Définir une expérience aléatoire, un univers et des événements
Calculer des probabilités à l’aide des axiomes de Kolmogorov
Utiliser les probabilités conditionnelles et la formule de Bayes
Déterminer si deux événements sont indépendants
Définir une variable aléatoire discrète, calculer espérance, variance et écart-type
Reconnaître et utiliser la loi binomiale \(B(n,p)\)
Définir et utiliser la loi uniforme sur \([a\,;\,b]\)
Définir et utiliser la loi normale \(\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)\) et la loi normale centrée réduite
Approcher une loi binomiale par une loi normale
Calculer espérance et variance de combinaisons linéaires de v.a.
Appliquer le théorème de la limite centrée (TLC)
Appliquer ces outils au contrôle qualité et à la fiabilité industrielle
Situation professionnelle
Contrôle qualité dans une production de panneaux
Un technicien en agencement réceptionne un lot de 500 panneaux de bois mélaminé. Le fournisseur annonce un taux de défaut de 3 %. Pour vérifier cette affirmation, le technicien prélève un échantillon de 20 panneaux et compte le nombre de panneaux défectueux.
Problème : Quelle est la probabilité de trouver au moins 2 panneaux défectueux dans l’échantillon ? À partir de quel nombre de défauts le technicien doit-il rejeter le lot ? La réponse passe par les probabilités, la loi binomiale et, pour de grands échantillons, son approximation par la loi normale.
1. Expérience aléatoire, univers, événements
Définition — Expérience aléatoire
Une expérience aléatoire est une expérience dont on ne peut pas prévoir avec certitude le résultat, mais dont on peut décrire l’ensemble des résultats possibles.
Définition — Univers
L’univers \(\Omega\) est l’ensemble de tous les résultats possibles (ou issues) d’une expérience aléatoire.
Exemple
On contrôle un panneau de bois : il est conforme (C) ou défectueux (D).
\(\Omega = \{C\,,\,D\}\)
On lance un dé à six faces : \(\Omega = \{1,\,2,\,3,\,4,\,5,\,6\}\).
Définition — Événement
Un événement est un sous-ensemble de \(\Omega\). Un événement contenant une seule issue est dit élémentaire. L’événement \(\Omega\) est l’événement certain ; l’événement \(\varnothing\) est l’événement impossible.
Définition — Opérations sur les événements
Soient \(A\) et \(B\) deux événements de \(\Omega\) :
\(A \cup B\) : « \(A\) ou \(B\) » — au moins l’un des deux se réalise
\(A \cap B\) : « \(A\) et \(B\) » — les deux se réalisent simultanément
\(\bar{A}\) : le complémentaire de \(A\) — \(A\) ne se réalise pas
\(A\) et \(B\) sont incompatibles si \(A \cap B = \varnothing\)
2. Probabilité d’un événement — Axiomes de Kolmogorov
Définition — Probabilité
Une probabilité \(P\) sur \(\Omega\) est une application de l’ensemble des événements vers \([0\,;\,1]\) vérifiant les axiomes de Kolmogorov :
Pour tout événement \(A\) : \(0 \leqslant P(A) \leqslant 1\)
\(P(\Omega) = 1\)
Si \(A\) et \(B\) sont incompatibles : \(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\)
Propriétés fondamentales
\(P(\varnothing) = 0\)
\(P(\bar{A}) = 1 - P(A)\)
\(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\)
Si \(A \subset B\) alors \(P(A) \leqslant P(B)\)
Exemple
Un lot de pièces métalliques contient 5 % de pièces hors tolérance et 3 % de pièces avec un défaut d’aspect. Parmi les pièces, 1 % cumulent les deux défauts.
Soit \(H\) : « pièce hors tolérance » et \(A\) : « défaut d’aspect ».
\(P(H \cup A) = P(H) + P(A) - P(H \cap A) = 0{,}05 + 0{,}03 - 0{,}01 = 0{,}07\)
La probabilité qu’une pièce présente au moins un défaut est de 7 %.
Mini-exercice : Dans un atelier, \(P(A) = 0{,}4\), \(P(B) = 0{,}5\) et \(P(A \cap B) = 0{,}2\). Calculer \(P(A \cup B)\) puis \(P(\bar{A})\).
