Probabilités 2 | BTS | Mathématiques
Dernière mise à jour : 21 octobre 2026
Un responsable qualité prélève un échantillon de 25 vis dans une production en très grande série, où le taux de non-conformité est de 4 %. On admet que les tirages sont indépendants. On note \(X\) le nombre de vis non conformes parmi les 25 prélevées.
1. Justifier que \(X\) suit une loi binomiale et préciser ses paramètres. (1 pt)
2. Calculer \(E(X)\) et \(\sigma(X)\) (arrondir \(\sigma(X)\) à \(10^{-3}\) près). Interpréter \(E(X)\) dans le contexte. (2 pts)
3. Calculer \(P(X=0)\), \(P(X=1)\) et \(P(X=2)\) (arrondir à \(10^{-4}\) près). (2 pts)
4. En déduire \(P(X \leq 2)\) et interpréter ce résultat. (1 pt)
1. On répète 25 épreuves de Bernoulli indépendantes (« vis non conforme »/« vis conforme »), chacune de paramètre \(p=0{,}04\) : \(X \sim B(25\,;\,0{,}04)\).
2. \(E(X) = np = 25\times0{,}04 = 1\) : on peut s'attendre, en moyenne, à 1 vis non conforme par échantillon de 25.
\(V(X) = np(1-p) = 25\times0{,}04\times0{,}96 = 0{,}96\), donc \(\sigma(X) = \sqrt{0{,}96} \approx 0{,}980\).
3. \(P(X=0) = (0{,}96)^{25} \approx 0{,}3604\).
\(P(X=1) = \dbinom{25}{1}(0{,}04)^1(0{,}96)^{24} = 25\times0{,}04\times(0{,}96)^{24} \approx 0{,}3754\).
\(P(X=2) = \dbinom{25}{2}(0{,}04)^2(0{,}96)^{23} \approx 0{,}1877\).
4. \(P(X \leq 2) = P(X=0)+P(X=1)+P(X=2) \approx 0{,}3604+0{,}3754+0{,}1877 = 0{,}9235\).
Il y a donc environ 92,4 % de chance que le lot ne contienne pas plus de 2 vis non conformes sur les 25 prélevées.
Un atelier de production observe en moyenne 2,5 arrêts machine par jour, de façon indépendante et à taux constant. On note \(X\) le nombre d'arrêts un jour donné.
1. Justifier l'utilisation de la loi de Poisson et préciser son paramètre \(\lambda\). (1 pt)
2. Calculer \(P(X=0)\), \(P(X=1)\) et \(P(X=2)\) (arrondir à \(10^{-4}\) près). (2 pts)
3. En déduire la probabilité qu'il y ait au moins 3 arrêts un jour donné. (2 pts)
1. Les arrêts machine sont des événements indépendants survenant à un taux moyen constant, sans nombre d'épreuves fixé à l'avance : on utilise la loi de Poisson \(X \sim \mathcal{P}(2{,}5)\).
2. \(P(X=0) = e^{-2{,}5} \approx 0{,}0821\).
\(P(X=1) = e^{-2{,}5}\times2{,}5 \approx 0{,}2052\).
\(P(X=2) = e^{-2{,}5}\dfrac{2{,}5^2}{2} \approx 0{,}2565\).
3. \(P(X \geq 3) = 1-\left[P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)\right] \approx 1-(0{,}0821+0{,}2052+0{,}2565) = 1-0{,}5438 = 0{,}4562\).
Il y a donc environ 45,6 % de chance d'observer au moins 3 arrêts machine un jour donné.
Le diamètre d'un axe usiné, en millimètres, suit une loi normale \(\mathcal{N}(25\,;\,0{,}01)\), soit \(\mu = 25\) mm et \(\sigma = 0{,}1\) mm. La tolérance de fabrication impose un diamètre compris entre 24,8 mm et 25,2 mm.
1. Standardiser les deux bornes de l'intervalle de tolérance. (1,5 pt)
2. Calculer la proportion d'axes dans la tolérance, puis la proportion d'axes hors tolérance. (2 pts)
3. Sur une production quotidienne de 2 000 axes, estimer le nombre moyen d'axes hors tolérance. (1 pt)
4. On veut fixer un seuil \(a\) tel que seulement 5 % des axes aient un diamètre supérieur à \(a\). Sachant que \(\Phi(1{,}645) = 0{,}9500\), déterminer \(a\). (1,5 pt)
1. \(z_1 = \dfrac{24{,}8-25}{0{,}1} = -2 \qquad z_2 = \dfrac{25{,}2-25}{0{,}1} = 2\)
2. \(P(24{,}8 \leq X \leq 25{,}2) = \Phi(2)-\Phi(-2) = 2\Phi(2)-1 = 2\times0{,}9772-1 = 0{,}9545\).
Environ 95,4 % des axes sont dans la tolérance, donc environ 4,6 % sont hors tolérance.
3. \(2\,000 \times 0{,}0455 \approx 91\) axes hors tolérance en moyenne, sur les 2 000 produits chaque jour.
4. On cherche \(a\) tel que \(P(X > a) = 0{,}05\), soit \(P(X \leq a) = 0{,}95\), donc \(\Phi\!\left(\dfrac{a-25}{0{,}1}\right) = 0{,}95\).
Comme \(\Phi(1{,}645) = 0{,}9500\), on a \(\dfrac{a-25}{0{,}1} = 1{,}645\), donc \(a = 25 + 0{,}1\times1{,}645 = 25{,}1645\) mm.
Sur un échantillon de 250 pièces contrôlées en sortie de production, 15 sont défectueuses. On souhaite estimer le taux de défaut réel \(p\) de la production par un intervalle de confiance au niveau 95 %.
1. Calculer la fréquence observée \(\hat p\). (1 pt)
2. Déterminer l'intervalle de confiance à 95 % pour \(p\) (arrondir à \(10^{-4}\) près) et conclure. (2 pts)
1. \(\hat p = \dfrac{15}{250} = 0{,}06\).
2. \(\hat\sigma = \sqrt{\hat p(1-\hat p)} = \sqrt{0{,}06\times0{,}94} \approx 0{,}2375\).
Marge d'erreur : \(1{,}96 \times \dfrac{0{,}2375}{\sqrt{250}} \approx 1{,}96 \times 0{,}01502 \approx 0{,}0294\).
\[IC_{95\%} = [0{,}06-0{,}0294\,;\,0{,}06+0{,}0294] = [0{,}0306\,;\,0{,}0894]\]On peut affirmer avec 95 % de confiance que le taux de défaut réel de la production est compris entre 3,06 % et 8,94 %.