BTS | Mathématiques | Groupement B1
Dernière mise à jour : 21 juin 2026
Contexte : Un ingénieur en automatisme chez un fabricant de systèmes de régulation thermique industrielle doit analyser le comportement d'une boucle de régulation contrôlant la température d'un four de traitement thermique. La consigne passe en échelon de 50 °C à 200 °C.
Pour prédire le dépassement, le temps de réponse et la stabilité du système, il modélise le four comme un système du 2e ordre avec :
Il utilise la transformée de Laplace pour passer du domaine temporel (équations différentielles complexes) au domaine fréquentiel (algèbre des fonctions de transfert), ce qui simplifie considérablement l'analyse.
Questions : Quelle sera la réponse en température \(T(t)\) après l'application de l'échelon ? Y aura-t-il un dépassement ? Le système est-il stable ? Quelle est la valeur finale ?
Transformée de Laplace
Soit \(f(t)\) une fonction causale (nulle pour \(t < 0\)). Sa transformée de Laplace est l'intégrale :
\[ \mathcal{L}\{f(t)\} = F(s) = \int_0^{+\infty} f(t)\,e^{-st}\,dt \]où \(s\) est une variable complexe. On note de façon équivalente :
\[f(t) \;\xleftrightarrow{\;\mathcal{L}\;}\; F(s)\]Variable complexe \(s\)
La variable \(s = \sigma + j\omega\) est une variable complexe (\(j^2 = -1\)) :
Conditions d'existence (convergence)
L'intégrale \(\displaystyle\int_0^{+\infty} f(t)\,e^{-st}\,dt\) converge si \(\operatorname{Re}(s) > \sigma_0\), où \(\sigma_0\) est l'abscisse de convergence.
En pratique pour les BTS, toutes les fonctions physiques rencontrées (croissance au plus exponentielle) admettent une transformée de Laplace.
Transformée de Laplace inverse
L'opération inverse est notée \(\mathcal{L}^{-1}\) :
\[ f(t) = \mathcal{L}^{-1}\{F(s)\} \]En pratique, on ne calcule pas l'intégrale inverse directement. On utilise une décomposition en éléments simples de \(F(s)\), puis on lit le tableau des transformées usuelles.
Ce tableau est fondamental. On suppose les conditions initiales nulles et \(t \geq 0\) pour toutes les fonctions.
| Nom | Fonction temporelle \(f(t)\) | Transformée \(F(s) = \mathcal{L}\{f(t)\}\) |
|---|---|---|
| Impulsion de Dirac | \(\delta(t)\) | \(1\) |
| Échelon unité | \(u(t) = 1\) | \(\dfrac{1}{s}\) |
| Rampe linéaire | \(t \cdot u(t)\) | \(\dfrac{1}{s^2}\) |
| Monôme | \(t^n \cdot u(t)\) | \(\dfrac{n!}{s^{n+1}}\) |
| Exponentielle décroissante | \(e^{-at}\cdot u(t)\) | \(\dfrac{1}{s+a}\) |
| Cosinus | \(\cos(\omega_0 t)\cdot u(t)\) | \(\dfrac{s}{s^2 + \omega_0^2}\) |
| Sinus | \(\sin(\omega_0 t)\cdot u(t)\) | \(\dfrac{\omega_0}{s^2 + \omega_0^2}\) |
| Exp × cosinus (oscillations amorties) | \(e^{-at}\cos(\omega_0 t)\cdot u(t)\) | \(\dfrac{s+a}{(s+a)^2 + \omega_0^2}\) |
| Exp × sinus (oscillations amorties) | \(e^{-at}\sin(\omega_0 t)\cdot u(t)\) | \(\dfrac{\omega_0}{(s+a)^2 + \omega_0^2}\) |
| Exp × rampe (pôle double) | \(t\,e^{-at}\cdot u(t)\) | \(\dfrac{1}{(s+a)^2}\) |
Calculer \(\mathcal{L}\{e^{-3t}\cdot u(t)\}\) directement.
\[ F(s) = \int_0^{+\infty} e^{-3t}\,e^{-st}\,dt = \int_0^{+\infty} e^{-(s+3)t}\,dt = \left[\frac{e^{-(s+3)t}}{-(s+3)}\right]_0^{+\infty} \]Pour \(\operatorname{Re}(s) > -3\), le terme en \(+\infty\) vaut 0, donc :
\[F(s) = 0 - \frac{1}{-(s+3)} = \frac{1}{s+3}\]On retrouve bien la ligne du tableau avec \(a = 3\).
