Statistique descriptive | BTS | Mathématiques
Dernière mise à jour : 21 octobre 2026
Ce sujet comporte 4 exercices indépendants, que le candidat peut traiter dans l'ordre de son choix. Toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans la notation.
Un chef d'atelier relève, sur 45 lots de production, le nombre \(x_i\) de pièces rebutées par lot :
| Nombre de rebuts \(x_i\) | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|
| Effectif \(n_i\) | 15 | 18 | 9 | 3 |
1. Vérifier que l'effectif total est bien \(N=45\) et donner le mode de la série. (1 point)
2. Calculer la moyenne \(\bar{x}\) du nombre de rebuts par lot. (1,5 point)
3. Calculer \(\overline{x^2}\), puis la variance \(V\) et l'écart-type \(\sigma\) (méthode \(V=\overline{x^2}-\bar{x}^2\)). (2 points)
4. Calculer le coefficient de variation \(CV\) et conclure sur le niveau de dispersion de cette série (faible / modérée / forte). (1,5 point)
1. \(15+18+9+3=45=N\). Le mode est 1 rebut (effectif maximal : 18 lots).
2. \[\bar{x} = \frac{0\times15+1\times18+2\times9+3\times3}{45} = \frac{0+18+18+9}{45} = \frac{45}{45} = 1{,}00 \text{ rebut}\]
3. \[\overline{x^2} = \frac{0^2\times15+1^2\times18+2^2\times9+3^2\times3}{45} = \frac{0+18+36+27}{45} = \frac{81}{45} = 1{,}80\] \[V = \overline{x^2}-\bar{x}^2 = 1{,}80-1{,}00^2 = 0{,}80\] \[\sigma = \sqrt{0{,}80} \approx 0{,}894 \text{ rebut}\]
4. \[CV = \frac{\sigma}{\bar{x}}\times100 = \frac{0{,}894}{1{,}00}\times100 \approx 89{,}4\,\%\]
\(CV \approx 89{,}4\,\% > 30\,\%\) : la dispersion du nombre de rebuts par lot est forte — le procédé n'est pas stable d'un lot à l'autre, ce qui justifie une recherche de cause assignable.
Un contrôleur mesure l'épaisseur (en µm) du dépôt de peinture sur 9 pièces métalliques usinées, prélevées en fin de chaîne de traitement de surface :
45 — 52 — 48 — 60 — 55 — 50 — 58 — 63 — 47
1. Trier la série. Donner \(x_{\min}\) et \(x_{\max}\). (0,5 point)
2. Calculer l'épaisseur moyenne \(\bar{x}\). (1 point)
3. Déterminer la médiane, \(Q_1\) et \(Q_3\) (méthode du rang \(\lceil N/4 \rceil\)). (1,5 point)
4. Calculer l'IIQ. Une pièce dont le dépôt mesure 75 µm serait-elle considérée comme une valeur aberrante ? (1 point)
5. Construire la boîte à moustaches de la série. (1 point)
1. Série triée : 45, 47, 48, 50, 52, 55, 58, 60, 63. \(x_{\min}=45\) µm, \(x_{\max}=63\) µm.
2. \[\bar{x} = \frac{45+47+48+50+52+55+58+60+63}{9} = \frac{478}{9} \approx 53{,}1 \text{ µm}\]
3. \(N=9\). Médiane : rang \(\frac{9+1}{2}=5\) → \(Me=52\) µm.
\(Q_1\) : rang \(\lceil 9/4 \rceil = 3\) → \(Q_1=48\) µm. \(Q_3\) : rang \(\lceil 27/4 \rceil = 7\) → \(Q_3=58\) µm.
4. \(\text{IIQ}=58-48=10\) µm. Borne haute : \(Q_3+1{,}5\times\text{IIQ}=58+15=73\) µm.
\(75 \text{ µm} > 73\) µm : cette pièce serait considérée comme une valeur aberrante.
5.
