échantillons de ciment : \(\bar{x} = 42{,}0\) min, \(s = 3{,}0\) min. Construire l'IC à 90 % du temps de prise moyen (\(t_{7;\,0{,}05} = 1{,}895\)).
\(\nu = 7\) ddl, loi de Student (\(\sigma\) inconnu).
Erreur standard : \(\dfrac{3{,}0}{\sqrt{8}} = \dfrac{3{,}0}{2{,}828} \approx 1{,}061\) min.
Marge : \(1{,}895 \times 1{,}061 \approx 2{,}01\) min.
\(IC_{90\,\%} = [42{,}0 - 2{,}01\ ;\ 42{,}0 + 2{,}01] = [39{,}99\ ;\ 44{,}01]\) min.
Sur \(n=400\) pièces inspectées, 16 sont non conformes. Calculer \(\hat{p}\), vérifier les conditions de validité, puis construire l'IC à 95 % de la proportion de non-conformes (\(z_{\alpha/2} = 1{,}96\)).
\(\hat{p} = \dfrac{16}{400} = 0{,}040\).
Conditions : \(n\hat{p} = 16 \geq 5\) ✓ et \(n(1-\hat{p}) = 384 \geq 5\) ✓.
\(\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} = \sqrt{\dfrac{0{,}04 \times 0{,}96}{400}} = \sqrt{9{,}6\times 10^{-5}} \approx 0{,}0098\).
Marge : \(1{,}96 \times 0{,}0098 \approx 0{,}0192\).
\(IC_{95\,\%} = [0{,}040 - 0{,}019\ ;\ 0{,}040 + 0{,}019] \approx [0{,}021\ ;\ 0{,}059]\), soit de 2,1 % à 5,9 %.
Un sondage interroge \(n=1000\) clients : 640 se déclarent satisfaits. Construire l'IC à 95 % du taux de satisfaction (\(z_{\alpha/2} = 1{,}96\)).
\(\hat{p} = \dfrac{640}{1000} = 0{,}640\). Conditions largement vérifiées.
\(\sqrt{\dfrac{0{,}64 \times 0{,}36}{1000}} = \sqrt{2{,}304\times 10^{-4}} \approx 0{,}01518\).
Marge : \(1{,}96 \times 0{,}01518 \approx 0{,}0298\).
\(IC_{95\,\%} = [0{,}640 - 0{,}030\ ;\ 0{,}640 + 0{,}030] \approx [0{,}610\ ;\ 0{,}670]\), soit de 61,0 % à 67,0 %.
Un auditeur veut estimer un taux de défaut avec une marge d'erreur \(\leq \pm 2\,\%\) au niveau 95 %, sans information préalable sur \(p\). Quelle taille d'échantillon minimale doit-il prévoir ? (\(z_{\alpha/2} = 1{,}96\))
Sans information sur \(p\), on majore avec \(\hat{p}=0{,}5\) :
\(n \geq \dfrac{z_{\alpha/2}^2}{4e^2} = \dfrac{(1{,}96)^2}{4 \times (0{,}02)^2} = \dfrac{3{,}8416}{0{,}0016} = 2401\).
Il faut interroger au moins 2401 individus.
On veut estimer une masse moyenne avec une marge \(\leq 0{,}5\) g au niveau 95 %. L'écart-type connu est \(\sigma = 4\) g. Déterminer la taille d'échantillon minimale (\(z_{\alpha/2} = 1{,}96\)).
Pour une moyenne (σ connue) : \(n \geq \left(\dfrac{z_{\alpha/2}\,\sigma}{e}\right)^2 = \left(\dfrac{1{,}96 \times 4}{0{,}5}\right)^2\).
\(= \left(\dfrac{7{,}84}{0{,}5}\right)^2 = (15{,}68)^2 = 245{,}86\ldots\)
On arrondit à l'entier supérieur : il faut au moins 246 mesures.