Par la formule de la réunion :
\[P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = 0{,}4 + 0{,}5 - 0{,}2 = 0{,}7\]
Par le complémentaire :
\[P(\bar{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0{,}4 = 0{,}6\]
Définition — Équiprobabilité
Si tous les événements élémentaires ont la même probabilité, on dit qu’il y a équiprobabilité. Dans ce cas, pour tout événement \(A\) :
\[P(A) = \frac{\text{nombre d'issues favorables}}{\text{nombre total d'issues}} = \frac{\text{card}(A)}{\text{card}(\Omega)}\]
3. Probabilités conditionnelles
Définition — Probabilité conditionnelle
Soit \(B\) un événement de probabilité non nulle. La probabilité conditionnelle de \(A\) sachant \(B\) est :
\[P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}\]
Elle représente la probabilité que \(A\) se réalise, sachant que \(B\) est déjà réalisé.
Propriété — Probabilité de l’intersection
\[P(A \cap B) = P(A \mid B) \times P(B) = P(B \mid A) \times P(A)\]
Exemple — Contrôle de production
Dans une usine de menuiserie, 60 % des panneaux sont produits par la machine M1 et 40 % par la machine M2. Le taux de défaut de M1 est de 2 %, celui de M2 est de 5 %.
On note \(D\) : « panneau défectueux », \(M_1\) et \(M_2\) les événements « provient de M1 » et « provient de M2 ».
Définition — Indépendance
Deux événements \(A\) et \(B\) sont indépendants si et seulement si :
\[P(A \cap B) = P(A) \times P(B)\]
De manière équivalente : \(P(A \mid B) = P(A)\) (la réalisation de \(B\) ne modifie pas la probabilité de \(A\)).
Attention Indépendant ≠ incompatible. Deux événements incompatibles (\(A \cap B = \varnothing\)) ne sont jamais indépendants (sauf si l’un a une probabilité nulle), car \(P(A \cap B) = 0 \neq P(A) \times P(B)\) en général.
Exemple
On contrôle deux composants d’un système de chauffage, indépendamment l’un de l’autre. La probabilité de défaillance du composant A est 0,03 et celle du composant B est 0,05.
Probabilité que les deux tombent en panne simultanément :
Propriété — Formule des probabilités totales
Si \(B_1, B_2, \ldots, B_n\) forment un système complet d’événements (partition de \(\Omega\) : ils sont deux à deux incompatibles et leur réunion est \(\Omega\)), alors pour tout événement \(A\) :
\[P(A) = \sum_{k=1}^{n} P(A \mid B_k) \times P(B_k)\]
Méthode — Utiliser un arbre pondéré
Identifier le système complet d’événements (\(B_1, B_2, \ldots\))
Dessiner l’arbre : première branche pour chaque \(B_k\), puis sous-branches pour \(A\) et \(\bar{A}\)
Porter les probabilités sur chaque branche
Multiplier le long d’un chemin pour obtenir \(P(A \cap B_k)\)
Additionner les chemins menant à \(A\) pour obtenir \(P(A)\)
La probabilité globale qu’un panneau soit défectueux est de 3,2 %.
6. Formule de Bayes
Propriété — Formule de Bayes
Si \(B_1, B_2, \ldots, B_n\) forment un système complet d’événements et \(P(A) > 0\), alors :
\[P(B_k \mid A) = \frac{P(A \mid B_k) \times P(B_k)}{P(A)}\]
Cette formule permet d’« inverser le conditionnement » : on connaît \(P(A \mid B_k)\), on cherche \(P(B_k \mid A)\).
Exemple — Identifier la machine d’origine
Un panneau est trouvé défectueux. Quelle est la probabilité qu’il provienne de M2 ?
Il y a 62,5 % de chances que le panneau défectueux provienne de la machine M2.
Mini-exercice : Un test de dépistage d'un défaut est positif dans 95 % des cas quand le défaut est présent, et donne un faux positif dans 4 % des cas. La proportion de pièces réellement défectueuses est de 2 %. Une pièce est testée positive : quelle est la probabilité qu'elle soit réellement défectueuse ?
