Devoir Surveillé – Chapitre 07

Transformée de Laplace | BTS | Mathématiques

Dernière mise à jour : 21 octobre 2026

Nom : Prénom : Classe : Date : Note : / 20

🕑 Durée : 1 h 15

🧮 Calculatrice : autorisée

✍ Barème : 20 points

📄 Formulaire : table des transformées fournie ci-dessous

Table des transformées usuelles : \(u(t)\to\dfrac{1}{s}\) ; \(t^n u(t)\to\dfrac{n!}{s^{n+1}}\) ; \(e^{-at}u(t)\to\dfrac{1}{s+a}\) ; \(\sin(\omega_0t)u(t)\to\dfrac{\omega_0}{s^2+\omega_0^2}\) ; \(\cos(\omega_0t)u(t)\to\dfrac{s}{s^2+\omega_0^2}\) ; \(e^{-at}\sin(\omega_0t)u(t)\to\dfrac{\omega_0}{(s+a)^2+\omega_0^2}\) ; \(e^{-at}\cos(\omega_0t)u(t)\to\dfrac{s+a}{(s+a)^2+\omega_0^2}\). Linéarité : \(\mathcal{L}\{\alpha f+\beta g\}=\alpha F(s)+\beta G(s)\). Retard : \(f(t-T)u(t-T)\overset{\mathcal{L}}{\longleftrightarrow}e^{-Ts}F(s)\). Dérivation (C.I. nulles) : \(\mathcal{L}\{f^{(n)}\}=s^nF(s)\). Valeur initiale : \(f(0^+)=\lim_{s\to+\infty}sF(s)\). Valeur finale : \(\lim_{t\to+\infty}f(t)=\lim_{s\to0}sF(s)\) (si stable).

Exercice 1 — Transformées et propriétés fondamentales 6 points

Un automate industriel élabore différents signaux de commande.

1. Calculer, par linéarité, la transformée de Laplace de \(f(t) = 3e^{-2t} - 4\sin(5t)\) pour \(t\geq0\). (1,5 pt)

2. Une consigne en échelon est retardée de 4 s : \(g(t) = u(t-4)\). Donner \(G(s)\) à l'aide du théorème du retard. (1,5 pt)

3. Un signal a pour transformée \(H(s) = \dfrac{6}{s+7}\). Déterminer \(h(t)\) par lecture du tableau. (1,5 pt)

4. Une électrovanne reçoit une impulsion de commande de durée 5 s, modélisée par le créneau \(k(t) = u(t) - u(t-5)\). Calculer \(K(s)\). (1,5 pt)

1. \(\mathcal{L}\{3e^{-2t}\} = \dfrac{3}{s+2}\) et \(\mathcal{L}\{4\sin(5t)\} = \dfrac{4\times5}{s^2+25} = \dfrac{20}{s^2+25}\), d'où :

\[F(s) = \frac{3}{s+2} - \frac{20}{s^2+25}\]

2. \(u(t)\overset{\mathcal{L}}{\longleftrightarrow}\dfrac{1}{s}\). Par le théorème du retard (\(T=4\)) :

\[G(s) = \frac{e^{-4s}}{s}\]

3. Par lecture directe du tableau (\(e^{-at}u(t)\to\dfrac{1}{s+a}\), avec \(a=7\)) :

\[h(t) = 6\,e^{-7t}\,u(t)\]

4. Par linéarité : \(K(s) = \mathcal{L}\{u(t)\} - \mathcal{L}\{u(t-5)\} = \dfrac{1}{s} - \dfrac{e^{-5s}}{s}\), soit :

\[K(s) = \frac{1-e^{-5s}}{s}\]

Exercice 2 — Fonction de transfert, valeurs et stabilité 5 points

Un bureau d'études caractérise un capteur de position par la fonction de transfert :

\[H(s) = \frac{s+1}{s^2+6s+8}\]

1. Factoriser le dénominateur et donner les pôles et le zéro de \(H(s)\). (1,5 pt)

2. Le système est-il stable ? Justifier. (1,5 pt)

3. On applique un échelon unité en entrée (\(E(s) = 1/s\)). Calculer la sortie \(S(s) = H(s)/s\), puis, sans calculer l'inverse complet, déterminer \(s(0^+)\) et \(s(+\infty)\) à l'aide des théorèmes des valeurs. Interpréter \(s(+\infty)\) en termes de gain statique. (2 pts)

1. \(s^2+6s+8 = (s+2)(s+4)\), donc pôles \(p_1=-2\), \(p_2=-4\), et zéro \(z_1=-1\).

2. \(\operatorname{Re}(p_1)=-2<0\) et \(\operatorname{Re}(p_2)=-4<0\) : les deux pôles sont dans le demi-plan gauche → système STABLE.

