Chapitre 6 – Séries de Fourier

Exemple — Réseau électrique

Le réseau électrique français a une fréquence \(f = 50\) Hz. Donc :

• Période : \(T = \dfrac{1}{50} = 0{,}02\) s \(= 20\) ms
• Pulsation : \(\omega = 2\pi \times 50 \approx 314{,}16\) rad/s

La 2e harmonique a une fréquence \(2f = 100\) Hz, la 3e harmonique a \(3f = 150\) Hz, etc.

Exemple — Signal pair

Un signal créneau symétrique centré sur l'axe des ordonnées (\(f(t) = +E\) sur \([-T/4, T/4]\) et \(-E\) ailleurs) est impair. En revanche, un signal triangulaire centré est pair : son développement ne contient que des cosinus.

Exemple — Signal créneau symétrique

Le signal créneau de valeur \(+E\) sur \([0, T/2[\) et \(-E\) sur \([T/2, T[\) vérifie \(f(t + T/2) = -f(t)\). Il présente donc une symétrie demi-onde. Son développement ne contient que les harmoniques impaires \(n = 1, 3, 5, \ldots\)

Exemple complet — Signal créneau symétrique

Définition : On considère le signal créneau de période \(T\), de pulsation \(\omega = 2\pi/T\) et d'amplitude \(E\) :

\[f(t) = \begin{cases} +E & \text{si } 0 < t < T/2 \\ -E & \text{si } T/2 < t < T \end{cases}\]

Symétries : Le signal est impair (si on le centre) et possède une symétrie demi-onde. Donc : \(a_0 = 0\), \(a_n = 0\) pour tout \(n\), et \(b_n = 0\) pour \(n\) pair.

Calcul de \(a_0\) :

\[a_0 = \frac{1}{T}\int_0^T f(t)\,\mathrm{d}t = \frac{1}{T}\left[\int_0^{T/2} E\,\mathrm{d}t + \int_{T/2}^T (-E)\,\mathrm{d}t\right] = \frac{1}{T}\left[E\cdot\frac{T}{2} - E\cdot\frac{T}{2}\right] = 0\]

Calcul de \(b_n\) (harmoniques impaires seulement) :

\[b_n = \frac{2}{T}\int_0^T f(t)\sin(n\omega t)\,\mathrm{d}t\] \[= \frac{2}{T}\left[\int_0^{T/2} E\sin(n\omega t)\,\mathrm{d}t + \int_{T/2}^{T} (-E)\sin(n\omega t)\,\mathrm{d}t\right]\] \[= \frac{2E}{T}\left[\left[-\frac{\cos(n\omega t)}{n\omega}\right]_0^{T/2} + \left[\frac{\cos(n\omega t)}{n\omega}\right]_{T/2}^{T}\right]\] \[= \frac{2E}{T}\cdot\frac{1}{n\omega}\left[-\cos(n\pi) + 1 + \cos(2n\pi) - \cos(n\pi)\right]\] Comme \(\omega T = 2\pi\), on a \(\dfrac{2E}{T \cdot n\omega} = \dfrac{2E}{T \cdot n \cdot 2\pi/T} = \dfrac{E}{n\pi}\). \[b_n = \frac{E}{n\pi}\bigl[1 - \cos(n\pi) + 1 - \cos(n\pi)\bigr] = \frac{2E}{n\pi}\bigl[1 - (-1)^n\bigr]\] Pour \(n\) impair : \((-1)^n = -1\), donc \(b_n = \dfrac{4E}{n\pi}\). Pour \(n\) pair : \((-1)^n = +1\), donc \(b_n = 0\).  ✓ (conforme à la symétrie demi-onde)

Exemple complet — Signal triangulaire

Définition : Signal triangulaire de période \(T\), d'amplitude \(E\), pair :

\[f(t) = \begin{cases} \dfrac{4E}{T}t & \text{si } 0 \leq t \leq T/4 \\[6pt] E - \dfrac{4E}{T}(t - T/4) & \text{si } T/4 \leq t \leq 3T/4 \\[6pt] -E + \dfrac{4E}{T}(t - 3T/4) & \text{si } 3T/4 \leq t \leq T \end{cases}\]

Symétries : Signal pair → \(b_n = 0\). Symétrie demi-onde → seules les harmoniques impaires sont présentes.

