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Chapitre 10 – Statistique descriptive

Exercices par capacités · BTS

Dernière mise à jour : 21 juin 2026

Capacités travaillées

C1 — Indicateurs de position

Exercice 1

Un atelier relève le nombre de pièces rebutées par jour sur 5 jours : 4, 7, 5, 6, 8. Calculer la moyenne \(\bar{x}\).

\[\bar{x} = \frac{4+7+5+6+8}{5} = \frac{30}{5} = 6\]

En moyenne, 6 pièces rebutées par jour.

Exercice 2

Un technicien relève le nombre de défauts sur 60 lots. Calculer la moyenne \(\bar{x}\) et donner le mode.

Défauts \(x_i\)01234
Effectif \(n_i\)18221262
\[\bar{x} = \frac{0\times 18 + 1\times 22 + 2\times 12 + 3\times 6 + 4\times 2}{60} = \frac{0+22+24+18+8}{60} = \frac{72}{60} = 1{,}20\]

Mode : la valeur la plus fréquente est 1 (effectif 22).

Exercice 3

Les durées de vie (milliers d'heures) de 9 ampoules LED, triées, sont : 32, 35, 38, 40, 42, 44, 47, 50, 55. Déterminer la médiane \(Me\), \(Q_1\) et \(Q_3\) par lecture directe.

\(N=9\) (impair). Médiane = valeur de rang \(\dfrac{9+1}{2}=5\) → \(Me = 42\).

\(Q_1\) : \(0{,}25\times 9 = 2{,}25\), on prend le rang 3 → \(Q_1 = 38\).

\(Q_3\) : \(0{,}75\times 9 = 6{,}75\), on prend le rang 7 → \(Q_3 = 47\).

Exercice 4

Le diamètre de 100 pièces est regroupé en classes. La FCC passe de 0,25 à 0,53 dans la classe \([24{,}95\,;\,25{,}00[\) (effectif 28). Déterminer la médiane par interpolation linéaire.

Classe (mm)EffectifFréquenceFCC
[24,90 ; 24,95[150,150,25
[24,95 ; 25,00[280,280,53
[25,00 ; 25,05[240,240,77

Classe médiane \([24{,}95\,;\,25{,}00[\), FCC avant = 0,25, \(f_c = 0{,}28\), amplitude 0,05 :

\[Me = 24{,}95 + \frac{0{,}50 - 0{,}25}{0{,}28}\times 0{,}05 = 24{,}95 + \frac{0{,}25}{0{,}28}\times 0{,}05 \approx 24{,}95 + 0{,}0446 \approx 24{,}995 \text{ mm}\]

C2 — Indicateurs de dispersion

Exercice 5

Cinq mesures de tension (V) : 228, 230, 231, 229, 232. Calculer \(\bar{x}\), la variance \(V\) (formule \(V = \overline{x^2} - \bar{x}^2\)) et l'écart-type \(\sigma\).

\[\bar{x} = \frac{228+230+231+229+232}{5} = \frac{1150}{5} = 230 \text{ V}\] \[\overline{x^2} = \frac{51984+52900+53361+52441+53824}{5} = \frac{264510}{5} = 52902\] \[V = 52902 - 230^2 = 52902 - 52900 = 2 \text{ V}^2 \qquad \sigma = \sqrt{2} \approx 1{,}41 \text{ V}\]
Exercice 6

Avec le tableau des défauts par lot (\(\bar{x}=1{,}20\), exercice 2), calculer la variance \(V\) et l'écart-type \(\sigma\).

Défauts \(x_i\)01234
Effectif \(n_i\)18221262
\[\overline{x^2} = \frac{0^2\times 18 + 1^2\times 22 + 2^2\times 12 + 3^2\times 6 + 4^2\times 2}{60} = \frac{0+22+48+54+32}{60} = \frac{156}{60} = 2{,}60\] \[V = \overline{x^2} - \bar{x}^2 = 2{,}60 - (1{,}20)^2 = 2{,}60 - 1{,}44 = 1{,}16 \qquad \sigma = \sqrt{1{,}16} \approx 1{,}077\]
Exercice 7

On compare deux postes de production. Calculer le coefficient de variation \(CV = \frac{\sigma}{\bar{x}}\times 100\) de chacun, et indiquer le poste relativement le plus régulier.

Poste\(\bar{x}\) (mm)\(\sigma\) (mm)
A50,20,8
B12,50,4
\[CV_A = \frac{0{,}8}{50{,}2}\times 100 \approx 1{,}6\,\% \qquad CV_B = \frac{0{,}4}{12{,}5}\times 100 = 3{,}2\,\%\]

Bien que \(\sigma_A \gt \sigma_B\), le poste A est relativement moins dispersé (\(CV_A \lt CV_B\)).

