Probabilités 2 | BTS | Mathématiques
Dernière mise à jour : 21 octobre 2026
Lors d'un test unitaire, un condensateur a une probabilité \(p = 0{,}08\) d'être défectueux. On note \(X\) la variable aléatoire égale à 1 si le condensateur testé est défectueux, et à 0 sinon.
1. \(X\) prend deux valeurs (0 ou 1) avec une probabilité de succès constante : \(X \sim \mathcal{B}(0{,}08)\).
2. \(E(X) = p = 0{,}08\) et \(V(X) = p(1-p) = 0{,}08 \times 0{,}92 = 0{,}0736\).
Calculer les coefficients binomiaux suivants, en détaillant le calcul pour le premier :
\(\dbinom{6}{2}\) \(\dbinom{8}{3}\) \(\dbinom{10}{0}\) \(\dbinom{10}{10}\)
\(\dbinom{6}{2} = \dfrac{6!}{2!\,4!} = \dfrac{6\times5}{2\times1} = 15\)
\(\dbinom{8}{3} = \dfrac{8!}{3!\,5!} = \dfrac{8\times7\times6}{3\times2\times1} = 56\)
\(\dbinom{10}{0} = 1\) (une seule façon de ne rien choisir) \(\dbinom{10}{10} = 1\) (une seule façon de tout choisir).
Un responsable qualité prélève au hasard 10 vis dans un très grand stock où le taux de non-conformité est de 5 %. On admet que les tirages sont indépendants. On note \(X\) le nombre de vis non conformes parmi les 10 prélevées.
1. On répète 10 épreuves de Bernoulli indépendantes (« vis non conforme » / « vis conforme »), chacune de paramètre \(p=0{,}05\) : \(X \sim B(10\,;\,0{,}05)\).
2. \(P(X=0) = \dbinom{10}{0}(0{,}05)^0(0{,}95)^{10} = (0{,}95)^{10} \approx 0{,}5987\).
\(P(X=1) = \dbinom{10}{1}(0{,}05)^1(0{,}95)^{9} = 10 \times 0{,}05 \times (0{,}95)^{9} \approx 0{,}3151\).
Sur une chaîne d'assemblage automobile, le taux de rebut d'un composant plastique est de 3 %. On prélève un échantillon de 40 pièces. Soit \(X\) le nombre de pièces rebutées, \(X \sim B(40\,;\,0{,}03)\).
1. \(E(X) = np = 40 \times 0{,}03 = 1{,}2\). On peut donc s'attendre, en moyenne, à 1,2 pièce rebutée par échantillon de 40.
2. \(V(X) = np(1-p) = 40 \times 0{,}03 \times 0{,}97 = 1{,}164\). \(\sigma(X) = \sqrt{1{,}164} \approx 1{,}079\).
Un technicien de maintenance teste 6 capteurs de température pris au hasard sur un lot où 20 % des capteurs présentent un défaut de calibration. Les tests sont indépendants. Soit \(X\) le nombre de capteurs défectueux, \(X \sim B(6\,;\,0{,}2)\).
1. \(P(X=0) = (0{,}8)^6 \approx 0{,}2621\).
\(P(X=1) = \dbinom{6}{1}(0{,}2)^1(0{,}8)^5 = 6 \times 0{,}2 \times (0{,}8)^5 \approx 0{,}3932\).
2. \(P(X \leq 1) = P(X=0)+P(X=1) \approx 0{,}2621+0{,}3932 = 0{,}6554\).
\(P(X \geq 2) = 1 - P(X \leq 1) \approx 1 - 0{,}6554 = 0{,}3446\). Il y a donc environ 34,5 % de chance de trouver au moins 2 capteurs défectueux.
Un centre d'appels d'un service après-vente reçoit en moyenne 4 réclamations par heure, de façon indépendante et à taux constant. Soit \(X\) le nombre de réclamations reçues durant une heure donnée, \(X \sim \mathcal{P}(4)\).
1. Les réclamations sont des événements indépendants, survenant à un taux moyen constant (4 par heure) : cela correspond bien au cadre de la loi de Poisson.
2. \(P(X=0) = e^{-4}\dfrac{4^0}{0!} = e^{-4} \approx 0{,}0183\).
\(P(X=2) = e^{-4}\dfrac{4^2}{2!} = e^{-4}\times 8 \approx 0{,}1465\).
Un serveur informatique industriel subit en moyenne 1,5 incident par jour. Soit \(X\) le nombre d'incidents un jour donné, \(X \sim \mathcal{P}(1{,}5)\).
1. \(P(X=0) = e^{-1{,}5} \approx 0{,}2231\).
