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Interrogation — Ch08 : Probabilités 1

BTS | Mathématiques | Durée : 40 min | /20

Dernière mise à jour : 21 juin 2026

Nom : _____ Prénom : _____ Date : _____

Exercice 1 — Opérations sur les événements (3 pts)

Dans un atelier, on a \(P(A) = 0{,}3\), \(P(B) = 0{,}5\) et \(P(A \cap B) = 0{,}15\).

  1. Calculer \(P(A \cup B)\). (1,5 pt)
  2. Calculer \(P(\bar{A})\). (1 pt)
  3. Les événements \(A\) et \(B\) sont-ils indépendants ? Justifier. (0,5 pt)

Exercice 2 — Probabilités totales et formule de Bayes (5 pts)

Dans une usine, 70 % des pièces sont produites par la machine M1 et 30 % par la machine M2. Le taux de défaut de M1 est de 2 %, celui de M2 est de 6 %. On note \(D\) : « pièce défectueuse ».

  1. Calculer \(P(D \cap M_1)\). (1 pt)
  2. Par la formule des probabilités totales, calculer \(P(D)\). (2 pts)
  3. Une pièce est défectueuse. Par la formule de Bayes, calculer la probabilité qu'elle provienne de M2, \(P(M_2 \mid D)\). (2 pts)

Exercice 3 — Variable aléatoire : espérance, variance (4 pts)

Un technicien reçoit un nombre \(X\) d'appels urgents par jour, de loi :

\(x_i\)0123
\(P(X = x_i)\)0,20,40,30,1
  1. Calculer l'espérance \(E(X)\). (2 pts)
  2. Calculer \(E(X^2)\), la variance \(V(X)\) et l'écart-type \(\sigma(X)\). (2 pts)

Exercice 4 — Loi binomiale (4 pts)

Une machine fabrique des pièces avec une probabilité de défaut \(p = 0{,}2\). On prélève \(n = 10\) pièces et on note \(X\) le nombre de pièces défectueuses.

  1. Préciser la loi de \(X\) et justifier (conditions). (1 pt)
  2. Calculer \(E(X)\) et \(\sigma(X)\). (1,5 pt)
  3. Calculer \(P(X = 0)\). On donne \((0{,}8)^{10} \approx 0{,}1074\). (1,5 pt)

Exercice 5 — Loi uniforme (4 pts)

Sur un chantier, une benne effectue un cycle toutes les 10 minutes. Un ouvrier arrive à un instant aléatoire ; son temps d'attente \(X\) (en minutes) suit la loi uniforme sur \([0\,;\,10]\).

  1. Calculer l'espérance \(E(X)\). (1 pt)
  2. Calculer la probabilité d'attendre moins de 3 minutes, \(P(X \le 3)\). (1,5 pt)
  3. Calculer la probabilité d'attendre entre 2 et 7 minutes, \(P(2 \le X \le 7)\). (1,5 pt)

Correction

Exercice 1 (3 pts)

a) \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = 0{,}3 + 0{,}5 - 0{,}15 = 0{,}65\). (1,5 pt)

b) \(P(\bar{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0{,}3 = 0{,}7\). (1 pt)

c) \(P(A) \times P(B) = 0{,}3 \times 0{,}5 = 0{,}15 = P(A \cap B)\). Donc \(A\) et \(B\) sont indépendants. (0,5 pt)

Exercice 2 (5 pts)

a) \(P(D \cap M_1) = P(D \mid M_1) \times P(M_1) = 0{,}02 \times 0{,}7 = 0{,}014\). (1 pt)

b) \(\{M_1, M_2\}\) est un système complet : \[P(D) = P(D \mid M_1)P(M_1) + P(D \mid M_2)P(M_2) = 0{,}02 \times 0{,}7 + 0{,}06 \times 0{,}3 = 0{,}014 + 0{,}018 = 0{,}032\] (2 pts)

c) \[P(M_2 \mid D) = \frac{P(D \mid M_2)P(M_2)}{P(D)} = \frac{0{,}018}{0{,}032} = 0{,}5625\] soit environ 56,25 % de chances que la pièce défectueuse provienne de M2. (2 pts)

Exercice 3 (4 pts)

a) \(E(X) = 0 \times 0{,}2 + 1 \times 0{,}4 + 2 \times 0{,}3 + 3 \times 0{,}1 = 0 + 0{,}4 + 0{,}6 + 0{,}3 = 1{,}3\). (2 pts)

b) \(E(X^2) = 0 + 1 \times 0{,}4 + 4 \times 0{,}3 + 9 \times 0{,}1 = 0{,}4 + 1{,}2 + 0{,}9 = 2{,}5\).
\(V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 2{,}5 - (1{,}3)^2 = 2{,}5 - 1{,}69 = 0{,}81\).
\(\sigma(X) = \sqrt{0{,}81} = 0{,}9\). (2 pts)

Exercice 4 (4 pts)

a) \(X \sim B(10\,;\,0{,}2)\) : 10 épreuves indépendantes, deux issues (défaut/non), probabilité de succès \(p = 0{,}2\) constante. (1 pt)

b) \(E(X) = np = 10 \times 0{,}2 = 2\) ; \(\sigma(X) = \sqrt{np(1-p)} = \sqrt{10 \times 0{,}2 \times 0{,}8} = \sqrt{1{,}6} \approx 1{,}26\). (1,5 pt)

c) \(P(X = 0) = \dbinom{10}{0}(0{,}2)^0(0{,}8)^{10} = (0{,}8)^{10} \approx 0{,}1074\), soit environ 10,7 %. (1,5 pt)

Exercice 5 (4 pts)

a) \(E(X) = \dfrac{a+b}{2} = \dfrac{0 + 10}{2} = 5\) min. (1 pt)

b) \(P(X \le 3) = \dfrac{3 - 0}{10 - 0} = \dfrac{3}{10} = 0{,}3 = 30\,\%\). (1,5 pt)

c) \(P(2 \le X \le 7) = \dfrac{7 - 2}{10 - 0} = \dfrac{5}{10} = 0{,}5 = 50\,\%\). (1,5 pt)

Total : 3 + 5 + 4 + 4 + 4 = 20 points.