Exercice 8

Sur la série triée 1240, 1380, 1450, 1510, 1590, 1640, 1720, 1800, 1860, 1950, 2010, 3200 (kWh, 12 valeurs), on a \(Q_1 = 1480\) et \(Q_3 = 1905\). Calculer l'étendue \(e\) et l'intervalle interquartile IIQ.

\[e = x_{\max} - x_{\min} = 3200 - 1240 = 1960 \text{ kWh}\] \[\text{IIQ} = Q_3 - Q_1 = 1905 - 1480 = 425 \text{ kWh}\]

L'IIQ (dispersion des 50 % centraux) est bien plus faible que l'étendue, fortement influencée par la valeur extrême 3200.

C3 — Boîte à moustaches

Exercice 9

Consommations de 12 bâtiments (kWh, triées) : 1240, 1380, 1450, 1510, 1590, 1640, 1720, 1800, 1860, 1950, 2010, 3200. Déterminer \(x_{\min}\), \(Q_1\), \(Me\), \(Q_3\), \(x_{\max}\).

\(N=12\), \(x_{\min}=1240\), \(x_{\max}=3200\).

  • \(Q_1\) = moyenne des rangs 3 et 4 = \(\dfrac{1450+1510}{2} = 1480\) kWh
  • \(Me\) = moyenne des rangs 6 et 7 = \(\dfrac{1640+1720}{2} = 1680\) kWh
  • \(Q_3\) = moyenne des rangs 9 et 10 = \(\dfrac{1860+1950}{2} = 1905\) kWh
Exercice 10

Avec \(Q_1 = 1480\) et \(Q_3 = 1905\) kWh, déterminer la borne supérieure de moustache \(Q_3 + 1{,}5\times\text{IIQ}\) et dire si la valeur 3200 kWh est une valeur aberrante (outlier).

\(\text{IIQ} = 1905 - 1480 = 425\) kWh.

\[Q_3 + 1{,}5\times 425 = 1905 + 637{,}5 = 2542{,}5 \text{ kWh}\]

La valeur 3200 kWh dépasse 2542,5 kWh : c'est un outlier. Ce bâtiment est anormalement énergivore et devra faire l'objet d'un audit.

Exercice 11

Voici la boîte à moustaches d'une série de mesures de diamètres (mm). Lire \(x_{\min}\), \(Q_1\), \(Me\), \(Q_3\), \(x_{\max}\), puis calculer l'IIQ.

21 23 25 27 29
Boîte à moustaches des diamètres (mm)

Lecture : \(x_{\min} = 21\) mm, \(Q_1 = 23\) mm, \(Me = 25\) mm, \(Q_3 = 27\) mm, \(x_{\max} = 29\) mm.

\[\text{IIQ} = Q_3 - Q_1 = 27 - 23 = 4 \text{ mm}\]

La distribution est symétrique (médiane au centre de la boîte, moustaches de même longueur).

C4 — Covariance, corrélation et régression

Exercice 12

Pour 5 chantiers, on relève la température extérieure \(x\) (°C) et la consommation de chauffage \(y\) (kWh) : (2 ; 90), (4 ; 80), (6 ; 70), (8 ; 60), (10 ; 50). Calculer \(\bar{x}\), \(\bar{y}\), la covariance \(\text{Cov}(x,y)\) et la pente \(a\) de la droite de régression de \(y\) en \(x\).

\(x\) (°C)246810
\(y\) (kWh)9080706050
\[\bar{x} = \frac{2+4+6+8+10}{5} = 6 \qquad \bar{y} = \frac{90+80+70+60+50}{5} = 70\] \[\overline{xy} = \frac{180+320+420+480+500}{5} = \frac{1900}{5} = 380\] \[\text{Cov}(x,y) = 380 - 6\times 70 = 380 - 420 = -40\] \[\overline{x^2} = \frac{4+16+36+64+100}{5} = 44 \quad\Rightarrow\quad \sigma_x^2 = 44 - 36 = 8\] \[a = \frac{\text{Cov}(x,y)}{\sigma_x^2} = \frac{-40}{8} = -5\]

Quand la température monte de 1 °C, la consommation baisse de 5 kWh (corrélation négative parfaite, \(r=-1\)).

Exercice 13

Un bureau d'études relève, pour 8 bâtiments, la surface de vitrage \(x\) (m²) et la déperdition \(y\) (MWh). Calculer le point moyen \(G(\bar{x}\,;\,\bar{y})\).

\(x\) (m²)2035455060708095
\(y\) (MWh)1218242733384454
\[\bar{x} = \frac{20+35+45+50+60+70+80+95}{8} = \frac{455}{8} = 56{,}875 \text{ m}^2\] \[\bar{y} = \frac{12+18+24+27+33+38+44+54}{8} = \frac{250}{8} = 31{,}25 \text{ MWh}\]

Point moyen : \(G(56{,}875\,;\,31{,}25)\).