Le diamètre nominal d'une pièce est \(\mu_0 = 20{,}00\) mm avec \(\sigma = 0{,}05\) mm (connu). Sur \(n=64\) pièces, on mesure \(\bar{x} = 20{,}018\) mm. Effectuer un Z-test bilatéral au seuil \(\alpha = 5\,\%\) (\(z_{0{,}025} = 1{,}96\)).
H₀ : \(\mu = 20{,}00\) ; H₁ : \(\mu \neq 20{,}00\) (bilatéral).
Erreur standard : \(\dfrac{0{,}05}{\sqrt{64}} = \dfrac{0{,}05}{8} = 6{,}25\times 10^{-3}\) mm.
\(Z_{obs} = \dfrac{20{,}018 - 20{,}00}{6{,}25\times 10^{-3}} = \dfrac{0{,}018}{0{,}00625} = 2{,}88\).
\(|Z_{obs}| = 2{,}88 \gt 1{,}96\) → zone de rejet. On rejette H₀ au seuil 5 % : la dérive du diamètre est significative.
Le poids nominal d'un sac est \(\mu_0 = 50\) kg avec \(\sigma = 0{,}8\) kg (connu). Le service achats soupçonne un sous-remplissage. Sur \(n=16\) sacs, \(\bar{x} = 49{,}55\) kg. Effectuer un Z-test unilatéral gauche au seuil \(\alpha = 5\,\%\) (\(z_{0{,}05} = 1{,}645\)).
H₀ : \(\mu = 50\) ; H₁ : \(\mu \lt 50\) (unilatéral gauche).
Erreur standard : \(\dfrac{0{,}8}{\sqrt{16}} = \dfrac{0{,}8}{4} = 0{,}20\) kg.
\(Z_{obs} = \dfrac{49{,}55 - 50}{0{,}20} = \dfrac{-0{,}45}{0{,}20} = -2{,}25\).
Zone de rejet : \(Z_{obs} \lt -1{,}645\). Or \(-2{,}25 \lt -1{,}645\). On rejette H₀ : le sous-remplissage est statistiquement significatif.
Un fournisseur garantit une résistance moyenne \(\mu_0 = 450\) MPa. Un contrôleur mesure \(n=12\) éprouvettes : \(\bar{x} = 444\) MPa, \(s = 9\) MPa (σ inconnu). Effectuer un T-test bilatéral au seuil \(\alpha = 5\,\%\) (\(t_{11;\,0{,}025} = 2{,}201\)).
H₀ : \(\mu = 450\) ; H₁ : \(\mu \neq 450\). \(\sigma\) inconnu → loi de Student à \(\nu = 11\) ddl.
Erreur standard estimée : \(\dfrac{9}{\sqrt{12}} = \dfrac{9}{3{,}464} \approx 2{,}598\) MPa.
\(T_{obs} = \dfrac{444 - 450}{2{,}598} = \dfrac{-6}{2{,}598} \approx -2{,}31\).
\(|T_{obs}| = 2{,}31 \gt 2{,}201\) → zone de rejet. On rejette H₀ : la résistance moyenne est significativement inférieure à 450 MPa.
Le cahier des charges exige un taux de rebut \(p_0 \leq 3\,\%\). Sur \(n=500\) pièces, 21 sont défectueuses. Effectuer un test sur la proportion (unilatéral droit) au seuil \(\alpha = 5\,\%\) (\(z_{0{,}05} = 1{,}645\)).
H₀ : \(p = 0{,}03\) ; H₁ : \(p \gt 0{,}03\) (unilatéral droit). \(\hat{p} = \dfrac{21}{500} = 0{,}042\).
Écart-type sous H₀ : \(\sqrt{\dfrac{p_0(1-p_0)}{n}} = \sqrt{\dfrac{0{,}03 \times 0{,}97}{500}} = \sqrt{5{,}82\times 10^{-5}} \approx 0{,}00763\).
\(Z_{obs} = \dfrac{0{,}042 - 0{,}030}{0{,}00763} = \dfrac{0{,}012}{0{,}00763} \approx 1{,}57\).