Lire directement depuis le tableau :
Linéarité
\[ \mathcal{L}\{\alpha\,f(t) + \beta\,g(t)\} = \alpha\,F(s) + \beta\,G(s) \quad (\alpha, \beta \in \mathbb{R}) \]La transformée de Laplace est un opérateur linéaire.
Calculer \(\mathcal{L}\{3e^{-2t} - 5\sin(4t)\}\) pour \(t \geq 0\).
\[ \mathcal{L}\{3e^{-2t}\} = \frac{3}{s+2} \qquad \mathcal{L}\{5\sin(4t)\} = \frac{20}{s^2+16} \] \[ \Rightarrow \quad \mathcal{L}\{3e^{-2t} - 5\sin(4t)\} = \frac{3}{s+2} - \frac{20}{s^2+16} \]Décalage fréquentiel (translation en \(s\))
Si \(f(t) \xleftrightarrow{\mathcal{L}} F(s)\), alors :
\[ e^{-at}f(t) \;\xleftrightarrow{\;\mathcal{L}\;}\; F(s+a) \]Multiplier par \(e^{-at}\) dans le temps revient à remplacer \(s\) par \(s+a\) dans \(F(s)\).
En appliquant ce théorème à \(\cos(\omega_0 t) \xleftrightarrow{\mathcal{L}} \dfrac{s}{s^2+\omega_0^2}\) :
\[ e^{-at}\cos(\omega_0 t) \;\xleftrightarrow{\;\mathcal{L}\;}\; \frac{s+a}{(s+a)^2 + \omega_0^2} \]On retrouve la ligne correspondante du tableau.
Décalage temporel (théorème du retard)
\[ f(t-T)\,u(t-T) \;\xleftrightarrow{\;\mathcal{L}\;}\; e^{-Ts}\,F(s) \qquad (T \geq 0) \]Un retard de \(T\) secondes dans le temps correspond à une multiplication par \(e^{-Ts}\) dans le domaine de Laplace.
Transformée de la dérivée
\[ \mathcal{L}\{f'(t)\} = s\,F(s) - f(0^-) \] \[ \mathcal{L}\{f''(t)\} = s^2\,F(s) - s\,f(0^-) - f'(0^-) \]En général, pour des conditions initiales nulles (cas BTS courant) :
\[ \mathcal{L}\left\{f^{(n)}(t)\right\} = s^n\,F(s) \]Intérêt majeur : la dérivation devient une multiplication par \(s\). Une équation différentielle devient une équation algébrique, beaucoup plus simple à résoudre.
Transformée de l'intégrale
\[ \mathcal{L}\left\{\int_0^t f(\tau)\,d\tau\right\} = \frac{F(s)}{s} \]Intégrer dans le temps revient à diviser par \(s\) dans le domaine de Laplace.
Théorème de la valeur initiale
\[ f(0^+) = \lim_{s \to +\infty} s\,F(s) \]Permet de trouver la valeur de \(f\) à l'instant initial sans calculer \(f(t)\).
Théorème de la valeur finale
\[ \lim_{t \to +\infty} f(t) = \lim_{s \to 0}\, s\,F(s) \]Condition : ce théorème n'est valable que si \(f(t)\) admet une limite finie en \(+\infty\), c'est-à-dire si le système est stable (tous les pôles de \(sF(s)\) ont une partie réelle strictement négative).
Soit \(F(s) = \dfrac{5}{s(s+2)}\). Déterminer \(\displaystyle\lim_{t\to+\infty} f(t)\).
Pôles de \(sF(s) = \dfrac{5}{s+2}\) : unique pôle en \(s = -2\) (partie réelle négative) → limite finite.
\[ \lim_{t\to+\infty} f(t) = \lim_{s\to 0}\, s \cdot \frac{5}{s(s+2)} = \lim_{s\to 0}\, \frac{5}{s+2} = \frac{5}{2} = 2{,}5 \]Soit \(F(s) = \dfrac{s+3}{s^2+4s+3}\).
1. Factorisation : \(s^2+4s+3 = (s+1)(s+3)\) donc pôles \(p_1 = -1\) et \(p_2 = -3\).
2. Valeur initiale :
\[f(0^+) = \lim_{s\to+\infty} s\cdot\frac{s+3}{(s+1)(s+3)} = \lim_{s\to+\infty} \frac{s}{s+1} = 1\]3. Stabilité : \(\operatorname{Re}(p_1) = -1 < 0\) et \(\operatorname{Re}(p_2) = -3 < 0\) → système stable.