3. \(S(s) = \dfrac{s+1}{s(s+2)(s+4)}\).

Valeur initiale : \(s(0^+) = \displaystyle\lim_{s\to+\infty} s\cdot\frac{s+1}{s(s+2)(s+4)} = \lim_{s\to+\infty}\frac{s+1}{(s+2)(s+4)} = 0\) (degré du numérateur inférieur à celui du dénominateur).

Valeur finale (système stable, le théorème s'applique) :

\[s(+\infty) = \lim_{s\to0}\frac{s+1}{(s+2)(s+4)} = \frac{1}{2\times4} = \frac{1}{8} = 0{,}125\]

On retrouve \(s(+\infty) = H(0)\) : c'est exactement le gain statique du système, valeur de la sortie en régime permanent pour une entrée échelon unité.

Exercice 3 — Résolution d'une équation différentielle 5 points

Un capteur de courant délivre un signal \(i(t)\) vérifiant l'équation différentielle :

\[i'(t) + 3\,i(t) = 6\,u(t) \qquad \text{avec } i(0^-) = 1\ \text{A (courant résiduel)}\]

1. En tenant compte de la condition initiale non nulle, appliquer la transformée de Laplace et exprimer \(I(s)\). (1,5 pt)

2. Décomposer \(I(s)\) en éléments simples. (2 pts)

3. En déduire \(i(t)\), puis vérifier la valeur initiale et la valeur finale à l'aide des théorèmes correspondants. (1,5 pt)

1. \(\mathcal{L}\{i'(t)\} = sI(s) - i(0^-) = sI(s) - 1\), donc :

\[sI(s) - 1 + 3I(s) = \frac{6}{s} \;\Rightarrow\; (s+3)I(s) = \frac{6}{s}+1 = \frac{s+6}{s}\] \[I(s) = \frac{s+6}{s(s+3)}\]

2. \(I(s) = \dfrac{A}{s}+\dfrac{B}{s+3}\) avec :

\[A = \left.\frac{s+6}{s+3}\right|_{s=0} = \frac{6}{3} = 2 \qquad B = \left.\frac{s+6}{s}\right|_{s=-3} = \frac{3}{-3} = -1\]

Donc \(I(s) = \dfrac{2}{s} - \dfrac{1}{s+3}\).

\[\boxed{i(t) = 2 - e^{-3t} \qquad (t\geq0)}\]

Valeur initiale : \(i(0^+) = \displaystyle\lim_{s\to+\infty}s\cdot\frac{s+6}{s(s+3)} = \lim_{s\to+\infty}\frac{s+6}{s+3} = 1\), ce qui correspond bien à \(i(0^-)=1\) A (pas de discontinuité). ✓

Valeur finale : \(i(+\infty) = \displaystyle\lim_{s\to0}\frac{s+6}{s+3} = \frac{6}{3} = 2\) A. ✓

Exercice 4 — Système du 2e ordre 4 points

Un vérin électrique de positionnement a pour fonction de transfert :

\[H(s) = \frac{9}{s^2+3s+9}\]

1. Identifier le gain statique \(K\), la pulsation propre \(\omega_n\) et le facteur d'amortissement \(\xi\). Préciser le régime. (1 pt)

2. Calculer les pôles de \(H(s)\) et conclure sur la stabilité. (1 pt)

3. Pour une consigne de déplacement en échelon de \(8\) mm, calculer le dépassement \(D\%\) puis la position maximale atteinte par le vérin. (2 pts)

1. Par identification à \(H(s) = \dfrac{K\omega_n^2}{s^2+2\xi\omega_ns+\omega_n^2}\) : \(\omega_n^2=9 \Rightarrow \omega_n=3\) rad/s ; \(K = H(0) = 9/9 = 1\) ; \(2\xi\omega_n = 3 \Rightarrow \xi = \dfrac{3}{6} = 0{,}5\). Comme \(0<\xi<1\), le régime est sous-amorti.

2. \(\Delta = 3^2-4\times9 = 9-36 = -27 < 0\) :

\[p_{1,2} = \frac{-3\pm j\sqrt{27}}{2} = -1{,}5\pm j\,2{,}598\]

\(\operatorname{Re}(p) = -1{,}5 < 0\) → système STABLE.

\[D\% = 100\,e^{-\pi\times0{,}5/\sqrt{1-0{,}5^2}} = 100\,e^{-\pi\times0{,}5/0{,}866} \approx 100\,e^{-1{,}814} \approx 16{,}3\,\%\]

Position maximale : \(y_{max} = K\times E_0\times(1+D\%) = 1\times8\times1{,}163 \approx 9{,}30\) mm.