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Interrogation — Ch07 : Transformée de Laplace

BTS | Mathématiques | Durée : 40 min | /20

Dernière mise à jour : 21 juin 2026

Nom : _____ Prénom : _____ Date : _____

Exercice 1 — Transformées usuelles et linéarité (4 pts)

À l'aide du tableau des transformées usuelles et de la linéarité, déterminer la transformée de Laplace des fonctions causales suivantes (\(t \ge 0\)).

  1. \(f(t) = e^{-4t}\) (1 pt)
  2. \(g(t) = \sin(3t)\) (1 pt)
  3. \(h(t) = 2e^{-t} - 5\cos(4t)\) (2 pts)

Exercice 2 — Théorèmes de la valeur initiale et finale (4 pts)

Soit \(F(s) = \dfrac{4}{s(s+2)}\).

  1. Calculer la valeur initiale \(f(0^+)\). (2 pts)
  2. Le système est-il stable ? Calculer la valeur finale \(\displaystyle\lim_{t\to+\infty} f(t)\). (2 pts)

Exercice 3 — Pôles et stabilité (4 pts)

On considère deux fonctions de transfert :

\(H_1(s) = \dfrac{s+1}{s^2 + 5s + 6}\)  et  \(H_2(s) = \dfrac{1}{s^2 - 3s + 2}\).

  1. Déterminer les pôles de \(H_1\) et conclure sur sa stabilité. (2 pts)
  2. Déterminer les pôles de \(H_2\) et conclure sur sa stabilité. (2 pts)

Exercice 4 — Décomposition en éléments simples (4 pts)

Décomposer en éléments simples \(F(s) = \dfrac{6}{s(s+2)(s+3)}\), puis donner \(f(t) = \mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}\).

Exercice 5 — Résolution d'une équation différentielle (4 pts)

Un circuit RC série vérifie \(\tau\,\dfrac{du_C}{dt} + u_C(t) = E_0\,u(t)\) avec \(\tau = 0{,}1\) s, \(E_0 = 10\) V et \(u_C(0^-) = 0\).

  1. Appliquer la transformée de Laplace et exprimer \(U_C(s)\). (2 pts)
  2. Décomposer puis déterminer \(u_C(t)\) pour \(t \ge 0\). (2 pts)

Correction

Exercice 1 (4 pts)

a) \(\mathcal{L}\{e^{-4t}\} = \dfrac{1}{s+4}\) (avec \(a = 4\)). (1 pt)

b) \(\mathcal{L}\{\sin(3t)\} = \dfrac{3}{s^2 + 9}\) (avec \(\omega_0 = 3\)). (1 pt)

c) Par linéarité : \(\mathcal{L}\{2e^{-t} - 5\cos(4t)\} = \dfrac{2}{s+1} - \dfrac{5s}{s^2 + 16}\). (2 pts)

Exercice 2 (4 pts)

a) Valeur initiale : \(f(0^+) = \displaystyle\lim_{s\to+\infty} s\,F(s) = \lim_{s\to+\infty} s \cdot \dfrac{4}{s(s+2)} = \lim_{s\to+\infty} \dfrac{4}{s+2} = 0\). (2 pts)

b) Pôle de \(sF(s) = \dfrac{4}{s+2}\) : \(s = -2\), partie réelle négative → limite finie, théorème applicable. \[\lim_{t\to+\infty} f(t) = \lim_{s\to 0} s\cdot\frac{4}{s(s+2)} = \lim_{s\to 0}\frac{4}{s+2} = \frac{4}{2} = 2\] (2 pts)

Exercice 3 (4 pts)

a) \(s^2 + 5s + 6 = (s+2)(s+3)\) → pôles \(p_1 = -2\) et \(p_2 = -3\). Les deux ont une partie réelle strictement négative → STABLE. (2 pts)

b) \(s^2 - 3s + 2 = (s-1)(s-2)\) → pôles \(p_1 = 1\) et \(p_2 = 2\). Au moins un pôle a une partie réelle strictement positive → INSTABLE. (2 pts)

Exercice 4 (4 pts)

On pose \(F(s) = \dfrac{A}{s} + \dfrac{B}{s+2} + \dfrac{C}{s+3}\).

\(A = \left.\dfrac{6}{(s+2)(s+3)}\right|_{s=0} = \dfrac{6}{2 \times 3} = 1\)

\(B = \left.\dfrac{6}{s(s+3)}\right|_{s=-2} = \dfrac{6}{(-2)(1)} = -3\)

\(C = \left.\dfrac{6}{s(s+2)}\right|_{s=-3} = \dfrac{6}{(-3)(-1)} = 2\)

Donc \(F(s) = \dfrac{1}{s} - \dfrac{3}{s+2} + \dfrac{2}{s+3}\), d'où : \[f(t) = \left(1 - 3e^{-2t} + 2e^{-3t}\right)u(t)\]

Exercice 5 (4 pts)

a) Avec \(u_C(0^-) = 0\) et \(\mathcal{L}\{u(t)\} = 1/s\) : \[\tau\,s\,U_C(s) + U_C(s) = \frac{E_0}{s} \;\Rightarrow\; (\tau s + 1)\,U_C(s) = \frac{E_0}{s} \;\Rightarrow\; U_C(s) = \frac{E_0}{s(\tau s + 1)}\] Avec \(\tau = 0{,}1\) et \(E_0 = 10\) : \(U_C(s) = \dfrac{10}{s(0{,}1\,s + 1)} = \dfrac{100}{s(s+10)}\). (2 pts)

b) Décomposition : \(U_C(s) = \dfrac{A}{s} + \dfrac{B}{s+10}\) avec \(A = \left.\dfrac{100}{s+10}\right|_{s=0} = 10\) et \(B = \left.\dfrac{100}{s}\right|_{s=-10} = -10\). \[U_C(s) = 10\left(\frac{1}{s} - \frac{1}{s+10}\right) \;\Rightarrow\; u_C(t) = 10\left(1 - e^{-10t}\right)u(t) \text{ [V]}\] (2 pts)

Total : 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 20 points.