Valeur finale :
\[\lim_{t\to+\infty}f(t) = \lim_{s\to 0}\,s\cdot\frac{s+3}{(s+1)(s+3)} = \lim_{s\to 0}\frac{s}{s+1} = 0\]La fonction \(f(t)\) tend vers 0 (régime libre qui s'amortit).
Fonction de transfert \(H(s)\)
Pour un système linéaire invariant dans le temps (LTI), à conditions initiales nulles, la fonction de transfert est le rapport de la transformée de la sortie sur la transformée de l'entrée :
\[ H(s) = \frac{S(s)}{E(s)} \]où \(E(s) = \mathcal{L}\{e(t)\}\) est la transformée de l'entrée et \(S(s) = \mathcal{L}\{s(t)\}\) celle de la sortie.
La sortie dans le domaine de Laplace est directement : \(S(s) = H(s) \cdot E(s)\).
Pôles et zéros
Toute fonction de transfert rationnelle s'écrit :
\[ H(s) = K \cdot \frac{(s - z_1)(s - z_2) \cdots (s - z_m)}{(s - p_1)(s - p_2) \cdots (s - p_n)} \quad (n \geq m) \]Stabilité d'un système à partir des pôles
Un système est stable si et seulement si tous ses pôles ont une partie réelle strictement négative :
Les pôles stables se trouvent dans le demi-plan gauche du plan de Laplace (\(\sigma < 0\)).
Analyser \(H(s) = \dfrac{s+2}{s^2 + 3s + 2}\).
Factorisation du dénominateur : \(s^2+3s+2 = (s+1)(s+2)\)
Pôles : \(p_1 = -1\), \(p_2 = -2\) — Zéro : \(z_1 = -2\)
Tous les pôles ont une partie réelle négative → STABLE
Remarque : \(p_2 = z_1 = -2\) → simplification : \(H(s) = \dfrac{1}{s+1}\)
Analyser \(H(s) = \dfrac{1}{s^2 - s + 2}\).
Discriminant : \(\Delta = 1 - 8 = -7 < 0\)
Pôles complexes : \(p_{1,2} = \dfrac{1 \pm j\sqrt{7}}{2}\) avec \(\operatorname{Re}(p) = \dfrac{1}{2} > 0\)
Au moins un pôle avec partie réelle positive → INSTABLE
La décomposition en éléments simples permet d'exprimer une fraction rationnelle \(F(s)\) (avec \(\deg \text{num} < \deg \text{den}\)) comme somme de fractions plus simples, afin d'appliquer le tableau des transformées inverses.
Cas 1 : Pôle réel simple \(p_i\)
\[\frac{A_i}{s - p_i} \quad \text{avec} \quad A_i = \lim_{s \to p_i}(s - p_i)\,F(s)\]Cas 2 : Pôle réel double \(p_i\)
\[\frac{A_1}{s-p_i} + \frac{A_2}{(s-p_i)^2} \quad \text{avec} \quad A_2 = \lim_{s\to p_i}(s-p_i)^2 F(s),\quad A_1 = \lim_{s\to p_i}\frac{d}{ds}\left[(s-p_i)^2 F(s)\right]\]Cas 3 : Pôles complexes conjugués \(-a \pm j\omega_0\)
\[\frac{As + B}{(s+a)^2 + \omega_0^2} \quad \Rightarrow \quad \mathcal{L}^{-1} = \text{combinaison de } e^{-at}\cos(\omega_0 t) \text{ et } e^{-at}\sin(\omega_0 t)\]Décomposer \(F(s) = \dfrac{5s + 6}{s(s+2)(s+3)}\).