Notons \(D\) « pièce défectueuse » et \(T\) « test positif ». On a \(P(D) = 0{,}02\), \(P(\bar D) = 0{,}98\), \(P(T \mid D) = 0{,}95\), \(P(T \mid \bar D) = 0{,}04\).
Il n'y a qu'environ 32,6 % de chances que la pièce soit réellement défectueuse, malgré un test positif : le défaut étant rare, les faux positifs dominent.
À retenir — Chaîne logique des calculs
Identifier le système complet d’événements
Probabilités totales : calculer \(P(A)\)
Bayes : inverser le conditionnement pour trouver \(P(B_k \mid A)\)
7. Variables aléatoires discrètes
Définition — Variable aléatoire discrète
Une variable aléatoire discrète \(X\) est une application de \(\Omega\) vers \(\mathbb{R}\) qui associe à chaque issue un nombre réel. Elle ne prend qu’un nombre fini ou dénombrable de valeurs.
Définition — Loi de probabilité
La loi de probabilité de \(X\) est la donnée de toutes les valeurs prises par \(X\) et de leurs probabilités respectives. On la présente généralement sous forme de tableau :
\(x_i\)
\(x_1\)
\(x_2\)
\(\cdots\)
\(x_n\)
\(P(X = x_i)\)
\(p_1\)
\(p_2\)
\(\cdots\)
\(p_n\)
Avec \(\displaystyle\sum_{i=1}^{n} p_i = 1\) et \(p_i \geqslant 0\) pour tout \(i\).
Exemple — Nombre de panneaux défectueux
On prélève 3 panneaux dans un lot où la proportion de défectueux est \(p = 0{,}1\). Soit \(X\) le nombre de panneaux défectueux.
\(X\) prend les valeurs 0, 1, 2, 3.
8. Espérance, variance, écart-type
Définition — Espérance
L’espérance de \(X\) est la valeur moyenne théorique de \(X\) :
\[E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \, p_i\]
Définition — Variance et écart-type
La variance mesure la dispersion de \(X\) autour de son espérance :
\[V(X) = \sum_{i=1}^{n} (x_i - E(X))^2 \, p_i = E(X^2) - [E(X)]^2\]
L’écart-type est \(\sigma(X) = \sqrt{V(X)}\).
Propriétés de l’espérance et de la variance
Pour \(a, b \in \mathbb{R}\) :
\(E(aX + b) = aE(X) + b\)
\(V(aX + b) = a^2 V(X)\)
\(\sigma(aX + b) = |a|\,\sigma(X)\)
Exemple
Un technicien chauffagiste reçoit un nombre aléatoire \(X\) d’appels urgents par jour :
Définition — Épreuve de Bernoulli
Une épreuve de Bernoulli de paramètre \(p\) est une expérience aléatoire à deux issues :
Succès (S), de probabilité \(p\)
Échec (E), de probabilité \(q = 1 - p\)
Définition — Loi binomiale
Soit \(X\) le nombre de succès lors de la répétition de \(n\) épreuves de Bernoulli indépendantes de même paramètre \(p\). On dit que \(X\) suit la loi binomiale de paramètres \(n\) et \(p\), notée \(X \sim B(n,p)\).
Pour \(k \in \{0, 1, \ldots, n\}\) :
\[P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}\]
où \(\displaystyle\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\) est le coefficient binomial.
Loi binomiale \(B(n,p)\) — Paramètres
Espérance : \(E(X) = np\)
Variance : \(V(X) = np(1-p)\)
Écart-type : \(\sigma(X) = \sqrt{np(1-p)}\)
Méthode — Vérifier les conditions d’application
On peut modéliser par une loi binomiale si :
L’expérience est répétée un nombre fixe \(n\) de fois
Chaque répétition a exactement deux issues (succès/échec)
La probabilité de succès \(p\) est constante à chaque répétition
Les répétitions sont indépendantes
Exemple — Contrôle qualité de panneaux
Un fabricant produit des panneaux de bois avec un taux de défaut de \(p = 0{,}03\). On prélève \(n = 20\) panneaux. Soit \(X\) le nombre de panneaux défectueux : \(X \sim B(20\,;\,0{,}03)\).
