Fiche résumé – Probabilités 2

Chapitre 9 | BTS | Mathématiques

Dernière mise à jour : 21 juin 2026

L'essentiel :

Trois lois fondamentales : binomiale \(B(n,p)\), Poisson \(\mathcal{P}(\lambda)\), normale \(\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)\).
Comptage de succès dans \(n\) épreuves → binomiale ; événements rares sur un intervalle → Poisson ; mesure continue → normale.
Pour Poisson : \(E(X)=V(X)=\lambda\) (propriété caractéristique).
Loi normale : on standardise (\(Z=\tfrac{X-\mu}{\sigma}\)) et on lit la table.
Approximations : \(B\to\mathcal{P}\) (n grand, p petit), \(B\to\mathcal{N}\) (np et nq \(\ge 5\)).

Définitions clés

Définition

Loi binomiale \(B(n,p)\) : nombre de succès dans \(n\) épreuves de Bernoulli indépendantes de probabilité \(p\).

Définition

Loi de Poisson \(\mathcal{P}(\lambda)\) : nombre d'événements rares survenant à taux moyen constant \(\lambda\) sur un intervalle de temps ou d'espace.

Définition

Loi normale \(\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)\) : variable continue à densité en cloche, centrée en \(\mu\), d'étalement \(\sigma\). Réduite : \(\mathcal{N}(0,1)\), \(\Phi(z)=P(Z\le z)\).

Définition

Intervalle de confiance : encadrement d'un paramètre de la population (ici la proportion \(p\)) à partir de l'observation d'un échantillon, à un niveau \(1-\alpha\).

Formules à connaître

Les trois lois \[B(n,p):\ P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k},\quad E=np,\quad V=np(1-p)\] \[\mathcal{P}(\lambda):\ P(X=k)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!},\quad E=\lambda,\quad V=\lambda\] \[\mathcal{N}(\mu,\sigma^2):\ Z=\frac{X-\mu}{\sigma}\sim\mathcal{N}(0,1),\quad P(a\le X\le b)=\Phi(z_2)-\Phi(z_1)\]

Intervalle de confiance pour une proportion (niveau \(1-\alpha\)) \[\left[\hat p-z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}}\,;\;\hat p+z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}}\right]\]

avec \(\hat p=\dfrac{k}{n}\) et \(z_{\alpha/2}=1{,}645\) (90 %), \(1{,}96\) (95 %), \(2{,}576\) (99 %).

Table de \(\mathcal{N}(0,1)\) — valeurs usuelles

\(z\)	1,0	1,28	1,5	1,645	1,96	2,0	2,576	3,0
\(\Phi(z)\)	0,8413	0,9000	0,9332	0,9500	0,9750	0,9772	0,9950	0,9987

Symétrie : \(\Phi(-z)=1-\Phi(z)\) ; \(P(-z\le Z\le z)=2\Phi(z)-1\).

Approximations entre lois

Propriété

De	Vers	Condition
\(B(n,p)\)	\(\mathcal{P}(\lambda=np)\)	\(n\ge 50\) et \(p\le 0{,}1\)
\(B(n,p)\)	\(\mathcal{N}(np,\,npq)\)	\(np\ge 5\) et \(nq\ge 5\)
\(\mathcal{P}(\lambda)\)	\(\mathcal{N}(\lambda,\,\lambda)\)	\(\lambda\ge 20\)

Pour \(B\to\mathcal{N}\), appliquer la correction de continuité : \(P(X\le k)\approx P\!\left(Z\le\dfrac{k+0{,}5-np}{\sqrt{npq}}\right)\).

Méthode — Choisir la bonne loi

Méthode Arbre de décision

Variable continue (mesure, durée, dimension) → loi normale.
Variable discrète : compte-t-on des succès dans \(n\) épreuves fixées ? → loi binomiale.
Sinon, comptage d'événements rares sur un intervalle (temps, surface) → loi de Poisson.
Penser aux approximations si \(n\) est grand.

Erreurs fréquentes

Attention

❌ Utiliser \(\sigma^2\) au lieu de \(\sigma\) pour réduire une loi normale.

✅ \(\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)\) : la variance est \(\sigma^2\), on réduit avec \(\sigma=\sqrt{\sigma^2}\).

❌ Adapter \(\lambda\) à un autre intervalle de temps en l'oubliant.

✅ \(\lambda\) est proportionnel à la durée : 3/semaine → \(0{,}6\)/jour.

❌ Choisir Poisson quand le nombre d'épreuves \(n\) est fixé et connu.

✅ \(n\) fixé + succès/échec indépendants ⇒ binomiale, pas Poisson.

❌ Oublier d'inverser \(\Phi\) pour un calcul de quantile.

✅ Si \(P(X\le a)=0{,}95\), lire \(z\) tel que \(\Phi(z)=0{,}95\) (\(z=1{,}645\)) puis \(a=\mu+z\sigma\).