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Interrogation — Ch10 : Statistique descriptive

BTS | Mathématiques | Durée : 40 min | /20

Dernière mise à jour : 21 juin 2026

Nom : _____ Prénom : _____ Date : _____

Exercice 1 — Moyenne d'une série discrète (3 pts)

Un atelier relève le nombre de pièces rebutées par jour sur 5 jours : 4, 6, 5, 7, 8.

  1. Calculer la moyenne \(\bar{x}\). (1,5 pt)
  2. Calculer \(\overline{x^2}\). (1,5 pt)

Exercice 2 — Médiane et quartiles (4 pts)

Les durées de vie (en milliers d'heures) de 11 modules LED, triées, sont :

Rang1234567891011
Valeur1215182023252830343842
  1. Déterminer la médiane \(Me\). (1,5 pt)
  2. Déterminer \(Q_1\) et \(Q_3\) (lecture directe). (1,5 pt)
  3. Calculer l'intervalle interquartile (IIQ). (1 pt)

Exercice 3 — Variance, écart-type, coefficient de variation (4 pts)

Cinq mesures de tension (en V) relevées sur une ligne sont : 196, 198, 200, 202, 204.

  1. Calculer la moyenne \(\bar{x}\). (1 pt)
  2. Calculer la variance \(V\) et l'écart-type \(\sigma\). (2 pts)
  3. Calculer le coefficient de variation \(CV\). Qualifier la dispersion. (1 pt)

Exercice 4 — Boîte à moustaches et outlier (4 pts)

Les consommations électriques mensuelles (en kWh) de 9 bâtiments, triées, sont :

Rang123456789
kWh120135142150160168175182260
  1. Déterminer \(Q_1\), \(Me\), \(Q_3\) (lecture directe). (1,5 pt)
  2. Calculer l'IIQ, puis la borne supérieure de moustache \(Q_3 + 1{,}5 \times \text{IIQ}\). (1,5 pt)
  3. La valeur 260 kWh est-elle une valeur aberrante (outlier) ? Justifier. (1 pt)

Exercice 5 — Droite de régression (5 pts)

Un bureau d'études suit le chiffre d'affaires \(y\) (en k€) d'une entreprise d'agencement sur 5 ans, le temps étant codé par son rang \(t\) :

Rang \(t\)12345
CA \(y\) (k€)3034364248
  1. Calculer \(\bar{t}\), \(\bar{y}\), \(\overline{ty}\) et \(\overline{t^2}\). (2 pts)
  2. Calculer \(\text{Cov}(t,y)\) et \(\sigma_t^2\), puis la pente \(a\) et l'ordonnée à l'origine \(b\). (2 pts)
  3. Donner l'équation \(y = at + b\) et prévoir le CA pour \(t = 6\). (1 pt)

Correction

Exercice 1 (3 pts)

a) \(\bar{x} = \dfrac{4 + 6 + 5 + 7 + 8}{5} = \dfrac{30}{5} = 6\) pièces/jour. (1,5 pt)

b) \(\overline{x^2} = \dfrac{16 + 36 + 25 + 49 + 64}{5} = \dfrac{190}{5} = 38\). (1,5 pt)

Exercice 2 (4 pts)

a) \(N = 11\) (impair) : la médiane est la valeur de rang \(\frac{11+1}{2} = 6\), donc \(Me = 25\). (1,5 pt)

b) \(Q_1\) : \(0{,}25 \times 11 = 2{,}75\) → valeur de rang 3 → \(Q_1 = 18\).
\(Q_3\) : \(0{,}75 \times 11 = 8{,}25\) → valeur de rang 9 → \(Q_3 = 34\). (1,5 pt)

c) \(\text{IIQ} = Q_3 - Q_1 = 34 - 18 = 16\) (milliers d'heures). (1 pt)

Exercice 3 (4 pts)

a) \(\bar{x} = \dfrac{196 + 198 + 200 + 202 + 204}{5} = \dfrac{1000}{5} = 200\) V. (1 pt)

b) Écarts à la moyenne : \(-4, -2, 0, 2, 4\), donc \[V = \frac{(-4)^2 + (-2)^2 + 0^2 + 2^2 + 4^2}{5} = \frac{16 + 4 + 0 + 4 + 16}{5} = \frac{40}{5} = 8 \text{ V}^2\] \(\sigma = \sqrt{8} \approx 2{,}83\) V. (2 pts)

c) \(CV = \dfrac{\sigma}{\bar{x}} \times 100 = \dfrac{2{,}83}{200} \times 100 \approx 1{,}4\,\%\). \(CV \lt 15\,\%\) → faible dispersion. (1 pt)

Exercice 4 (4 pts)

a) \(N = 9\). \(Me\) = rang 5 → \(160\). \(Q_1\) : \(0{,}25 \times 9 = 2{,}25\) → rang 3 → \(142\). \(Q_3\) : \(0{,}75 \times 9 = 6{,}75\) → rang 7 → \(175\). (1,5 pt)

b) \(\text{IIQ} = 175 - 142 = 33\) kWh. Borne supérieure : \(Q_3 + 1{,}5 \times 33 = 175 + 49{,}5 = 224{,}5\) kWh. (1,5 pt)

c) La valeur \(260 \gt 224{,}5\) kWh : elle dépasse la borne supérieure de moustache, c'est donc une valeur aberrante (outlier). Ce bâtiment est anormalement énergivore. (1 pt)

Exercice 5 (5 pts)

a) \(\bar{t} = \dfrac{1+2+3+4+5}{5} = \dfrac{15}{5} = 3\) ; \(\bar{y} = \dfrac{30+34+36+42+48}{5} = \dfrac{190}{5} = 38\).
\(\overline{ty} = \dfrac{1\cdot30 + 2\cdot34 + 3\cdot36 + 4\cdot42 + 5\cdot48}{5} = \dfrac{30+68+108+168+240}{5} = \dfrac{614}{5} = 122{,}8\).
\(\overline{t^2} = \dfrac{1+4+9+16+25}{5} = \dfrac{55}{5} = 11\). (2 pts)

b) \(\text{Cov}(t,y) = \overline{ty} - \bar{t}\,\bar{y} = 122{,}8 - 3 \times 38 = 122{,}8 - 114 = 8{,}8\).
\(\sigma_t^2 = \overline{t^2} - \bar{t}^2 = 11 - 9 = 2\).
\(a = \dfrac{\text{Cov}(t,y)}{\sigma_t^2} = \dfrac{8{,}8}{2} = 4{,}4\) ; \(b = \bar{y} - a\,\bar{t} = 38 - 4{,}4 \times 3 = 38 - 13{,}2 = 24{,}8\). (2 pts)

c) Équation : \(y = 4{,}4\,t + 24{,}8\). Prévision pour \(t = 6\) : \[y = 4{,}4 \times 6 + 24{,}8 = 26{,}4 + 24{,}8 = 51{,}2 \text{ k€}\] (1 pt)

Total : 3 + 4 + 4 + 4 + 5 = 20 points.