Mini-exercice : Une machine fabrique des pièces avec une probabilité de défaut \(p = 0{,}1\). On prélève \(n = 10\) pièces et on note \(X\) le nombre de pièces défectueuses, \(X \sim B(10\,;\,0{,}1)\). Calculer \(P(X = 1)\), \(E(X)\) et \(\sigma(X)\).
Attention — Tirage sans remise
La loi binomiale suppose des tirages indépendants (avec remise). Si l’on tire sans remise dans un petit lot, on utilise la loi hypergéométrique. Cependant, si la taille du lot est grande devant la taille de l’échantillon (au moins 10 fois), l’approximation binomiale reste acceptable.
10. Loi uniforme sur \([a\,;\,b]\)
Définition — Loi uniforme continue
Une variable aléatoire \(X\) suit la loi uniforme sur \([a\,;\,b]\), notée \(X \sim \mathcal{U}([a\,;\,b])\), si sa fonction de densité est constante sur \([a\,;\,b]\) :
\[f(x) = \begin{cases} \dfrac{1}{b-a} & \text{si } x \in [a\,;\,b] \\ 0 & \text{sinon} \end{cases}\]
Intuitivement, toutes les valeurs de l’intervalle sont « équiprobables ».
Loi uniforme \(\mathcal{U}([a\,;\,b])\) — Paramètres
Propriété — Calcul de probabilité
Pour \([c\,;\,d] \subset [a\,;\,b]\) :
\[P(c \leqslant X \leqslant d) = \frac{d - c}{b - a}\]
La probabilité est proportionnelle à la longueur de l’intervalle.
Exemple — Temps d’attente d’un ascenseur de chantier
Sur un chantier de construction, un ascenseur de chantier effectue un cycle complet toutes les 8 minutes. Un menuisier arrive à un instant aléatoire. Son temps d’attente \(X\) (en minutes) suit une loi uniforme sur \([0\,;\,8]\).
Définition — Loi normale (loi de Gauss)
Une variable aléatoire \(X\) suit la loi normale de paramètres \(\mu\) (espérance) et \(\sigma^2\) (variance), notée \(X \sim \mathcal{N}(\mu,\sigma^2)\), si sa fonction de densité est :
\[f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\,e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}\]
La courbe représentative est la célèbre courbe de Gauss (courbe en cloche).
Propriétés de la courbe de Gauss
La courbe est symétrique par rapport à la droite \(x = \mu\)
Le maximum est atteint en \(x = \mu\)
Les points d’inflexion sont en \(x = \mu - \sigma\) et \(x = \mu + \sigma\)
L’aire totale sous la courbe vaut 1
Plus \(\sigma\) est petit, plus la courbe est resserrée autour de \(\mu\)
Règle des 68-95-99,7
\(P(\mu - \sigma \leqslant X \leqslant \mu + \sigma) \approx 0{,}6827\) — environ 68 %
\(P(\mu - 2\sigma \leqslant X \leqslant \mu + 2\sigma) \approx 0{,}9545\) — environ 95 %
\(P(\mu - 3\sigma \leqslant X \leqslant \mu + 3\sigma) \approx 0{,}9973\) — environ 99,7 %
Définition — Loi normale centrée réduite
La loi normale centrée réduite est la loi \(\mathcal{N}(0,1)\) : elle a pour espérance 0 et pour écart-type 1. On la note souvent \(Z\).
Si \(X \sim \mathcal{N}(\mu,\sigma^2)\), alors la variable :
\[Z = \frac{X - \mu}{\sigma}\]
suit la loi \(\mathcal{N}(0,1)\). Cette transformation s’appelle la réduction (ou centrage-réduction).
Méthode — Calculer \(P(a \leqslant X \leqslant b)\) avec la table de la loi normale
Centrer-réduire : \(P(a \leqslant X \leqslant b) = P\!\left(\dfrac{a - \mu}{\sigma} \leqslant Z \leqslant \dfrac{b - \mu}{\sigma}\right)\)
Utiliser la table de \(\mathcal{N}(0,1)\) ou la calculatrice pour lire \(\Phi(z) = P(Z \leqslant z)\)
Propriété de symétrie : \(\Phi(-z) = 1 - \Phi(z)\)
Exemple — Longueur de tasseaux de bois
Un menuisier agenceur débite des tasseaux dont la longueur \(X\) (en mm) suit la loi \(\mathcal{N}(500\,;\,4)\) (soit \(\mu = 500\) mm et \(\sigma = 2\) mm).