2. \(P(X \geq 1) = 1 - P(X=0) \approx 1 - 0{,}2231 = 0{,}7769\). Il y a donc environ 77,7 % de chance qu'au moins un incident survienne dans la journée.
Un atelier de production enregistre en moyenne 6 incidents mineurs par semaine de 5 jours ouvrés.
1. Le taux hebdomadaire \(\lambda = 6\) se répartit sur 5 jours : \(\lambda_j = \dfrac{6}{5} = 1{,}2\) incident par jour.
2. \(P(X=0) = e^{-1{,}2} \approx 0{,}3012\). Il y a donc environ 30,1 % de chance qu'un jour se déroule sans incident.
Un contrôle porte sur 300 composants électroniques prélevés dans une très grande production où le taux de défaut est \(p=0{,}008\). Soit \(X\) le nombre de composants défectueux, \(X \sim B(300\,;\,0{,}008)\).
1. \(n = 300 \geq 50\) et \(p = 0{,}008 \leq 0{,}1\) : les conditions sont vérifiées. \(\lambda = np = 300 \times 0{,}008 = 2{,}4\).
2. \(P(X=0) \approx e^{-2{,}4} \approx 0{,}0907\).
La valeur exacte est \(0{,}0898\) : l'approximation de Poisson (0,0907) est très proche de la valeur exacte, ce qui justifie son emploi pour simplifier les calculs lorsque \(n\) est grand.
Le diagramme suivant compare les probabilités \(P(X=k)\) exactes de la loi \(B(300\,;\,0{,}008)\) et celles de l'approximation \(\mathcal{P}(2{,}4)\) pour \(k=0\) à \(8\) (données de l'exercice 9).
Le diamètre d'un axe usiné suit une loi normale \(\mathcal{N}(30\,;\,0{,}0225)\), en millimètres, soit \(\mu = 30\) mm et \(\sigma = 0{,}15\) mm. La tolérance de fabrication impose un diamètre compris entre 29,7 mm et 30,3 mm.
1. \(z_1 = \dfrac{29{,}7-30}{0{,}15} = -2 \qquad z_2 = \dfrac{30{,}3-30}{0{,}15} = 2\)
2. \(P(29{,}7 \leq X \leq 30{,}3) = \Phi(2) - \Phi(-2) = 2\Phi(2) - 1 = 2\times0{,}9772 - 1 = 0{,}9545\).
Environ 95,4 % des axes sont dans la tolérance, donc environ 4,6 % sont hors tolérance.
La masse d'une pièce moulée suit une loi normale \(\mathcal{N}(500\,;\,64)\), en grammes, soit \(\mu = 500\) g et \(\sigma = 8\) g. Une pièce est rejetée si sa masse dépasse 512 g.
1. \(z = \dfrac{512-500}{8} = \dfrac{12}{8} = 1{,}5\)
2. \(P(X > 512) = 1 - \Phi(1{,}5) \approx 1 - 0{,}9332 = 0{,}0668\). Il y a donc environ 6,7 % de chance qu'une pièce soit rejetée pour excès de masse.
La durée de vie d'un roulement à billes industriel suit une loi normale \(\mathcal{N}(8\,000\,;\,160\,000)\), en heures, soit \(\mu = 8\,000\) h et \(\sigma = 400\) h. Un fabricant souhaite fixer une durée de garantie \(t_G\) telle que seulement 10 % des roulements tombent en panne avant cette durée.
1. On cherche \(t_G\) tel que \(P(X < t_G) = 0{,}10\), soit \(\Phi\!\left(\dfrac{t_G-8\,000}{400}\right) = 0{,}10\).
2. Par symétrie, \(\Phi(-1{,}28) = 0{,}10\), donc \(\dfrac{t_G-8\,000}{400} = -1{,}28\).
\(t_G = 8\,000 - 1{,}28 \times 400 = 8\,000 - 512 = 7\,488\) h.
Le fabricant peut donc garantir 7 488 heures : seuls 10 % des roulements tomberont en panne avant cette échéance.
Une machine de découpe laser produit des pièces dont la longueur suit une loi normale \(\mathcal{N}(150\,;\,0{,}25)\), en millimètres, soit \(\mu = 150\) mm et \(\sigma = 0{,}5\) mm.
1 et 2.
\([\mu-\sigma\,;\,\mu+\sigma] = [149{,}5\,;\,150{,}5]\) mm — environ 68,27 % des pièces.
\([\mu-2\sigma\,;\,\mu+2\sigma] = [149\,;\,151]\) mm — environ 95,45 % des pièces.
\([\mu-3\sigma\,;\,\mu+3\sigma] = [148{,}5\,;\,151{,}5]\) mm — environ 99,73 % des pièces.
