Ch07 – Transformée de Laplace – QCM

Question 1

Quelle est la définition de la transformée de Laplace d'une fonction causale \(f(t)\) ?

\(\displaystyle F(s) = \int_0^{+\infty} f(t)\,e^{st}\,\mathrm{d}t\) \(\displaystyle F(s) = \int_0^{+\infty} f(t)\,e^{-st}\,\mathrm{d}t\) \(\displaystyle F(s) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(t)\,e^{-st}\,\mathrm{d}t\) \(\displaystyle F(s) = \int_0^{+\infty} f'(t)\,e^{-st}\,\mathrm{d}t\)

Question 2

Quelle est la transformée de Laplace de l'échelon unité \(u(t) = 1\) ?

\(\dfrac{1}{s}\) \(1\) \(\dfrac{1}{s^2}\) \(s\)

Question 3

Que vaut \(\mathcal{L}\{e^{-3t}\}\) (pour \(t \ge 0\)) ?

\(\dfrac{1}{s-3}\) \(\dfrac{3}{s}\) \(\dfrac{1}{s+3}\) \(\dfrac{1}{s^2+9}\)

Question 4

Quelle est la transformée de Laplace de \(\sin(5t)\) ?

\(\dfrac{s}{s^2+25}\) \(\dfrac{5}{s^2+25}\) \(\dfrac{5}{s^2-25}\) \(\dfrac{1}{s+5}\)

Question 5

Par linéarité, que vaut \(\mathcal{L}\{3e^{-2t} - 5\sin(4t)\}\) ?

\(\dfrac{3}{s-2} - \dfrac{5}{s^2+16}\) \(\dfrac{3}{s+2} - \dfrac{4}{s^2+16}\) \(\dfrac{3}{s+2} - \dfrac{5}{s^2+4}\) \(\dfrac{3}{s+2} - \dfrac{20}{s^2+16}\)

Question 6

Avec des conditions initiales nulles, à quoi est égale \(\mathcal{L}\{f'(t)\}\) ?

\(s\,F(s)\) \(\dfrac{F(s)}{s}\) \(F(s) - f(0)\) \(s^2\,F(s)\)

Question 7

Le théorème du retard donne la transformée de \(f(t-T)\,u(t-T)\). Quelle est-elle ?

\(e^{Ts}\,F(s)\) \(F(s+T)\) \(e^{-Ts}\,F(s)\) \(\dfrac{F(s)}{s}\,e^{-T}\)

Question 8

Soit \(F(s) = \dfrac{5}{s(s+2)}\). D'après le théorème de la valeur finale, que vaut \(\lim_{t\to+\infty} f(t)\) ?

\(5\) \(2{,}5\) \(0\) \(+\infty\)

Question 9

Une fonction de transfert a pour pôles \(p_1 = -1\) et \(p_2 = -3\). Le système est-il stable ?

Non, car les pôles sont négatifs Instable, car il y a deux pôles Oscillations entretenues Oui, stable : tous les pôles ont une partie réelle strictement négative

Question 10

On décompose \(F(s) = \dfrac{5s+6}{s(s+2)(s+3)} = \dfrac{A}{s} + \dfrac{B}{s+2} + \dfrac{C}{s+3}\). Que vaut le coefficient \(A\) ?

\(A = \dfrac{6}{2\times 3} = 1\) \(A = 5\) \(A = 6\) \(A = -3\)

Question 11

La fonction de transfert canonique du 1er ordre est \(H(s) = \dfrac{K}{1+\tau s}\). À l'instant \(t = \tau\), la réponse indicielle a atteint quelle fraction de sa valeur finale ?

\(50\,\%\) \(100\,\%\) Environ \(63{,}2\,\%\) \((1 - e^{-1})\) Environ \(95\,\%\)

Question 12

Pour un système du 2e ordre \(H(s) = \dfrac{K\omega_n^2}{s^2 + 2\xi\omega_n s + \omega_n^2}\), à quelle condition sur \(\xi\) observe-t-on un dépassement (régime sous-amorti avec oscillations) ?

\(\xi > 1\) \(0 \lt \xi \lt 1\) \(\xi = 1\) \(\xi \gt 2\)