Probabilité qu’un tasseau mesure entre 497 et 503 mm :
\(P(497 \leqslant X \leqslant 503) = P\!\left(\dfrac{497 - 500}{2} \leqslant Z \leqslant \dfrac{503 - 500}{2}\right) = P(-1{,}5 \leqslant Z \leqslant 1{,}5)\)
Mini-exercice : Le diamètre \(X\) (en mm) de chevilles suit la loi \(\mathcal{N}(8\,;\,0{,}25)\), soit \(\mu = 8\) mm et \(\sigma = 0{,}5\) mm. On donne \(\Phi(2) \approx 0{,}9772\) et \(\Phi(1) \approx 0{,}8413\). Calculer \(P(7 \le X \le 9)\).
Attention : \(\sigma = \sqrt{0{,}25} = 0{,}5\) mm. On centre-réduit :
\[P(7 \le X \le 9) = P\!\left(\frac{7 - 8}{0{,}5} \le Z \le \frac{9 - 8}{0{,}5}\right) = P(-2 \le Z \le 2)\]
Environ 95,4 % des chevilles ont un diamètre entre 7 et 9 mm (résultat conforme à la règle des 95 % à \(\pm 2\sigma\)).
12. Approximation d’une loi binomiale par une loi normale
Propriété — Approximation normale de la binomiale
Lorsque \(n\) est assez grand, la loi binomiale \(B(n,p)\) peut être approchée par une loi normale :
\[X \sim B(n,p) \;\approx\; \mathcal{N}(np,\;np(1-p))\]
Conditions d’application (règle pratique) :
\(n \geqslant 30\)
\(np \geqslant 5\)
\(n(1-p) \geqslant 5\)
Méthode — Correction de continuité
La loi binomiale est discrète (valeurs entières), la loi normale est continue. Pour améliorer l’approximation, on applique une correction de continuité :
\(P(X = k) \approx P(k - 0{,}5 \leqslant Y \leqslant k + 0{,}5)\) où \(Y \sim \mathcal{N}(np,\,np(1-p))\)
\(P(X \leqslant k) \approx P(Y \leqslant k + 0{,}5)\)
\(P(X \geqslant k) \approx P(Y \geqslant k - 0{,}5)\)
Exemple — Contrôle qualité de briques réfractaires
Une usine produit des briques réfractaires pour des cheminées et poêles. Le taux de défaut est \(p = 0{,}08\). On prélève un échantillon de \(n = 200\) briques. Soit \(X\) le nombre de briques défectueuses.
\(X \sim B(200\,;\,0{,}08)\). Vérifions les conditions :
Environ 87,9 % de chances d’observer au plus 20 défauts.
13. Espérance et variance de combinaisons linéaires
Propriété — Linéarité de l’espérance
Pour toutes variables aléatoires \(X\) et \(Y\), et pour \(a, b \in \mathbb{R}\) :
\(E(aX + b) = aE(X) + b\)
\(E(X + Y) = E(X) + E(Y)\) (toujours vraie, même si \(X\) et \(Y\) ne sont pas indépendantes)
Plus généralement : \(E\!\left(\displaystyle\sum_{i=1}^n a_i X_i + b\right) = \sum_{i=1}^n a_i\,E(X_i) + b\)
Propriété — Variance d’une combinaison linéaire
Pour \(a, b \in \mathbb{R}\) :
\(V(aX + b) = a^2\,V(X)\)
Si \(X\) et \(Y\) sont indépendantes : \(V(X + Y) = V(X) + V(Y)\)
Plus généralement, si \(X_1, \ldots, X_n\) sont mutuellement indépendantes :
\(V\!\left(\displaystyle\sum_{i=1}^n a_i X_i\right) = \sum_{i=1}^n a_i^2\,V(X_i)\)
Attention
La formule \(V(X+Y) = V(X) + V(Y)\) n’est valable que si \(X\) et \(Y\) sont indépendantes. Sans indépendance, il faut ajouter un terme de covariance : \(V(X+Y) = V(X) + V(Y) + 2\,\text{Cov}(X,Y)\).
