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Chapitre 9 – Probabilités 2

Exercices par capacités · BTS

Dernière mise à jour : 21 juin 2026

Capacités travaillées

C1 — Loi binomiale \(B(n,p)\)

Exercice 1

Un technicien de maintenance teste 8 fusibles indépendants, chacun ayant 10 % de risque d'être défectueux. Soit \(X\sim B(8\,;\,0{,}1)\). On donne \((0{,}9)^8\approx 0{,}430\). Calculer \(P(X=0)\), \(P(X\geq 1)\) et \(E(X)\).

\[P(X=0) = (0{,}9)^8 \approx 0{,}430\] \[P(X\geq 1) = 1 - P(X=0) \approx 1 - 0{,}430 = 0{,}570\] \[E(X) = np = 8\times 0{,}1 = 0{,}8 \text{ fusible défectueux en moyenne}\]
Exercice 2

Dans une chaîne, 5 % des pièces sont hors tolérance. On prélève 20 pièces, \(X\sim B(20\,;\,0{,}05)\). On donne \((0{,}95)^{20}\approx 0{,}358\) et \((0{,}95)^{19}\approx 0{,}377\). 1) Calculer \(E(X)\) et \(\sigma(X)\). 2) Calculer \(P(X=0)\) et \(P(X\geq 2)\).

1. \(E(X) = 20\times 0{,}05 = 1\) ; \(\sigma(X) = \sqrt{20\times 0{,}05\times 0{,}95} = \sqrt{0{,}95}\approx 0{,}975\).

2.

\[P(X=0) = (0{,}95)^{20} \approx 0{,}358\] \[P(X=1) = 20\times 0{,}05\times(0{,}95)^{19} = 1\times 0{,}377 = 0{,}377\] \[P(X\geq 2) = 1 - 0{,}358 - 0{,}377 = 0{,}265 \;(\approx 26{,}5\,\%)\]
Exercice 3

Un lot de 50 composants a un taux de défaut \(p=0{,}02\), \(X\sim B(50\,;\,0{,}02)\). On donne \((0{,}98)^{48}\approx 0{,}378\). Calculer \(P(X=2)\), \(E(X)\) et \(\sigma(X)\).

\[P(X=2) = \binom{50}{2}(0{,}02)^2(0{,}98)^{48} = 1225\times 0{,}0004\times 0{,}378 \approx 0{,}185\] \[E(X) = 50\times 0{,}02 = 1 \qquad \sigma(X) = \sqrt{50\times 0{,}02\times 0{,}98} = \sqrt{0{,}98}\approx 0{,}99\]
Exercice 4

Un électricien vérifie 15 prises indépendantes dont 8 % présentent un défaut, \(X\sim B(15\,;\,0{,}08)\). On donne \((0{,}92)^{14}\approx 0{,}301\). Calculer \(P(X=1)\).

\[P(X=1) = \binom{15}{1}(0{,}08)^1(0{,}92)^{14} = 15\times 0{,}08\times 0{,}301 \approx 0{,}361\]

Environ 36,1 % de chance de trouver exactement 1 prise défectueuse.

C2 — Loi de Poisson \(\mathcal{P}(\lambda)\)

Exercice 5

Une ligne de production subit en moyenne 3 pannes par semaine, \(X\sim\mathcal{P}(3)\). On donne \(e^{-3}\approx 0{,}0498\). Calculer \(P(X=0)\) et \(P(X=2)\).

\[P(X=0) = e^{-3}\frac{3^0}{0!} = e^{-3} \approx 0{,}0498\] \[P(X=2) = e^{-3}\frac{3^2}{2!} = e^{-3}\times\frac{9}{2} \approx 0{,}0498\times 4{,}5 \approx 0{,}224\]
Exercice 6

Toujours \(X\sim\mathcal{P}(3)\). On donne \(e^{-3}\approx 0{,}0498\). Calculer \(P(X\leq 3)\) puis \(P(X\geq 4)\).

\[P(X=0)\approx 0{,}050 \quad P(X=1) = 3e^{-3}\approx 0{,}149 \quad P(X=2)\approx 0{,}224 \quad P(X=3) = e^{-3}\frac{27}{6}\approx 0{,}224\] \[P(X\leq 3) \approx 0{,}050 + 0{,}149 + 0{,}224 + 0{,}224 = 0{,}647\] \[P(X\geq 4) = 1 - P(X\leq 3) \approx 1 - 0{,}647 = 0{,}353\]
Exercice 7

Une installation enregistre en moyenne 3 pannes par semaine. Quelle est, par jour ouvré (1/5 de semaine), la probabilité de 0 panne ? On donne \(e^{-0{,}6}\approx 0{,}549\).

