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Interrogation — Ch09 : Probabilités 2

BTS | Mathématiques | Durée : 40 min | /20

Dernière mise à jour : 21 juin 2026

Nom : _____ Prénom : _____ Date : _____

Extrait de la table de la loi normale centrée réduite \(\mathcal{N}(0,1)\) :

\(z\)1,01,281,6451,962,02,576
\(\Phi(z)\)0,84130,90000,95000,97500,97720,9950

Exercice 1 — Loi binomiale (4 pts)

Dans une chaîne de production, 5 % des pièces sont hors tolérance. On prélève \(n = 15\) pièces et on note \(X\) le nombre de pièces hors tolérance.

  1. Préciser la loi de \(X\). (1 pt)
  2. Calculer \(E(X)\) et \(\sigma(X)\). (1,5 pt)
  3. Calculer \(P(X = 0)\). On donne \((0{,}95)^{15} \approx 0{,}4633\). (1,5 pt)

Exercice 2 — Loi de Poisson (4 pts)

Une ligne de production subit en moyenne 2 pannes par semaine. Soit \(X\) le nombre de pannes par semaine, \(X \sim \mathcal{P}(2)\). On donne \(e^{-2} \approx 0{,}135\).

  1. Rappeler \(E(X)\) et \(V(X)\). (1 pt)
  2. Calculer \(P(X = 0)\) et \(P(X = 1)\). (2 pts)
  3. Calculer \(P(X \ge 2)\). (1 pt)

Exercice 3 — Loi normale (5 pts)

La résistance \(X\) (en \(\Omega\)) d'un composant suit la loi \(\mathcal{N}(100\,;\,9)\), soit \(\mu = 100\,\Omega\) et \(\sigma = 3\,\Omega\).

  1. Calculer la probabilité que la résistance dépasse 106 \(\Omega\), \(P(X \gt 106)\). (2,5 pts)
  2. Déterminer la valeur \(a\) telle que 95 % des composants aient une résistance inférieure à \(a\). (2,5 pts)

Exercice 4 — Approximation binomiale → Poisson (3 pts)

Sur 100 pièces, le taux de défaut est \(p = 0{,}02\). Soit \(X \sim B(100\,;\,0{,}02)\).

  1. Vérifier les conditions de l'approximation par une loi de Poisson et donner le paramètre \(\lambda\). (1,5 pt)
  2. Calculer \(P(X = 0)\) avec l'approximation de Poisson. On donne \(e^{-2} \approx 0{,}135\). (1,5 pt)

Exercice 5 — Intervalle de confiance (4 pts)

Sur 400 pièces contrôlées, 8 sont défectueuses. On veut estimer le taux de défaut réel \(p\) au niveau de confiance 95 % (\(z_{\alpha/2} = 1{,}96\)).

  1. Calculer la fréquence observée \(\hat{p}\) et \(\hat{\sigma} = \sqrt{\hat{p}(1-\hat{p})}\). (1,5 pt)
  2. Calculer la marge d'erreur, puis donner l'intervalle de confiance à 95 %. (2,5 pts)

Correction

Exercice 1 (4 pts)

a) \(X \sim B(15\,;\,0{,}05)\) (15 épreuves indépendantes, \(p = 0{,}05\)). (1 pt)

b) \(E(X) = np = 15 \times 0{,}05 = 0{,}75\) ; \(\sigma(X) = \sqrt{npq} = \sqrt{15 \times 0{,}05 \times 0{,}95} = \sqrt{0{,}7125} \approx 0{,}844\). (1,5 pt)

c) \(P(X = 0) = \dbinom{15}{0}(0{,}05)^0(0{,}95)^{15} = (0{,}95)^{15} \approx 0{,}4633\), soit environ 46,3 %. (1,5 pt)

Exercice 2 (4 pts)

a) Pour la loi de Poisson : \(E(X) = \lambda = 2\) et \(V(X) = \lambda = 2\). (1 pt)

b) \(P(X = 0) = e^{-2}\dfrac{2^0}{0!} = e^{-2} \approx 0{,}135\) ;
\(P(X = 1) = e^{-2}\dfrac{2^1}{1!} = 2e^{-2} \approx 0{,}271\). (2 pts)

c) \(P(X \ge 2) = 1 - P(X = 0) - P(X = 1) \approx 1 - 0{,}135 - 0{,}271 = 0{,}594\), soit environ 59,4 %. (1 pt)

Exercice 3 (5 pts)

a) On centre-réduit : \(z = \dfrac{106 - 100}{3} = \dfrac{6}{3} = 2\). \[P(X \gt 106) = P(Z \gt 2) = 1 - \Phi(2) = 1 - 0{,}9772 = 0{,}0228\] soit environ 2,3 %. (2,5 pts)

b) On cherche \(a\) tel que \(\Phi\!\left(\dfrac{a - 100}{3}\right) = 0{,}95\). D'après la table, \(\Phi(1{,}645) = 0{,}95\), donc : \[\frac{a - 100}{3} = 1{,}645 \;\Rightarrow\; a = 100 + 3 \times 1{,}645 = 104{,}935 \approx 104{,}9\,\Omega\] (2,5 pts)

Exercice 4 (3 pts)

a) Conditions : \(n = 100 \ge 50\) et \(p = 0{,}02 \le 0{,}1\) ✓. On approche par \(\mathcal{P}(\lambda)\) avec \(\lambda = np = 100 \times 0{,}02 = 2\). (1,5 pt)

b) \(P(X = 0) \approx e^{-\lambda}\dfrac{\lambda^0}{0!} = e^{-2} \approx 0{,}135\), soit environ 13,5 %. (1,5 pt)

Exercice 5 (4 pts)

a) \(\hat{p} = \dfrac{8}{400} = 0{,}02\) ; \(\hat{\sigma} = \sqrt{0{,}02 \times 0{,}98} = \sqrt{0{,}0196} = 0{,}14\). (1,5 pt)

b) Marge d'erreur : \(1{,}96 \times \dfrac{0{,}14}{\sqrt{400}} = 1{,}96 \times \dfrac{0{,}14}{20} = 1{,}96 \times 0{,}007 = 0{,}0137\). \[IC_{95\%} = [0{,}02 - 0{,}0137\,;\;0{,}02 + 0{,}0137] = [0{,}0063\,;\;0{,}0337]\] On estime avec 95 % de confiance que le taux de défaut réel est compris entre environ 0,6 % et 3,4 %. (2,5 pts)

Total : 4 + 4 + 5 + 3 + 4 = 20 points.