On pose : \(F(s) = \dfrac{A}{s} + \dfrac{B}{s+2} + \dfrac{C}{s+3}\)
Calcul de A (multiplier par \(s\), puis \(s\to 0\)) :
\[A = \left.\frac{5s+6}{(s+2)(s+3)}\right|_{s=0} = \frac{6}{2 \times 3} = 1\]Calcul de B (multiplier par \(s+2\), puis \(s\to -2\)) :
\[B = \left.\frac{5s+6}{s(s+3)}\right|_{s=-2} = \frac{-10+6}{(-2)(1)} = \frac{-4}{-2} = 2\]Calcul de C (multiplier par \(s+3\), puis \(s\to -3\)) :
\[C = \left.\frac{5s+6}{s(s+2)}\right|_{s=-3} = \frac{-15+6}{(-3)(-1)} = \frac{-9}{3} = -3\]Résultat : \(F(s) = \dfrac{1}{s} + \dfrac{2}{s+2} - \dfrac{3}{s+3}\)
Transformée inverse : \(\quad f(t) = (1 + 2e^{-2t} - 3e^{-3t})\,u(t)\)
Calculer \(\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{2s+6}{(s+1)^2 + 4}\right\}\).
On identifie la forme avec \(a = 1\), \(\omega_0 = 2\). On réécrit le numérateur :
\[2s + 6 = 2(s+1) + 4 = 2(s+1) + 2 \cdot 2\] \[F(s) = \frac{2(s+1)}{(s+1)^2+4} + \frac{2 \cdot 2}{(s+1)^2+4}\]Par transformée inverse terme à terme :
\[f(t) = 2e^{-t}\cos(2t) + 2e^{-t}\sin(2t) = 2e^{-t}\bigl[\cos(2t) + \sin(2t)\bigr]\]Calculer \(\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{3}{s(s+2)^2}\right\}\).
On pose : \(\dfrac{3}{s(s+2)^2} = \dfrac{A}{s} + \dfrac{B_1}{s+2} + \dfrac{B_2}{(s+2)^2}\)
\[A = \left.\frac{3}{(s+2)^2}\right|_{s=0} = \frac{3}{4}\] \[B_2 = \left.\frac{3}{s}\right|_{s=-2} = \frac{3}{-2} = -\frac{3}{2}\]Pour \(B_1\), on identifie en développant ou en posant \(s = 1\) :
\[\frac{3}{1 \cdot 9} = \frac{3}{4} + \frac{B_1}{3} + \frac{-3/2}{9} \Rightarrow \frac{1}{3} = \frac{3}{4} + \frac{B_1}{3} - \frac{1}{6} \Rightarrow B_1 = -\frac{3}{4}\] \[F(s) = \frac{3/4}{s} - \frac{3/4}{s+2} - \frac{3/2}{(s+2)^2}\] \[f(t) = \frac{3}{4}\left(1 - e^{-2t}\right) - \frac{3}{2}\,t\,e^{-2t}\]Un circuit RC série est alimenté par un échelon de tension \(e(t) = E_0\,u(t)\) avec \(E_0 = 10\) V, \(R = 1\) k\(\Omega\), \(C = 100\) \(\mu\)F.
Équation différentielle :
\[RC\,\frac{du_C}{dt} + u_C(t) = e(t)\]Constante de temps : \(\tau = RC = 10^3 \times 10^{-4} = 0{,}1\) s
Conditions initiales : \(u_C(0^-) = 0\)
Résolution dans le domaine de Laplace :
\[\tau\left[s\,U_C(s) - \underbrace{u_C(0^-)}_{=0}\right] + U_C(s) = \frac{E_0}{s}\] \[(\tau s + 1)\,U_C(s) = \frac{E_0}{s}\] \[U_C(s) = \frac{E_0}{s(\tau s + 1)}\]Décomposition en éléments simples :
\[U_C(s) = \frac{E_0/\tau}{s\left(s + \frac{1}{\tau}\right)} = \frac{A}{s} + \frac{B}{s + \frac{1}{\tau}}\] \[A = E_0 = 10 \qquad B = -E_0 = -10\] \[U_C(s) = 10\left(\frac{1}{s} - \frac{1}{s + 10}\right)\]Transformée inverse :
\[ \boxed{u_C(t) = 10\left(1 - e^{-10t}\right)\,u(t) \quad \text{[V]}} \]La fonction de transfert \(H(s) = \dfrac{U_C(s)}{E(s)}\) est obtenue en posant \(e(t) = \delta(t)\) (entrée impulsionnelle), soit \(E(s) = 1\) :
\[H(s) = \frac{1}{\tau s + 1} = \frac{1}{0{,}1s + 1}\]Pôle unique : \(p = -\dfrac{1}{\tau} = -10\) → \(\operatorname{Re}(p) = -10 < 0\) → STABLE
Forme canonique du 1er ordre
\[ H(s) = \frac{K}{1 + \tau s} \]| Instant | Valeur de \(s(t)/K\) | Interprétation |
|---|---|---|
| \(t = \tau\) | \(1 - e^{-1} \approx 63{,}2\,\%\) | Méthode de lecture de \(\tau\) |
| \(t = 2\tau\) | \(\approx 86{,}5\,\%\) | |
| \(t = 3\tau\) | \(\approx 95{,}0\,\%\) | Souvent considéré comme "permanent" |
| \(t = 5\tau\) | \(\approx 99{,}3\,\%\) | Très proche du régime final |
La tangente à l'origine coupe la valeur finale \(K\) exactement en \(t = \tau\).
