Ch09 – Probabilités 2 – QCM

Question 1

Une variable \(X\) suit la loi binomiale \(B(n,p)\). Quelle est l'expression de \(P(X = k)\) ?

\(p^k(1-p)^{n-k}\) \(e^{-p}\dfrac{p^k}{k!}\) \(\dbinom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}\) \(\dbinom{n}{k}p^{n-k}(1-p)^{k}\)

Question 2

Soit \(X \sim B(50\,;\,0{,}02)\). Que valent l'espérance \(E(X)\) et la variance \(V(X)\) ?

\(E(X) = 0{,}02\) et \(V(X) = 0{,}02\) \(E(X) = 1\) et \(V(X) = 0{,}98\) \(E(X) = 50\) et \(V(X) = 1\) \(E(X) = 1\) et \(V(X) = 1\)

Question 3

Une variable \(X\) suit la loi de Poisson \(\mathcal{P}(\lambda)\). Quelle est l'expression de \(P(X = k)\) ?

\(e^{-\lambda}\dfrac{\lambda^k}{k!}\) \(\dfrac{\lambda^k}{k!}\) \(e^{\lambda}\dfrac{\lambda^k}{k!}\) \(\dbinom{\lambda}{k}\lambda^k\)

Question 4

Quelle propriété caractérise la loi de Poisson \(\mathcal{P}(\lambda)\) ?

\(E(X) = \lambda\) et \(V(X) = \lambda^2\) \(E(X) = \sqrt{\lambda}\) et \(V(X) = \lambda\) \(E(X) = 0\) et \(V(X) = 1\) \(E(X) = \lambda\) et \(V(X) = \lambda\) (espérance = variance)

Question 5

Une ligne subit en moyenne \(\lambda = 3\) pannes par semaine, \(X \sim \mathcal{P}(3)\). Quelle est la probabilité d'aucune panne, \(P(X = 0)\) ?

\(3\) \(e^{-3} \approx 0{,}050\) \(0\) \(1 - e^{-3} \approx 0{,}95\)

Question 6

Sous quelles conditions peut-on approcher une loi binomiale \(B(n,p)\) par une loi de Poisson \(\mathcal{P}(np)\) ?

\(n\) petit et \(p\) grand \(np \ge 5\) et \(n(1-p) \ge 5\) \(n\) grand (\(n \ge 50\)) et \(p\) petit (\(p \le 0{,}1\)) \(p = 0{,}5\) toujours

Question 7

Pour la loi normale centrée réduite \(Z \sim \mathcal{N}(0,1)\), quelle relation de symétrie est correcte ?

\(\Phi(-z) = 1 - \Phi(z)\) \(\Phi(-z) = \Phi(z)\) \(\Phi(-z) = -\Phi(z)\) \(\Phi(-z) = 1 + \Phi(z)\)

Question 8

Le diamètre d'une pièce suit \(\mathcal{N}(50\,;\,0{,}04)\) (donc \(\mu = 50\) mm, \(\sigma = 0{,}2\) mm). Quelle est la variable réduite associée à \(x = 50{,}4\) mm ?

\(z = 0{,}4\) \(z = 10\) \(z = 1\) \(z = \dfrac{50{,}4 - 50}{0{,}2} = 2\)

Question 9

On donne \(\Phi(2) = 0{,}9772\). Pour \(X \sim \mathcal{N}(50\,;\,0{,}04)\), que vaut \(P(49{,}6 \le X \le 50{,}4) = P(-2 \le Z \le 2)\) ?

\(0{,}9772\) \(2\Phi(2) - 1 = 0{,}9544\) \(0{,}68\) \(0{,}50\)

Question 10

Quelle est la valeur de \(z_{\alpha/2}\) à utiliser pour un intervalle de confiance au niveau de confiance 95 % ?

\(1{,}645\) \(2{,}576\) \(1{,}96\) \(0{,}95\)

Question 11

Soit \(X \sim B(100\,;\,0{,}3)\). Pour approcher par une loi normale, quels sont les paramètres \(\mu\) et \(\sigma\) ?

\(\mu = 30\) et \(\sigma = \sqrt{21} \approx 4{,}58\) \(\mu = 30\) et \(\sigma = 21\) \(\mu = 0{,}3\) et \(\sigma = 0{,}21\) \(\mu = 100\) et \(\sigma = 30\)

Question 12

Pour appliquer la correction de continuité dans une approximation \(B \to \mathcal{N}\), comment calcule-t-on \(P(X \le 25)\) ?

\(P(X \le 25) \approx P(Y \le 25)\) sans correction \(P(X \le 25) \approx P(Y \le 25{,}5)\) \(P(X \le 25) \approx P(Y \le 24{,}5)\) \(P(X \le 25) \approx P(Y \le 30)\)