Exercices par capacités · BTS
Dernière mise à jour : 21 juin 2026
Dans un atelier, \(P(A) = 0{,}4\), \(P(B) = 0{,}5\) et \(P(A \cap B) = 0{,}2\). Calculer \(P(A \cup B)\) et \(P(\bar{A})\).
Un lot de pièces contient 5 % de pièces hors tolérance (\(H\)) et 3 % avec un défaut d'aspect (\(A\)) ; 1 % cumulent les deux défauts. Calculer la probabilité qu'une pièce présente au moins un défaut.
Soit 7 % des pièces présentent au moins un défaut.
On contrôle deux composants indépendants d'un système de chauffage. La probabilité de défaillance de A est 0,03 et celle de B est 0,05. Calculer la probabilité que les deux tombent en panne simultanément, puis qu'aucun ne tombe en panne.
Indépendance : \(P(A \cap B) = P(A)\times P(B) = 0{,}03 \times 0{,}05 = 0{,}0015\) (soit 0,15 %).
Aucune panne : \(P(\bar A \cap \bar B) = 0{,}97 \times 0{,}95 = 0{,}9215\) (soit 92,15 %).
Dans une usine de menuiserie, 60 % des panneaux proviennent de la machine M1 et 40 % de M2. Le taux de défaut de M1 est 2 %. Calculer \(P(D \cap M_1)\) (panneau défectueux ET issu de M1).
Soit 1,2 % des panneaux sont défectueux et issus de M1.
Usine de menuiserie : M1 (60 %, défaut 2 %) et M2 (40 %, défaut 5 %). Calculer la probabilité \(P(D)\) qu'un panneau pris au hasard soit défectueux.
\(\{M_1, M_2\}\) est un système complet d'événements :
\[P(D) = P(D\mid M_1)P(M_1) + P(D\mid M_2)P(M_2) = 0{,}02\times 0{,}6 + 0{,}05\times 0{,}4\] \[= 0{,}012 + 0{,}020 = 0{,}032\]Soit 3,2 % de panneaux défectueux.
Avec les données de l'exercice 5, un panneau est trouvé défectueux. Calculer la probabilité \(P(M_2 \mid D)\) qu'il provienne de M2.
Il y a 62,5 % de chances que le panneau défectueux provienne de M2.
Un test de défaut est positif dans 95 % des cas si le défaut est présent, et donne un faux positif dans 4 % des cas. La proportion de pièces réellement défectueuses est de 2 %. Une pièce est testée positive : quelle est la probabilité qu'elle soit réellement défectueuse ?
\(D\) : « défectueuse », \(T\) : « test positif ». \(P(D)=0{,}02\), \(P(T\mid D)=0{,}95\), \(P(T\mid\bar D)=0{,}04\).
Probabilités totales :
\[P(T) = 0{,}95\times 0{,}02 + 0{,}04\times 0{,}98 = 0{,}019 + 0{,}0392 = 0{,}0582\]Bayes :
\[P(D\mid T) = \frac{0{,}019}{0{,}0582} \approx 0{,}326\]Seulement 32,6 % : le défaut étant rare, les faux positifs dominent.
Deux fournisseurs livrent des vannes : F1 (70 %, taux de fuite 1 %) et F2 (30 %, taux de fuite 4 %). 1) Calculer la probabilité \(P(F)\) qu'une vanne prise au hasard fuie. 2) Une vanne fuit : quelle est la probabilité qu'elle vienne de F2 ?
1. \(P(F) = 0{,}01\times 0{,}70 + 0{,}04\times 0{,}30 = 0{,}007 + 0{,}012 = 0{,}019\) (1,9 %).
2.
\[P(F_2 \mid F) = \frac{0{,}04\times 0{,}30}{0{,}019} = \frac{0{,}012}{0{,}019} \approx 0{,}632\]Environ 63,2 % des vannes qui fuient proviennent de F2.
Un technicien chauffagiste reçoit \(X\) appels urgents par jour selon la loi suivante. Calculer \(E(X)\), \(V(X)\) et \(\sigma(X)\).
| \(x_i\) | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|
| \(P(X=x_i)\) | 0,3 | 0,4 | 0,2 | 0,1 |
Une variable \(X\) prend les valeurs 10, 20, 30 avec les probabilités 0,2 ; 0,5 ; 0,3. Calculer \(E(X)\) et \(V(X)\).
Le temps d'installation d'un radiateur est une v.a. \(X\) avec \(E(X) = 45\) min et \(\sigma(X) = 8\) min. Le coût est \(C = 30X + 50\) (en €). Calculer \(E(C)\), \(V(C)\) et \(\sigma(C)\).
Un technicien installe 4 radiateurs indépendants ; chaque temps d'installation a \(E(X_i)=45\) min et \(\sigma(X_i)=8\) min. Soit \(S = X_1+X_2+X_3+X_4\). Calculer \(E(S)\), \(V(S)\) et \(\sigma(S)\).
Linéarité de l'espérance : \(E(S) = 4\times 45 = 180\) min.