Forme canonique du 2e ordre
\[ H(s) = \frac{K\,\omega_n^2}{s^2 + 2\xi\omega_n\,s + \omega_n^2} \]Le discriminant du dénominateur : \(\Delta = 4\omega_n^2(\xi^2 - 1)\)
| Valeur de \(\xi\) | Régime | Nature des pôles | Comportement |
|---|---|---|---|
| \(\xi > 1\) | Sur-amorti | 2 réels négatifs distincts | Pas de dépassement, réponse lente |
| \(\xi = 1\) | Critique | 1 réel double \(-\omega_n\) | Pas de dépassement, réponse la plus rapide sans oscillation |
| \(0 < \xi < 1\) | Sous-amorti | 2 complexes conjugués | Dépassement et oscillations amorties |
| \(\xi = 0\) | Non amorti | Purs imaginaires \(\pm j\omega_n\) | Oscillations permanentes |
Pulsation propre amortie
\[\omega_d = \omega_n\sqrt{1 - \xi^2} \quad (0 < \xi < 1)\]C'est la pulsation des oscillations en régime sous-amorti.
Le dépassement ne dépend que de \(\xi\) (pas de \(\omega_n\) ni de \(K\)).
Valeurs numériques :
| \(\xi\) | 0,1 | 0,2 | 0,4 | 0,6 | 0,7 | 0,8 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(D\%\) | 72,9 % | 52,7 % | 25,4 % | 9,5 % | 4,6 % | 1,5 % |
Données : \(\omega_n = 0{,}5\) rad/s, \(\xi = 0{,}4\), \(K = 1\).
\[H(s) = \frac{(0{,}5)^2}{s^2 + 2(0{,}4)(0{,}5)s + (0{,}5)^2} = \frac{0{,}25}{s^2 + 0{,}4s + 0{,}25}\]Pôles : \(s^2 + 0{,}4s + 0{,}25 = 0 \Rightarrow \Delta = 0{,}16 - 1 = -0{,}84 < 0\)
\[p_{1,2} = \frac{-0{,}4 \pm j\sqrt{0{,}84}}{2} = -0{,}2 \pm j\,0{,}458\]Parties réelles négatives → STABLE
Pulsation amortie : \(\omega_d = 0{,}5\sqrt{1-0{,}16} \approx 0{,}458\) rad/s
Dépassement : \(D\% = 100\,e^{-\pi\times 0{,}4/\sqrt{0{,}84}} \approx 25{,}4\,\%\)
Conséquence pratique : Pour un échelon de 150 °C, la température atteindra au maximum :
\[T_{max} = 200 + 0{,}254 \times 150 \approx 238\,\text{°C}\]L'ingénieur doit vérifier que les matériaux du four supportent cette surtempérature transitoire de 38 °C.
Résoudre \(y'' + 5y' + 6y = 6\,u(t)\) avec \(y(0^-) = y'(0^-) = 0\).
Étapes 2 et 3 (CI nulles) :
\[s^2\,Y(s) + 5s\,Y(s) + 6\,Y(s) = \frac{6}{s}\]Étape 4 :
\[Y(s)(s^2+5s+6) = \frac{6}{s} \implies Y(s) = \frac{6}{s(s+2)(s+3)}\]Étape 5 — DES :
\[Y(s) = \frac{A}{s} + \frac{B}{s+2} + \frac{C}{s+3}\] \[A = \frac{6}{2\times3} = 1 \qquad B = \frac{6}{(-2)(1)} = -3 \qquad C = \frac{6}{(-3)(-1)} = 2\]Étape 6 :
\[\boxed{y(t) = \left(1 - 3e^{-2t} + 2e^{-3t}\right)u(t)}\]Vérification — valeur finale : \(\displaystyle\lim_{s\to 0} s\cdot\frac{6}{s(s^2+5s+6)} = \frac{6}{6} = 1 = \lim_{t\to\infty} y(t)\) ✓
Un circuit RL série (résistance \(R = 2\,\Omega\), inductance \(L = 1\) H) est soumis à une tension \(e(t) = 4\,u(t)\) V. L'équation est \(L\,\dfrac{di}{dt} + Ri = e(t)\) avec \(i(0^-) = 1\) A.