Un bureau d'études relève, pour 6 pièces mécaniques, la dureté Rockwell \(x\) et la durée de résistance à l'usure \(y\) (en heures) avant apparition d'un défaut visible :
| Pièce | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Dureté \(x\) | 20 | 25 | 30 | 35 | 40 | 45 |
| Résistance \(y\) (h) | 120 | 150 | 170 | 200 | 230 | 250 |
1. Calculer le point moyen \(G(\bar{x}\,;\,\bar{y})\). (1 point)
2. Calculer la covariance \(\mathrm{Cov}(x,y)\). (1 point)
3. Calculer le coefficient de corrélation \(r\) et conclure sur la pertinence d'un ajustement affine. (1,5 point)
4. Déterminer l'équation de la droite de régression de \(y\) en \(x\) (méthode des moindres carrés). (1 point)
5. Estimer la résistance à l'usure d'une pièce de dureté 50. Cette estimation est-elle fiable ? (0,5 point)
1. \[\bar{x} = \frac{20+25+30+35+40+45}{6} = \frac{195}{6} = 32{,}5 \qquad \bar{y} = \frac{120+150+170+200+230+250}{6} = \frac{1\,120}{6} \approx 186{,}67\]
2. \[\overline{xy} = \frac{20\times120+25\times150+30\times170+35\times200+40\times230+45\times250}{6}\] \[\overline{xy} = \frac{2400+3750+5100+7000+9200+11250}{6} = \frac{38\,700}{6} = 6\,450\] \[\mathrm{Cov}(x,y) = \overline{xy}-\bar{x}\,\bar{y} = 6\,450-32{,}5\times186{,}67 \approx 6\,450-6\,066{,}67 \approx 383{,}33\]
3. \[\overline{x^2} = \frac{400+625+900+1225+1600+2025}{6} = \frac{6\,775}{6} \approx 1\,129{,}17 \Rightarrow \sigma_x = \sqrt{1\,129{,}17-32{,}5^2} = \sqrt{72{,}92} \approx 8{,}54\] \[\overline{y^2} = \frac{14\,400+22\,500+28\,900+40\,000+52\,900+62\,500}{6} = \frac{221\,200}{6} \approx 36\,866{,}67\] \[\sigma_y = \sqrt{36\,866{,}67-186{,}67^2} \approx \sqrt{2\,010{,}56} \approx 44{,}84\] \[r = \frac{\mathrm{Cov}(x,y)}{\sigma_x\,\sigma_y} \approx \frac{383{,}33}{8{,}54\times44{,}84} \approx 0{,}998\]
\(|r| \approx 0{,}998 \geqslant 0{,}9\) : la corrélation linéaire est très forte, un ajustement affine est tout à fait pertinent.
4. \[a = \frac{\mathrm{Cov}(x,y)}{\sigma_x^2} = \frac{383{,}33}{72{,}92} \approx 5{,}257 \qquad b = \bar{y}-a\,\bar{x} \approx 186{,}67-5{,}257\times32{,}5 \approx 15{,}81\] \[\boxed{y = 5{,}257\,x+15{,}81}\]
5. \[y = 5{,}257\times50+15{,}81 \approx 278{,}7 \text{ heures}\]
La dureté 50 est légèrement au-delà de la plage observée (20 à 45) : il s'agit d'une légère extrapolation, à interpréter avec prudence même si la corrélation est excellente.
Un service de maintenance industrielle relève le nombre d'interventions réalisées chaque trimestre sur 5 trimestres consécutifs :
| Rang \(t\) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| Interventions \(y\) | 40 | 45 | 42 | 50 | 53 |
1. Calculer \(\bar{t}\) et \(\bar{y}\). (0,5 point)
2. Calculer la covariance \(\mathrm{Cov}(t,y)\) et la variance \(\sigma_t^2\), puis en déduire les coefficients \(a\) et \(b\) de la droite \(y=at+b\). (2 points)
3. Calculer le coefficient de corrélation \(r\), vérifier qu'il justifie (de justesse) un ajustement linéaire, puis estimer le nombre d'interventions prévues au trimestre de rang 6. (1,5 point)
1. \[\bar{t} = \frac{1+2+3+4+5}{5} = \frac{15}{5} = 3 \qquad \bar{y} = \frac{40+45+42+50+53}{5} = \frac{230}{5} = 46\]
2. \[\overline{ty} = \frac{1\times40+2\times45+3\times42+4\times50+5\times53}{5} = \frac{40+90+126+200+265}{5} = \frac{721}{5} = 144{,}2\] \[\mathrm{Cov}(t,y) = \overline{ty}-\bar{t}\,\bar{y} = 144{,}2-3\times46 = 144{,}2-138 = 6{,}2\] \[\overline{t^2} = \frac{1+4+9+16+25}{5} = \frac{55}{5} = 11 \Rightarrow \sigma_t^2 = 11-3^2 = 2\] \[a = \frac{\mathrm{Cov}(t,y)}{\sigma_t^2} = \frac{6{,}2}{2} = 3{,}1 \qquad b = \bar{y}-a\,\bar{t} = 46-3{,}1\times3 = 36{,}7\] \[\boxed{y = 3{,}1\,t+36{,}7}\]
3. \[\overline{y^2} = \frac{1600+2025+1764+2500+2809}{5} = \frac{10\,698}{5} = 2\,139{,}6 \Rightarrow \sigma_y = \sqrt{2\,139{,}6-46^2} = \sqrt{23{,}6} \approx 4{,}858\] \[\sigma_t = \sqrt{2} \approx 1{,}414\] \[r = \frac{\mathrm{Cov}(t,y)}{\sigma_t\,\sigma_y} = \frac{6{,}2}{1{,}414\times4{,}858} \approx 0{,}902\]
\(r \approx 0{,}902\) : la valeur franchit tout juste le seuil de 0,9, l'ajustement linéaire reste acceptable mais limite.
\[y_{t=6} = 3{,}1\times6+36{,}7 = 18{,}6+36{,}7 = 55{,}3\]On peut estimer à environ 55 interventions pour le 6e trimestre.