Exemple — Coût total d’une installation
Un technicien chauffagiste installe des radiateurs. Le temps d’installation d’un radiateur est une variable aléatoire \(X\) d’espérance \(E(X) = 45\) min et d’écart-type \(\sigma(X) = 8\) min. Le coût d’une installation est \(C = 30X + 50\) (en euros, avec 30 €/h de main-d’œuvre et 50 € de matériel fixe).
Propriété — Théorème de la limite centrée
Soient \(X_1, X_2, \ldots, X_n\) des variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées (i.i.d.) d’espérance \(\mu\) et de variance \(\sigma^2\). On pose :
\[S_n = X_1 + X_2 + \cdots + X_n \qquad\text{et}\qquad \bar{X}_n = \frac{S_n}{n}\]
Alors, pour \(n\) assez grand :
La somme : \(S_n \approx \mathcal{N}(n\mu,\;n\sigma^2)\)
La moyenne : \(\bar{X}_n \approx \mathcal{N}\!\left(\mu,\;\dfrac{\sigma^2}{n}\right)\)
En pratique, l’approximation est bonne dès que \(n \geqslant 30\).
À retenir — TLC en version centrée réduite
\[\frac{\bar{X}_n - \mu}{\sigma / \sqrt{n}} \;\xrightarrow{\;\mathcal{L}\;}\; \mathcal{N}(0,1)\]
Plus l’échantillon est grand, plus la moyenne \(\bar{X}_n\) se concentre autour de \(\mu\).
Exemple — Résistance thermique de panneaux isolants
Un fabricant de panneaux isolants sait que la résistance thermique \(R\) d’un panneau a pour espérance \(\mu = 3{,}5\) m²·K/W et écart-type \(\sigma = 0{,}4\) m²·K/W. On mesure un échantillon de \(n = 36\) panneaux.
Par le TLC, la moyenne \(\bar{R}\) suit approximativement :
Il n’y a qu’environ 6,7 % de chances que la moyenne de l’échantillon soit inférieure à 3,4.
Méthode — Appliquer le TLC
Identifier les v.a. \(X_i\) indépendantes et de même loi, avec \(\mu = E(X_i)\) et \(\sigma^2 = V(X_i)\)
Vérifier que \(n \geqslant 30\)
Pour la somme \(S_n\) : utiliser \(\mathcal{N}(n\mu,\,n\sigma^2)\)
Pour la moyenne \(\bar{X}_n\) : utiliser \(\mathcal{N}\!\left(\mu,\,\dfrac{\sigma^2}{n}\right)\)
Centrer-réduire et utiliser la table de \(\mathcal{N}(0,1)\)
15. Applications au contrôle qualité et à la fiabilité
Définition — Contrôle par échantillonnage
Le contrôle par échantillonnage consiste à prélever aléatoirement \(n\) pièces dans un lot et à décider d’accepter ou de refuser le lot en fonction du nombre de défectueux observés.
Méthode — Plan de contrôle simple
Définir la taille d’échantillon \(n\) et le seuil d’acceptation \(c\)
Prélever \(n\) pièces et compter le nombre \(X\) de défectueux
Si \(X \leqslant c\) : accepter le lot ; si \(X > c\) : refuser
En modélisant \(X \sim B(n,p)\), on peut calculer la probabilité d’accepter un lot de proportion de défectueux \(p\).
Exemple — Plan de contrôle \(n = 50\), \(c = 2\)
Un fabricant de quincaillerie livre un lot de 2000 ferrures. On prélève 50 pièces (le lot est assez grand pour justifier le modèle binomial). Le lot est accepté si on trouve au plus 2 défectueux.
Si le vrai taux de défaut est \(p = 0{,}02\), alors \(\lambda = np = 50 \times 0{,}02 = 1\) et on approche par \(\mathcal{P}(1)\) :