Adaptation du taux : \(\lambda_j = \dfrac{3}{5} = 0{,}6\) panne/jour, \(X\sim\mathcal{P}(0{,}6)\).

\[P(X=0) = e^{-0{,}6} \approx 0{,}549\]

Plus d'une chance sur deux de passer la journée sans panne.

Exercice 8

Un technicien chauffagiste relève en moyenne 2 fuites par chantier, \(X\sim\mathcal{P}(2)\). On donne \(e^{-2}\approx 0{,}135\). Calculer \(P(X=0)\) et \(P(X=3)\).

\[P(X=0) = e^{-2} \approx 0{,}135 \;(13{,}5\,\%)\] \[P(X=3) = e^{-2}\frac{2^3}{3!} = e^{-2}\times\frac{8}{6} \approx 0{,}135\times 1{,}333 \approx 0{,}180\]

C3 — Loi normale et table centrée réduite

Table utile : \(\Phi(1)=0{,}8413\) ; \(\Phi(1{,}28)=0{,}9000\) ; \(\Phi(1{,}33)\approx 0{,}9082\) ; \(\Phi(1{,}645)=0{,}9500\) ; \(\Phi(2)=0{,}9772\). Symétrie : \(\Phi(-z) = 1-\Phi(z)\).

Exercice 9

Le diamètre d'une pièce suit \(\mathcal{N}(50\,;\,0{,}04)\), soit \(\mu = 50\) mm et \(\sigma = 0{,}2\) mm. La tolérance est \([49{,}6\,;\,50{,}4]\) mm. Calculer la proportion de pièces dans la tolérance.

\(\sigma = \sqrt{0{,}04} = 0{,}2\) mm :

\[z_1 = \frac{49{,}6-50}{0{,}2} = -2 \qquad z_2 = \frac{50{,}4-50}{0{,}2} = 2\] \[P(49{,}6\leq X\leq 50{,}4) = 2\Phi(2) - 1 = 2\times 0{,}9772 - 1 = 0{,}9544 \;(95{,}44\,\%)\]

Environ 4,56 % de pièces hors tolérance.

Exercice 10

La résistance d'un câble suit \(\mathcal{N}(100\,;\,9)\), soit \(\mu = 100\,\Omega\) et \(\sigma = 3\,\Omega\). Calculer \(P(X \gt 104)\). On donne \(\Phi(1{,}33)\approx 0{,}9082\).

\[z = \frac{104-100}{3} = \frac{4}{3} \approx 1{,}33\] \[P(X\gt 104) = 1 - \Phi(1{,}33) \approx 1 - 0{,}9082 = 0{,}0918\]

Environ 9,2 % de chance que la résistance dépasse 104 Ω.

Exercice 11

Même câble \(\mathcal{N}(100\,;\,9)\). Trouver la valeur \(a\) telle que 95 % des câbles aient une résistance inférieure à \(a\) (quantile). On donne \(\Phi(1{,}645)=0{,}95\).

\[P(X\leq a) = 0{,}95 \;\Rightarrow\; \Phi\!\left(\frac{a-100}{3}\right) = 0{,}95 \;\Rightarrow\; \frac{a-100}{3} = 1{,}645\] \[a = 100 + 3\times 1{,}645 = 104{,}9\,\Omega\]
Exercice 12

La durée de vie d'un capteur suit \(\mathcal{N}(5000\,;\,250\,000)\), soit \(\mu = 5000\) h et \(\sigma = 500\) h. 1) Calculer \(P(X\lt 4000)\). 2) Déterminer la garantie \(t_G\) couvrant 90 % des capteurs. On donne \(\Phi(2)=0{,}9772\) et \(\Phi(1{,}28)=0{,}90\).

\(\sigma = \sqrt{250\,000} = 500\) h.

1. \(z = \dfrac{4000-5000}{500} = -2\), donc \(P(X\lt 4000) = \Phi(-2) = 1 - 0{,}9772 = 0{,}023\) (2,3 %).

2. On veut \(P(X\geq t_G) = 0{,}90\), soit \(P(X\lt t_G) = 0{,}10\) :

\[\Phi\!\left(\frac{t_G-5000}{500}\right) = 0{,}10 \;\Rightarrow\; \frac{t_G-5000}{500} = -1{,}28\] \[t_G = 5000 - 1{,}28\times 500 = 4360 \text{ h}\]

C4 — Approximations entre lois

Exercice 13

Sur 200 pièces, le taux de défaut est \(p=0{,}01\), \(X\sim B(200\,;\,0{,}01)\). 1) Justifier l'approximation par une loi de Poisson et donner \(\lambda\). 2) Calculer \(P(X=0)\) et \(P(X=3)\). On donne \(e^{-2}\approx 0{,}135\).