Sur une ligne de production, le taux de défaut est de 4 %. On prélève un échantillon de 200 pièces. Soit \(X\) le nombre de pièces défectueuses, \(X \sim B(200\,;\,0{,}04)\).
1. \(np = 200\times0{,}04 = 8 \geq 5\) et \(n(1-p) = 200\times0{,}96 = 192 \geq 5\) : les conditions sont vérifiées.
\(\mu = np = 8\) et \(\sigma = \sqrt{np(1-p)} = \sqrt{200\times0{,}04\times0{,}96} = \sqrt{7{,}68} \approx 2{,}771\).
2. Avec la correction de continuité :
\[P(X \leq 10) \approx P\!\left(Z \leq \frac{10{,}5-8}{2{,}771}\right) = P(Z \leq 0{,}902) = \Phi(0{,}902) \approx 0{,}8165\](À titre de comparaison, le calcul exact avec la loi binomiale donne \(P(X\leq10) \approx 0{,}8200\) : l'approximation normale est très satisfaisante.)
Sur 400 pièces contrôlées en fin de chaîne, 18 sont non conformes. On souhaite estimer le taux de non-conformité réel \(p\) de la production par un intervalle de confiance au niveau 95 %.
1. \(\hat p = \dfrac{18}{400} = 0{,}045\).
2. \(\hat\sigma = \sqrt{\hat p(1-\hat p)} = \sqrt{0{,}045\times0{,}955} \approx 0{,}2073\).
Marge d'erreur : \(1{,}96 \times \dfrac{0{,}2073}{\sqrt{400}} = 1{,}96 \times \dfrac{0{,}2073}{20} \approx 0{,}0203\).
\[IC_{95\%} = [0{,}045-0{,}0203\,;\,0{,}045+0{,}0203] = [0{,}0247\,;\,0{,}0653]\]On peut affirmer avec 95 % de confiance que le taux de non-conformité réel de la production est compris entre 2,47 % et 6,53 %.
Un responsable de maintenance relève, sur 150 mesures de température effectuées dans une chambre froide, que 9 sont en dehors de la plage acceptable. On note \(\hat p\) la fréquence observée de mesures hors plage.
1. \(\hat p = \dfrac{9}{150} = 0{,}06\) et \(\hat\sigma = \sqrt{0{,}06\times0{,}94} \approx 0{,}2375\).
2. Marge à 90 % : \(1{,}645 \times \dfrac{0{,}2375}{\sqrt{150}} \approx 1{,}645 \times 0{,}0194 \approx 0{,}0319\).
\[IC_{90\%} = [0{,}06-0{,}0319\,;\,0{,}06+0{,}0319] = [0{,}0281\,;\,0{,}0919]\]Marge à 99 % : \(2{,}576 \times 0{,}0194 \approx 0{,}0500\).
\[IC_{99\%} = [0{,}06-0{,}0500\,;\,0{,}06+0{,}0500] = [0{,}0100\,;\,0{,}1100]\]3. L'intervalle à 99 % (largeur \(\approx0{,}1000\)) est plus large que celui à 90 % (largeur \(\approx0{,}0638\)) : plus on exige un niveau de confiance élevé, plus l'intervalle doit être large pour « avoir des chances » de contenir la vraie valeur de \(p\).
Pour chacune des situations suivantes, identifier la loi de probabilité à utiliser (binomiale, Poisson ou normale), préciser ses paramètres, puis répondre à la question posée.
1. Loi normale — variable continue (épaisseur mesurée), \(\mathcal{N}(18\,;\,0{,}01)\), donc \(\sigma = 0{,}1\) mm.
\[z_1 = \frac{17{,}8-18}{0{,}1} = -2 \qquad z_2 = \frac{18{,}2-18}{0{,}1} = 2\] \[P = 2\Phi(2)-1 = 2\times0{,}9772-1 = 0{,}9545\]Environ 95,4 % des panneaux ont une épaisseur conforme.
2. Loi de Poisson \(\mathcal{P}(\lambda=5)\) — comptage d'événements rares (appels) à taux constant, sans nombre d'épreuves fixé.
\[P(X=0) = e^{-5} \approx 0{,}0067\]Moins de 1 % de chance de ne recevoir aucun appel sur ce quart d'heure.
3. Loi binomiale \(B(12\,;\,0{,}06)\) — 12 épreuves indépendantes de Bernoulli de paramètre \(p=0{,}06\).
\[P(X=1) = \binom{12}{1}(0{,}06)^1(0{,}94)^{11} = 12\times0{,}06\times(0{,}94)^{11}\] \[(0{,}94)^{11} \approx 0{,}5063 \Rightarrow P(X=1) \approx 12\times0{,}06\times0{,}5063 \approx 0{,}3645\]Environ 36,5 % de chance de trouver exactement une soudure défectueuse.