\(Z_{obs} = 1{,}57 \lt 1{,}645\) → hors zone de rejet. On ne rejette pas H₀ : pas de preuve que le taux dépasse 3 %.
Dans un Z-test bilatéral, on a obtenu \(Z_{obs} = 2{,}50\). En utilisant \(\Phi(2{,}50) = 0{,}9938\), calculer la p-valeur et conclure au seuil \(\alpha = 5\,\%\).
Pour un test bilatéral : \(\text{p-valeur} = 2\big(1 - \Phi(|Z_{obs}|)\big)\).
\(= 2\,(1 - 0{,}9938) = 2 \times 0{,}0062 = 0{,}0124\).
La p-valeur \(= 0{,}0124 \lt \alpha = 0{,}05\) : on rejette H₀. La preuve contre H₀ est modérée à forte (preuve significative).
On lance un dé 120 fois et on relève les effectifs observés. Tester l'hypothèse « le dé est équilibré » au seuil \(\alpha = 5\,\%\). Valeur critique : \(\chi^2_{5;\,0{,}05} = 11{,}07\).
| Face | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Observé \(O_i\) | 18 | 22 | 17 | 23 | 21 | 19 |
H₀ : dé équilibré → \(E_i = \dfrac{120}{6} = 20\) pour chaque face.
\(\chi^2_{obs} = \dfrac{(18-20)^2 + (22-20)^2 + (17-20)^2 + (23-20)^2 + (21-20)^2 + (19-20)^2}{20}\)
\(= \dfrac{4 + 4 + 9 + 9 + 1 + 1}{20} = \dfrac{28}{20} = 1{,}40\).
\(\nu = k-1 = 5\). \(\chi^2_{obs} = 1{,}40 \lt 11{,}07\) → hors zone de rejet. On ne rejette pas H₀ : le dé est compatible avec l'équilibre.
Un atelier dénombre les pannes sur 4 machines (total 200 pannes). On veut savoir si les pannes sont réparties uniformément. Seuil \(\alpha = 5\,\%\), valeur critique \(\chi^2_{3;\,0{,}05} = 7{,}815\).
| Machine | A | B | C | D |
|---|---|---|---|---|
| Observé \(O_i\) | 40 | 55 | 45 | 60 |
H₀ : répartition uniforme → \(E_i = \dfrac{200}{4} = 50\) par machine.
\(\chi^2_{obs} = \dfrac{(40-50)^2 + (55-50)^2 + (45-50)^2 + (60-50)^2}{50}\)
\(= \dfrac{100 + 25 + 25 + 100}{50} = \dfrac{250}{50} = 5{,}00\).
\(\nu = 3\). \(\chi^2_{obs} = 5{,}00 \lt 7{,}815\) → hors zone de rejet. On ne rejette pas H₀ : pas de preuve d'une répartition non uniforme des pannes.
Un service après-vente classe 150 réclamations par jour de la semaine ouvrée (du lundi au vendredi). On teste l'uniformité au seuil \(\alpha = 5\,\%\), valeur critique \(\chi^2_{4;\,0{,}05} = 9{,}488\).
| Jour | Lun | Mar | Mer | Jeu | Ven |
|---|---|---|---|---|---|
| Observé \(O_i\) | 40 | 28 | 25 | 27 | 30 |
H₀ : répartition uniforme → \(E_i = \dfrac{150}{5} = 30\) par jour.
Écarts \(O_i - E_i\) : \(+10,\ -2,\ -5,\ -3,\ 0\). Carrés : \(100,\ 4,\ 25,\ 9,\ 0\).
\(\chi^2_{obs} = \dfrac{100 + 4 + 25 + 9 + 0}{30} = \dfrac{138}{30} = 4{,}60\).
\(\nu = 4\). \(\chi^2_{obs} = 4{,}60 \lt 9{,}488\) → hors zone de rejet. On ne rejette pas H₀ : les réclamations sont compatibles avec une répartition uniforme sur la semaine.