← Retour au sommaire
L'essentiel :
- Conditionnement : probabilités totales pour calculer \(P(A)\), puis Bayes pour inverser le conditionnement.
- Indépendant (\(P(A\cap B)=P(A)P(B)\)) ≠ incompatible (\(A\cap B=\varnothing\)).
- Loi binomiale \(B(n,p)\) : comptage de succès dans \(n\) épreuves identiques indépendantes.
- Loi normale \(\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)\) : on centre-réduit (\(Z=\tfrac{X-\mu}{\sigma}\)) puis on lit la table.
- Pour \(n\) grand, \(B(n,p)\) s'approche par une loi normale, et la moyenne d'un échantillon par le TLC.
Définitions clés
Définition
Probabilité conditionnelle : \(P(A\mid B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}\) (probabilité de \(A\) sachant \(B\) réalisé).
Définition
Indépendance : \(A\) et \(B\) sont indépendants si \(P(A\cap B)=P(A)\times P(B)\), soit \(P(A\mid B)=P(A)\).
Définition
Espérance / variance d'une v.a. discrète : \(E(X)=\displaystyle\sum x_i p_i\) (valeur moyenne) et \(V(X)=E(X^2)-[E(X)]^2\) ; écart-type \(\sigma=\sqrt{V}\).
Définition
Loi normale centrée réduite : \(\mathcal{N}(0,1)\), \(Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}\) ; fonction de répartition \(\Phi(z)=P(Z\le z)\), avec \(\Phi(-z)=1-\Phi(z)\).
Formules à connaître
Calcul de probabilités
\[P(\bar A)=1-P(A) \qquad P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\]
\[P(A\cap B)=P(A\mid B)\,P(B) \qquad \text{équiprob. : }P(A)=\frac{\text{card}(A)}{\text{card}(\Omega)}\]
Probabilités totales et Bayes (système complet \(B_1,\dots,B_n\))
\[P(A)=\sum_{k} P(A\mid B_k)\,P(B_k) \qquad P(B_k\mid A)=\frac{P(A\mid B_k)\,P(B_k)}{P(A)}\]
Lois usuelles — espérance et variance
\[B(n,p):\ P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k},\ E=np,\ V=np(1-p)\]
\[\mathcal{U}([a;b]):\ P(c\le X\le d)=\frac{d-c}{b-a},\ E=\frac{a+b}{2},\ V=\frac{(b-a)^2}{12}\]
Combinaisons linéaires
\[E(aX+b)=aE(X)+b \qquad V(aX+b)=a^2V(X)\]
\[E(X+Y)=E(X)+E(Y)\ \text{(toujours)}\qquad V(X+Y)=V(X)+V(Y)\ \text{(si indép.)}\]
Loi normale — repères
Propriété — Règle des 68-95-99,7
\[P(\mu\pm\sigma)\approx 68{,}3\,\% \quad P(\mu\pm 2\sigma)\approx 95{,}4\,\% \quad P(\mu\pm 3\sigma)\approx 99{,}7\,\%\]
La courbe de Gauss est symétrique autour de \(x=\mu\), maximale en \(\mu\), points d'inflexion en \(\mu\pm\sigma\).
Propriété — Approximations
- \(B(n,p)\approx\mathcal{N}(np,\,np(1-p))\) si \(n\ge 30\), \(np\ge 5\), \(n(1-p)\ge 5\) (avec correction de continuité \(\pm 0{,}5\)).
- TLC : pour \(n\) grand, \(\bar{X}_n\approx\mathcal{N}\!\left(\mu,\,\dfrac{\sigma^2}{n}\right)\) et \(S_n\approx\mathcal{N}(n\mu,\,n\sigma^2)\).
Méthodes
Méthode
Calculer \(P(a\le X\le b)\) avec \(X\sim\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)\)
- Identifier \(\mu\) et \(\sigma\) (attention : \(\sigma=\sqrt{\sigma^2}\)).
- Centrer-réduire les bornes : \(z=\dfrac{\text{borne}-\mu}{\sigma}\).
- Lire \(\Phi(z_1)\) et \(\Phi(z_2)\) dans la table.
- Conclure : \(P(a\le X\le b)=\Phi(z_2)-\Phi(z_1)\).
Méthode
Conditionnement (arbre pondéré)
- Repérer le système complet \(B_1,\dots,B_n\) et dessiner l'arbre.
- Multiplier le long d'un chemin : \(P(A\cap B_k)=P(B_k)\,P(A\mid B_k)\).
- Additionner les chemins menant à \(A\) (probabilités totales).
- Pour remonter à une cause : appliquer Bayes.
Erreurs fréquentes
Attention
❌ Confondre « indépendant » et « incompatible ».
✅ Incompatible : \(P(A\cap B)=0\). Indépendant : \(P(A\cap B)=P(A)P(B)\).
❌ Utiliser \(\sigma^2\) à la place de \(\sigma\) dans le centrage-réduction.
✅ \(\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)\) donne la variance : prendre \(\sigma=\sqrt{\sigma^2}\) pour réduire.
❌ Écrire \(V(X+Y)=V(X)+V(Y)\) sans vérifier l'indépendance.
✅ Cette additivité n'est valable que pour des variables indépendantes.
❌ Oublier la correction de continuité dans l'approximation \(B\to\mathcal{N}\).
✅ \(P(X\le k)\approx P(Y\le k+0{,}5)\), \(P(X\ge k)\approx P(Y\ge k-0{,}5)\).