Déterminer \(i(t)\) pour \(t \geq 0\).
Transformée de Laplace (avec CI) :
\[s\,I(s) - i(0^-) + 2\,I(s) = \frac{4}{s}\] \[(s+2)\,I(s) = \frac{4}{s} + 1 = \frac{4+s}{s}\] \[I(s) = \frac{s+4}{s(s+2)}\]DES :
\[I(s) = \frac{A}{s} + \frac{B}{s+2}\] \[A = \left.\frac{s+4}{s+2}\right|_{s=0} = \frac{4}{2} = 2 \qquad B = \left.\frac{s+4}{s}\right|_{s=-2} = \frac{2}{-2} = -1\] \[I(s) = \frac{2}{s} - \frac{1}{s+2}\]Solution :
\[\boxed{i(t) = \left(2 - e^{-2t}\right)u(t) \text{ [A]}}\]Valeur initiale : \(i(0^+) = 2 - 1 = 1\) A ✓ (continuité du courant dans l'inductance)
Valeur finale : \(i(\infty) = 2\) A = \(E/R = 4/2\) ✓
La réponse indicielle d'un système est sa réponse à un échelon unité en entrée, le système étant au repos pour \(t < 0\). Dans le domaine de Laplace :
\[ S(s) = H(s) \cdot \frac{1}{s} \]Le gain statique est la valeur de la sortie en régime permanent pour une entrée échelon :
\[K = H(0) = \lim_{s \to 0} H(s) = \lim_{t\to+\infty} s(t)\]La réponse indicielle se décompose toujours en deux phases :
Un technicien en génie thermique programme le régulateur d'un four de séchage dans une menuiserie industrielle. Le four doit maintenir une température de 80 °C pour sécher des panneaux de bois. La consigne passe en échelon de 20 °C à 80 °C (\(\Delta T = 60\) °C).
Le modèle thermique du four (mesuré expérimentalement) est un système du 2e ordre : \(\omega_n = 0{,}2\) rad/s, \(\xi = 0{,}6\), \(K = 1\).
1. Fonction de transfert :
\[ H(s) = \frac{(0{,}2)^2}{s^2 + 2(0{,}6)(0{,}2)s + (0{,}2)^2} = \frac{0{,}04}{s^2 + 0{,}24s + 0{,}04} \]2. Pôles : discriminant \(\Delta = (0{,}24)^2 - 4(0{,}04) = 0{,}0576 - 0{,}16 = -0{,}1024 < 0\)
\[ p_{1,2} = \frac{-0{,}24 \pm j\sqrt{0{,}1024}}{2} = -0{,}12 \pm j\,0{,}16 \]Parties réelles : \(-0{,}12 < 0\) → STABLE
3. Dépassement relatif :
\[ D\% = 100\,e^{-\pi \times 0{,}6/\sqrt{1-0{,}36}} = 100\,e^{-\pi \times 0{,}6/0{,}8} = 100\,e^{-2{,}356} \approx 9{,}5\,\% \]4. Conséquence pratique :
Température maximale atteinte : \(T_{max} = 80 + 0{,}095 \times 60 \approx 85{,}7\) °C. Le technicien doit vérifier que les panneaux supportent brièvement 86 °C sans dommage. Si ce n'est pas acceptable, il augmentera \(\xi\) (vers 0,7–0,8) pour réduire le dépassement à moins de 5 %.
5. Pulsation amortie :
\[ \omega_d = \omega_n\sqrt{1-\xi^2} = 0{,}2\sqrt{1-0{,}36} = 0{,}2 \times 0{,}8 = 0{,}16\text{ rad/s} \]Pseudo-période d'oscillation : \(T_d = 2\pi/\omega_d \approx 39{,}3\) s.