1. \(n=200\geq 50\) et \(p=0{,}01\leq 0{,}1\) → approximation \(\mathcal{P}(\lambda)\) avec \(\lambda = np = 2\).

\[P(X=0) \approx e^{-2} \approx 0{,}135\] \[P(X=3) \approx e^{-2}\frac{2^3}{3!} = e^{-2}\times\frac{8}{6} \approx 0{,}180\]

(Calcul binomial exact \(P(X=0) = (0{,}99)^{200}\approx 0{,}134\), très proche.)

Exercice 14

Soit \(X\sim B(100\,;\,0{,}3)\). 1) Vérifier les conditions d'approximation normale et donner \(\mu\), \(\sigma\). 2) Calculer \(P(X\leq 25)\) avec correction de continuité. On donne \(\Phi(0{,}98)\approx 0{,}8365\).

1. \(np = 30\geq 5\), \(n(1-p) = 70\geq 5\) ✓. \(\mu = 30\), \(\sigma = \sqrt{100\times 0{,}3\times 0{,}7} = \sqrt{21}\approx 4{,}58\).

2. Correction : \(P(X\leq 25)\approx P\!\left(Z\leq\dfrac{25{,}5-30}{4{,}58}\right) = P(Z\leq -0{,}98)\) :

\[P(Z\leq -0{,}98) = 1 - \Phi(0{,}98) \approx 1 - 0{,}8365 = 0{,}164\]
Exercice 15

Pour chaque situation, indiquer l'approximation possible et la condition utilisée :

  1. \(B(80\,;\,0{,}05)\)
  2. \(B(100\,;\,0{,}4)\)
  3. \(\mathcal{P}(25)\)
  1. \(n=80\geq 50\) et \(p=0{,}05\leq 0{,}1\) → \(\mathcal{P}(\lambda = np = 4)\).
  2. \(np = 40\geq 5\) et \(nq = 60\geq 5\) → \(\mathcal{N}(40\,;\,24)\) (\(npq = 100\times 0{,}4\times 0{,}6 = 24\)).
  3. \(\lambda = 25\geq 20\) → \(\mathcal{N}(25\,;\,25)\).

C5 — Intervalle de confiance

Exercice 16

Sur 500 pièces contrôlées, 12 sont défectueuses. Construire un intervalle de confiance à 95 % pour le taux de défaut \(p\) (on utilise \(z_{\alpha/2} = 1{,}96\)).

\[\hat{p} = \frac{12}{500} = 0{,}024 \qquad \hat{\sigma} = \sqrt{0{,}024\times 0{,}976} \approx 0{,}153\] \[\text{marge} = 1{,}96\times\frac{0{,}153}{\sqrt{500}} = 1{,}96\times 0{,}00685 \approx 0{,}0134\] \[IC_{95\%} = [0{,}024 - 0{,}013\,;\,0{,}024 + 0{,}013] = [0{,}011\,;\,0{,}037]\]

Avec 95 % de confiance, le taux de défaut réel est compris entre 1,1 % et 3,7 %.

Exercice 17

Sur 400 panneaux, 40 sont jugés non conformes. Construire un intervalle de confiance à 95 % pour la proportion \(p\) de non-conformes (\(z_{\alpha/2}=1{,}96\)).

\[\hat{p} = \frac{40}{400} = 0{,}10 \qquad \hat{\sigma} = \sqrt{0{,}10\times 0{,}90} = \sqrt{0{,}09} = 0{,}30\] \[\text{marge} = 1{,}96\times\frac{0{,}30}{\sqrt{400}} = 1{,}96\times\frac{0{,}30}{20} = 1{,}96\times 0{,}015 = 0{,}0294\] \[IC_{95\%} = [0{,}10 - 0{,}029\,;\,0{,}10 + 0{,}029] \approx [0{,}071\,;\,0{,}129]\]

Soit environ [7,1 % ; 12,9 %].

Exercice 18

Mêmes données qu'à l'exercice 16 (\(\hat{p}=0{,}024\), \(n=500\)). Construire l'intervalle de confiance à 99 % (\(z_{\alpha/2}=2{,}576\)) et comparer sa largeur à celle de l'IC à 95 %.

\[\text{marge}_{99\%} = 2{,}576\times\frac{0{,}153}{\sqrt{500}} = 2{,}576\times 0{,}00685 \approx 0{,}0176\] \[IC_{99\%} = [0{,}024 - 0{,}018\,;\,0{,}024 + 0{,}018] \approx [0{,}006\,;\,0{,}042]\]

L'IC à 99 % (largeur \(\approx 0{,}035\)) est plus large que l'IC à 95 % (largeur \(\approx 0{,}027\)) : plus on exige de confiance, plus l'intervalle s'élargit.