Variables indépendantes : \(V(S) = 4\times V(X_i) = 4\times 64 = 256\).
\(\sigma(S) = \sqrt{256} = 16\) min.
Une machine fabrique des pièces avec \(p = 0{,}1\) de défaut. On prélève \(n = 10\) pièces, \(X \sim B(10\,;\,0{,}1)\). On donne \((0{,}9)^9 \approx 0{,}3874\). Calculer \(P(X=1)\), \(E(X)\) et \(\sigma(X)\).
Un fabricant produit des panneaux avec un taux de défaut \(p = 0{,}03\). On prélève \(n = 20\) panneaux, \(X \sim B(20\,;\,0{,}03)\). On donne \((0{,}97)^{20}\approx 0{,}5438\) et \((0{,}97)^{19}\approx 0{,}5606\). 1) Calculer \(P(X=0)\) et \(P(X=1)\). 2) En déduire \(P(X\geq 2)\).
Un lot de 2000 ferrures contient une proportion \(p = 0{,}02\) de défauts. On prélève \(n = 50\) pièces et on accepte si au plus 2 défauts. En approchant par la loi de Poisson \(\mathcal{P}(\lambda)\) avec \(\lambda = np\), calculer \(P(X\leq 2)\). On donne \(e^{-1}\approx 0{,}3679\).
\(\lambda = np = 50\times 0{,}02 = 1\). Pour \(\mathcal{P}(1)\) : \(P(X=k) = e^{-1}\dfrac{1^k}{k!}\).
\[P(X\leq 2) = e^{-1}\left(\frac{1}{0!} + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!}\right) = e^{-1}(1 + 1 + 0{,}5) = 0{,}3679\times 2{,}5 \approx 0{,}920\]Le lot a environ 92 % de chances d'être accepté.
Sur un chantier, un ascenseur effectue un cycle toutes les 8 minutes ; le temps d'attente \(X\) suit la loi uniforme sur \([0\,;\,8]\). Calculer \(E(X)\), \(P(X\leq 2)\) et \(P(3\leq X\leq 6)\).
La longueur \(X\) (mm) de tasseaux suit \(\mathcal{N}(500\,;\,4)\), soit \(\mu = 500\) et \(\sigma = 2\) mm. On donne \(\Phi(1{,}5)\approx 0{,}9332\). Calculer \(P(497 \leq X \leq 503)\).
\(\sigma = \sqrt{4} = 2\) mm. Centrage-réduction :
\[P(497\leq X\leq 503) = P\!\left(\frac{497-500}{2}\leq Z\leq\frac{503-500}{2}\right) = P(-1{,}5\leq Z\leq 1{,}5)\] \[= \Phi(1{,}5) - \Phi(-1{,}5) = 2\Phi(1{,}5) - 1 = 2\times 0{,}9332 - 1 = 0{,}8664\]Environ 86,6 % des tasseaux sont dans la tolérance \(\pm 3\) mm.
Même loi \(\mathcal{N}(500\,;\,4)\). On donne \(\Phi(2{,}5)\approx 0{,}9938\). Calculer \(P(X \gt 505)\).
Moins de 0,6 % des tasseaux dépassent 505 mm.
Le diamètre \(X\) (mm) de chevilles suit \(\mathcal{N}(8\,;\,0{,}25)\), soit \(\mu = 8\) et \(\sigma = 0{,}5\) mm. On donne \(\Phi(2)\approx 0{,}9772\). Calculer \(P(7 \leq X \leq 9)\).
\(\sigma = \sqrt{0{,}25} = 0{,}5\) mm :
\[P(7\leq X\leq 9) = P\!\left(\frac{7-8}{0{,}5}\leq Z\leq\frac{9-8}{0{,}5}\right) = P(-2\leq Z\leq 2) = 2\Phi(2) - 1\] \[= 2\times 0{,}9772 - 1 = 0{,}9544\]Environ 95,4 % (conforme à la règle des \(\pm 2\sigma\)).
Une loi binomiale \(X\sim B(200\,;\,0{,}08)\) est approchée par \(\mathcal{N}(np\,;\,np(1-p))\). 1) Vérifier les conditions d'approximation et donner \(\mu\), \(\sigma\). 2) Avec correction de continuité, calculer \(P(X\leq 20)\). On donne \(\Phi(1{,}17)\approx 0{,}879\).
1. \(n=200\geq 30\), \(np = 16\geq 5\), \(n(1-p)=184\geq 5\) ✓. \(\mu = 16\), \(\sigma = \sqrt{200\times 0{,}08\times 0{,}92} = \sqrt{14{,}72}\approx 3{,}84\).
2. Correction de continuité \(P(X\leq 20)\approx P(Y\leq 20{,}5)\) :
\[P(Y\leq 20{,}5) = \Phi\!\left(\frac{20{,}5 - 16}{3{,}84}\right) = \Phi(1{,}17) \approx 0{,}879\]Environ 87,9 % de chances d'observer au plus 20 défauts.