Un variateur de vitesse pilote un moteur d'entraînement de convoyeur. La fonction de transfert vitesse/tension de commande est : \[H(s) = \frac{120}{s^2 + 14s + 120}\]
1. Identification :
\(\omega_n^2 = 120 \Rightarrow \omega_n = \sqrt{120} \approx 10{,}95\) rad/s
\(2\xi\omega_n = 14 \Rightarrow \xi = 14/(2 \times 10{,}95) \approx 0{,}639\)
\(K = H(0) = 120/120 = 1\)
\(0 < \xi \approx 0{,}64 < 1\) → régime sous-amorti (dépassement attendu).
2. Stabilité :
\(\Delta = 14^2 - 4 \times 120 = 196 - 480 = -284 < 0\)
Pôles complexes : \(p_{1,2} = -7 \pm j\sqrt{71}\), avec \(\text{Re}(p) = -7 < 0\) → STABLE
3. Dépassement :
\[D\% = 100\,e^{-\pi \times 0{,}639/\sqrt{1-0{,}639^2}} = 100\,e^{-\pi \times 0{,}639/0{,}769} = 100\,e^{-2{,}612} \approx 7{,}4\,\%\]4. Vitesse maximale :
\[V_{max} = 1\,500 \times (1 + 0{,}074) \approx 1\,611 \text{ tr/min}\]La vitesse dépassera brièvement 1 611 tr/min avant de se stabiliser à 1 500 tr/min.
Un procédé industriel a pour fonction de transfert \(G(s) = \dfrac{4}{s+2}\). On le place en boucle fermée avec un correcteur proportionnel \(C(s) = K_c\).
1. Fonction de transfert en boucle fermée :
\[T(s) = \frac{C(s)G(s)}{1+C(s)G(s)} = \frac{4K_c/(s+2)}{1+4K_c/(s+2)} = \frac{4K_c}{s+2+4K_c}\]Mise sous forme canonique du 1er ordre :
\[T(s) = \frac{4K_c/(2+4K_c)}{s/(2+4K_c) + 1}\]Donc \(\tau_{BF} = \dfrac{1}{2+4K_c}\) et \(K_{BF} = \dfrac{4K_c}{2+4K_c}\).
2. Calcul de \(K_c\) pour \(\tau_{BF} = 0{,}1\) s :
\[\frac{1}{2+4K_c} = 0{,}1 \Rightarrow 2+4K_c = 10 \Rightarrow 4K_c = 8 \Rightarrow K_c = 2\]3. Gain statique et erreur :
\[K_{BF} = \frac{4 \times 2}{2 + 4 \times 2} = \frac{8}{10} = 0{,}8\]Erreur statique : \(e_\infty = 1 - K_{BF} = 1 - 0{,}8 = 20\,\%\). Pour annuler cette erreur, il faudrait un correcteur intégral (PI ou PID).
Définition
\[\mathcal{L}\{f(t)\} = \int_0^{+\infty}\!\! f(t)\,e^{-st}\,dt\]Dérivation (CI nulles)
\[\mathcal{L}\bigl\{f^{(n)}(t)\bigr\} = s^n F(s)\]Intégration
\[\mathcal{L}\!\left\{\int_0^t\! f\right\} = \frac{F(s)}{s}\]Valeur finale
\[\lim_{t\to\infty} f(t) = \lim_{s\to 0} s\,F(s)\]Fonction de transfert
\[H(s) = \frac{S(s)}{E(s)}\]Stabilité
Tous les pôles : \(\operatorname{Re}(p_i) < 0\)
Système du 1er ordre
\[H(s) = \frac{K}{1+\tau s}\] \[s(t) = K(1-e^{-t/\tau})\,u(t)\]Système du 2e ordre
\[H(s) = \frac{K\omega_n^2}{s^2+2\xi\omega_n s+\omega_n^2}\] \[D\% = 100\,e^{-\pi\xi/\sqrt{1-\xi^2}}\]| \(f(t)\) pour \(t \geq 0\) | \(F(s)\) |
|---|---|
| \(\delta(t)\) | \(1\) |
| \(u(t)\) | \(1/s\) |
| \(e^{-at}u(t)\) | \(1/(s+a)\) |
| \(\sin(\omega_0 t)\,u(t)\) | \(\omega_0/(s^2+\omega_0^2)\) |
| \(\cos(\omega_0 t)\,u(t)\) | \(s/(s^2+\omega_0^2)\) |
| \(e^{-at}\sin(\omega_0 t)\,u(t)\) | \(\omega_0/[(s+a)^2+\omega_0^2]\) |
| \(e^{-at}\cos(\omega_0 t)\,u(t)\) | \((s+a)/[(s+a)^2+\omega_0^2]\) |