Ch06 – Séries de Fourier – QCM

Question 1

Un signal périodique a pour période \(T = 20\) ms. Quelle est sa pulsation fondamentale \(\omega\) ?

\(\omega = 50\) rad/s \(\omega = 2\pi/0{,}02 \approx 314\) rad/s \(\omega = 20\) rad/s \(\omega = \pi/0{,}02 \approx 157\) rad/s

Question 2

Dans le développement en série de Fourier, à quoi correspond physiquement le coefficient \(a_0\) ?

À l'amplitude du fondamental À la fréquence du signal À la valeur moyenne (composante continue) du signal À la valeur efficace du signal

Question 3

Quelle est la formule correcte du coefficient \(b_n\) pour \(n \ge 1\) ?

\(\displaystyle b_n = \frac{2}{T}\int_0^T f(t)\sin(n\omega t)\,\mathrm{d}t\) \(\displaystyle b_n = \frac{1}{T}\int_0^T f(t)\sin(n\omega t)\,\mathrm{d}t\) \(\displaystyle b_n = \frac{2}{T}\int_0^T f(t)\cos(n\omega t)\,\mathrm{d}t\) \(\displaystyle b_n = \frac{2}{T}\int_0^T f(t)\,\mathrm{d}t\)

Question 4

Un signal vérifie \(f(-t) = f(t)\) (signal pair). Que peut-on en déduire pour ses coefficients de Fourier ?

Tous les \(a_n = 0\) Tous les \(b_n = 0\) : le développement ne contient que des cosinus \(a_0 = 0\) obligatoirement Seules les harmoniques paires sont présentes

Question 5

Un signal vérifie \(f(-t) = -f(t)\) (signal impair). Quelle affirmation est correcte ?

Le développement ne contient que des cosinus \(a_0 \neq 0\) et tous les \(b_n = 0\) Seules les harmoniques paires sont présentes \(a_0 = 0\), tous les \(a_n = 0\) : le développement ne contient que des sinus

Question 6

Un signal possède une symétrie demi-onde : \(f(t + T/2) = -f(t)\). Quelles harmoniques sont présentes dans son spectre ?

Toutes les harmoniques (paires et impaires) Seulement les harmoniques paires \(n = 2, 4, 6, \ldots\) Seulement les harmoniques impaires \(n = 1, 3, 5, \ldots\) Seulement le fondamental

Question 7

Une harmonique de rang \(n\) a pour coefficients \(a_n = 3\) et \(b_n = 4\). Quelle est son amplitude \(C_n\) ?

\(C_n = 7\) \(C_n = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5\) \(C_n = 3{,}5\) \(C_n = 12\)

Question 8

La série de Fourier d'un signal créneau \(\pm E\) est \(\dfrac{4E}{\pi}\sum_{n\text{ imp.}}\dfrac{1}{n}\sin(n\omega t)\). Comment décroît l'amplitude des harmoniques ?

En \(1/n\) En \(1/n^2\) En \(n\) (croissance) Elles sont toutes égales

Question 9

Pour le signal créneau symétrique, le terme fondamental (rang 1) de la série \(\dfrac{4E}{\pi}\sum\dfrac{1}{n}\sin(n\omega t)\) a pour amplitude :

\(E\) \(\dfrac{E}{\pi}\) \(\dfrac{2E}{\pi}\) \(\dfrac{4E}{\pi}\)

Question 10

D'après le théorème de Parseval, la valeur efficace s'écrit \(F_{\text{eff}} = \sqrt{a_0^2 + \tfrac{1}{2}\sum(a_n^2+b_n^2)}\). Un signal a uniquement \(a_0 = 0\) et un fondamental d'amplitude \(C_1 = 10\). Quelle est sa valeur efficace ?

\(10\) \(\dfrac{10}{\sqrt{2}} \approx 7{,}07\) \(5\) \(100\)

Question 11

Un courant présente un fondamental \(C_1 = 40\) A et des harmoniques \(C_3 = 12\) A, \(C_5 = 8\) A. Quel est (approximativement) le taux de distorsion harmonique THD \(= \dfrac{\sqrt{C_3^2 + C_5^2}}{C_1}\) (en se limitant à ces deux harmoniques) ?

THD \(\approx 50\,\%\) THD \(\approx 20\,\%\) THD \(\approx 36\,\%\) THD \(\approx 5\,\%\)

Question 12

En un point \(t_0\) de discontinuité d'un signal, vers quelle valeur converge la série de Fourier ?

Vers la demi-somme des limites à gauche et à droite : \(\dfrac{f(t_0^-)+f(t_0^+)}{2}\) Vers \(f(t_0^+)\) uniquement Vers \(0\) systématiquement La série diverge en ce point