← Retour au sommaire
L'essentiel :
- La transformée de Laplace transforme une équation différentielle (domaine temporel) en équation algébrique (domaine \(s\)).
- Dériver revient à multiplier par \(s\) ; intégrer à diviser par \(s\) (à conditions initiales nulles).
- Pour revenir au temps : décomposition en éléments simples puis lecture du tableau des transformées.
- Un système est stable si et seulement si tous ses pôles ont une partie réelle strictement négative.
Définitions clés
Définition
Transformée de Laplace d'une fonction causale : \(\mathcal{L}\{f(t)\}=F(s)=\displaystyle\int_0^{+\infty}f(t)\,e^{-st}\,\mathrm{d}t\), avec \(s=\sigma+j\omega\).
Définition
Fonction de transfert : \(H(s)=\dfrac{S(s)}{E(s)}\) (sortie/entrée, conditions initiales nulles). On a \(S(s)=H(s)\,E(s)\).
Définition
Pôles / zéros : les pôles annulent le dénominateur de \(H(s)\), les zéros le numérateur.
Tableau des transformées usuelles
| \(f(t)\) (pour \(t\geq 0\)) | \(F(s)\) |
|---|
| \(\delta(t)\) | \(1\) |
| \(u(t)=1\) | \(\dfrac{1}{s}\) |
| \(t\) | \(\dfrac{1}{s^2}\) |
| \(t^n\) | \(\dfrac{n!}{s^{n+1}}\) |
| \(e^{-at}\) | \(\dfrac{1}{s+a}\) |
| \(t\,e^{-at}\) | \(\dfrac{1}{(s+a)^2}\) |
| \(\cos(\omega_0 t)\) | \(\dfrac{s}{s^2+\omega_0^2}\) |
| \(\sin(\omega_0 t)\) | \(\dfrac{\omega_0}{s^2+\omega_0^2}\) |
| \(e^{-at}\cos(\omega_0 t)\) | \(\dfrac{s+a}{(s+a)^2+\omega_0^2}\) |
| \(e^{-at}\sin(\omega_0 t)\) | \(\dfrac{\omega_0}{(s+a)^2+\omega_0^2}\) |
Propriétés à connaître
Linéarité et décalages
\[\mathcal{L}\{\alpha f+\beta g\}=\alpha F(s)+\beta G(s)\]
\[e^{-at}f(t)\;\longleftrightarrow\;F(s+a) \qquad f(t-T)u(t-T)\;\longleftrightarrow\;e^{-Ts}F(s)\]
Dérivation et intégration
\[\mathcal{L}\{f'(t)\}=sF(s)-f(0^-) \qquad \mathcal{L}\{f''(t)\}=s^2F(s)-sf(0^-)-f'(0^-)\]
\[\text{CI nulles : }\mathcal{L}\{f^{(n)}\}=s^nF(s) \qquad \mathcal{L}\!\left\{\int_0^t f\right\}=\frac{F(s)}{s}\]
Valeurs initiale et finale
\[f(0^+)=\lim_{s\to+\infty}sF(s) \qquad \lim_{t\to+\infty}f(t)=\lim_{s\to 0}sF(s)\;(\text{si stable})\]
Systèmes types
\[\text{1er ordre : }H(s)=\frac{K}{1+\tau s}\;\Rightarrow\;s(t)=K(1-e^{-t/\tau})\,u(t)\]
\[\text{2e ordre : }H(s)=\frac{K\omega_n^2}{s^2+2\xi\omega_n s+\omega_n^2}\]
Stabilité et régimes du 2e ordre
Propriété — Stabilité
Système stable \(\iff\) tous les pôles ont \(\operatorname{Re}(p_i)\lt 0\) (demi-plan gauche). Un pôle à \(\operatorname{Re}(p)=0\) donne des oscillations entretenues ; \(\operatorname{Re}(p)\gt 0\) rend instable.
Propriété — Régimes selon \(\xi\)
- \(\xi\gt 1\) : sur-amorti (2 pôles réels, pas de dépassement).
- \(\xi=1\) : critique (pôle double, le plus rapide sans oscillation).
- \(0\lt\xi\lt 1\) : sous-amorti (pôles complexes, dépassement et oscillations).
- \(\xi=0\) : non amorti (oscillations permanentes).
Pulsation amortie \(\omega_d=\omega_n\sqrt{1-\xi^2}\) ; dépassement \(D\%=100\,e^{-\pi\xi/\sqrt{1-\xi^2}}\).
Méthodes
Méthode
Résoudre une équation différentielle par Laplace
- Appliquer \(\mathcal{L}\) membre à membre (propriété de dérivation).
- Substituer les conditions initiales (souvent nulles).
- Isoler \(S(s)\) (équation algébrique).
- Décomposer \(S(s)\) en éléments simples.
- Lire le tableau pour obtenir \(s(t)=\mathcal{L}^{-1}\{S(s)\}\).
Méthode
Décomposition en éléments simples
- Pôle réel simple \(p_i\) : terme \(\dfrac{A_i}{s-p_i}\), avec \(A_i=\lim_{s\to p_i}(s-p_i)F(s)\).
- Pôle double : \(\dfrac{A_1}{s-p_i}+\dfrac{A_2}{(s-p_i)^2}\).
- Pôles complexes : forme \(\dfrac{As+B}{(s+a)^2+\omega_0^2}\) → \(e^{-at}[\cos,\sin]\).
Erreurs fréquentes
Attention
❌ Oublier les conditions initiales dans \(\mathcal{L}\{f'\}=sF(s)-f(0^-)\).
✅ Le terme \(-f(0^-)\) ne disparaît que si la CI est nulle.
❌ Appliquer le théorème de la valeur finale à un système instable.
✅ Vérifier d'abord que tous les pôles de \(sF(s)\) ont une partie réelle négative.
❌ Confondre pôle et zéro.
✅ Les pôles (dénominateur) commandent la stabilité ; les zéros (numérateur) non.
❌ Décomposer une fraction dont le degré du numérateur \(\geq\) celui du dénominateur.
✅ Effectuer d'abord la division euclidienne pour avoir \(\deg\text{num}\lt\deg\text{den}\).