Exercice 14

Pour la série de l'exercice 13, on donne \(\Sigma x^2 = 30\,075\), \(\Sigma y^2 = 9\,158\), \(\Sigma xy = 16\,590\) (et \(n=8\), \(\bar{x}=56{,}875\), \(\bar{y}=31{,}25\)). Calculer la covariance, \(\sigma_x\), \(\sigma_y\) puis le coefficient de corrélation \(r\).

\[\overline{xy} = \frac{16\,590}{8} = 2\,073{,}75 \qquad \text{Cov}(x,y) = 2\,073{,}75 - 56{,}875\times 31{,}25 = 2\,073{,}75 - 1\,777{,}34 = 296{,}41\] \[\sigma_x = \sqrt{\frac{30\,075}{8} - 56{,}875^2} = \sqrt{3\,759{,}375 - 3\,234{,}77} = \sqrt{524{,}61} \approx 22{,}90\] \[\sigma_y = \sqrt{\frac{9\,158}{8} - 31{,}25^2} = \sqrt{1\,144{,}75 - 976{,}56} = \sqrt{168{,}19} \approx 12{,}97\] \[r = \frac{296{,}41}{22{,}90\times 12{,}97} = \frac{296{,}41}{297{,}02} \approx 0{,}998\]

\(r\) très proche de 1 : très forte corrélation linéaire positive.

Exercice 15

Toujours pour la série vitrage/déperdition (\(\text{Cov}=296{,}41\), \(\sigma_x^2 = 524{,}61\), \(\bar{x}=56{,}875\), \(\bar{y}=31{,}25\)). Déterminer l'équation de la droite de régression \(y = ax + b\), puis prévoir la déperdition pour un bâtiment de 65 m² de vitrage.

\[a = \frac{\text{Cov}(x,y)}{\sigma_x^2} = \frac{296{,}41}{524{,}61} \approx 0{,}565 \qquad b = \bar{y} - a\bar{x} = 31{,}25 - 0{,}565\times 56{,}875 \approx -0{,}88\] \[\boxed{y = 0{,}565\,x - 0{,}88}\]

Prévision pour \(x = 65\) m² :

\[y = 0{,}565\times 65 - 0{,}88 = 36{,}73 - 0{,}88 \approx 35{,}8 \text{ MWh/an}\]

C5 — Ajustement linéaire d'une série chronologique

Exercice 16

Le chiffre d'affaires annuel (k€) d'une entreprise est relevé sur 7 ans (rang \(t\) de 1 à 7). On donne \(\Sigma t = 28\), \(\Sigma y = 2\,651\), \(\Sigma t^2 = 140\), \(\Sigma ty = 11\,441\). Calculer \(\bar{t}\), \(\bar{y}\), \(\text{Cov}(t,y)\) et \(\sigma_t^2\).

Rang \(t\)1234567
CA \(y\) (k€)312338295371408445482
\[\bar{t} = \frac{28}{7} = 4 \qquad \bar{y} = \frac{2\,651}{7} \approx 378{,}71\] \[\overline{t^2} = \frac{140}{7} = 20 \qquad \overline{ty} = \frac{11\,441}{7} \approx 1\,634{,}43\] \[\text{Cov}(t,y) = 1\,634{,}43 - 4\times 378{,}71 = 1\,634{,}43 - 1\,514{,}84 = 119{,}59\] \[\sigma_t^2 = 20 - 4^2 = 4\]
Exercice 17

Avec \(\text{Cov}(t,y) = 119{,}59\), \(\sigma_t^2 = 4\), \(\bar{t}=4\), \(\bar{y}=378{,}71\), déterminer l'équation de la tendance \(y = at + b\), puis prévoir le CA des années de rang \(t=8\) et \(t=9\).

\[a = \frac{119{,}59}{4} = 29{,}90 \qquad b = 378{,}71 - 29{,}90\times 4 = 378{,}71 - 119{,}60 = 259{,}11\] \[\boxed{y = 29{,}90\,t + 259{,}11}\] \[y(8) = 29{,}90\times 8 + 259{,}11 = 239{,}20 + 259{,}11 = 498{,}31 \text{ k€}\] \[y(9) = 29{,}90\times 9 + 259{,}11 = 269{,}10 + 259{,}11 = 528{,}21 \text{ k€}\]
Exercice 18

Pour la série chronologique précédente, on donne \(\sigma_t = 2\) et \(\sigma_y \approx 97{,}02\) (k€). Calculer le coefficient de corrélation \(r\) et indiquer si l'ajustement linéaire est justifié (critère \(|r|\geq 0{,}9\)).

\[r = \frac{\text{Cov}(t,y)}{\sigma_t\,\sigma_y} = \frac{119{,}59}{2\times 97{,}02} = \frac{119{,}59}{194{,}04} \approx 0{,}986\]

\(r \approx 0{,}986 \geq 0{,}9\) : l'ajustement linéaire est bien adapté, les prévisions sont fiables (en restant prudent sur l'extrapolation à long terme).