Calcul de \(a_n\) pour \(n\) impair : En exploitant la parité :

\[a_n = \frac{4}{T}\int_0^{T/2} f(t)\cos(n\omega t)\,\mathrm{d}t\] Après deux intégrations par parties (on utilise \(\int t\cos(n\omega t)\,\mathrm{d}t = \dfrac{t\sin(n\omega t)}{n\omega} + \dfrac{\cos(n\omega t)}{n^2\omega^2}\)) : \[a_n = \frac{8E}{n^2\pi^2}(-1)^{(n-1)/2} \quad \text{pour } n \text{ impair}\] Explicitement : \(a_1 = \dfrac{8E}{\pi^2}\), \(a_3 = -\dfrac{8E}{9\pi^2}\), \(a_5 = \dfrac{8E}{25\pi^2}\), \(\ldots\)

Exemple complet — Signal en dents de scie

Définition : Signal en dents de scie de période \(T\) et d'amplitude \(E\) :

\[f(t) = \frac{E}{T}\,t \quad \text{pour } t \in [0, T[\]

Symétries : Ce signal n'est ni pair ni impair en général. Il n'y a pas de symétrie demi-onde si \(E \neq 0\). On doit calculer tous les coefficients.

Calcul de \(a_0\) :

\[a_0 = \frac{1}{T}\int_0^T \frac{E}{T}t\,\mathrm{d}t = \frac{E}{T^2}\left[\frac{t^2}{2}\right]_0^T = \frac{E}{2}\]

Calcul de \(a_n\) :

\[a_n = \frac{2}{T}\int_0^T \frac{E}{T}t\cos(n\omega t)\,\mathrm{d}t\] Intégration par parties avec \(u = t\), \(v' = \cos(n\omega t)\) : \[a_n = \frac{2E}{T^2}\left[\frac{t\sin(n\omega t)}{n\omega} + \frac{\cos(n\omega t)}{n^2\omega^2}\right]_0^T\] Comme \(\sin(n\omega T) = \sin(2n\pi) = 0\) et \(\cos(n\omega T) = 1\) : \[a_n = \frac{2E}{T^2}\cdot\frac{T^2}{4\pi^2 n^2}(1 - 1) = 0\]

Calcul de \(b_n\) :

\[b_n = \frac{2}{T}\int_0^T \frac{E}{T}t\sin(n\omega t)\,\mathrm{d}t\] Intégration par parties avec \(u = t\), \(v' = \sin(n\omega t)\) : \[b_n = \frac{2E}{T^2}\left[-\frac{t\cos(n\omega t)}{n\omega} + \frac{\sin(n\omega t)}{n^2\omega^2}\right]_0^T = \frac{2E}{T^2}\left(-\frac{T}{n\omega}\right) = -\frac{E}{n\pi}\]

Ce signal contient toutes les harmoniques (paires et impaires), avec des amplitudes décroissant en \(1/n\).

Application — Valeur efficace du signal créneau

Pour le signal créneau de valeur \(\pm E\) (valeur efficace directement \(E\) par définition), Parseval donne :

\[E^2 = \frac{1}{T}\int_0^T E^2\,\mathrm{d}t = \frac{1}{2}\sum_{n \text{ impair}}\left(\frac{4E}{n\pi}\right)^2 = \frac{8E^2}{\pi^2}\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{1}{(2k+1)^2}\] On retrouve ainsi la célèbre identité de Leibniz-Euler : \[\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{1}{(2k+1)^2} = 1 + \frac{1}{9} + \frac{1}{25} + \frac{1}{49} + \cdots = \frac{\pi^2}{8}\]

Application numérique — Courant non sinusoïdal

Un courant de chauffage électrique a les harmoniques suivantes :

Harmonique \(n\)	Amplitude \(C_n\) (A)	\(C_n/\sqrt{2}\) (A)	\((C_n/\sqrt{2})^2\) (A²)
0 (DC)	\(C_0 = 0\)	—	0
1 (fondamental)	\(C_1 = 10\)	7,07	50
3	\(C_3 = 3{,}33\)	2,36	5,55
5	\(C_5 = 2\)	1,41	2
7	\(C_7 = 1{,}43\)	1,01	1,02

\[I_{\text{eff}}^2 = 0 + 50 + 5{,}55 + 2 + 1{,}02 + \cdots \approx 58{,}57 \text{ A}^2\] \[I_{\text{eff}} \approx 7{,}65 \text{ A}\]

La valeur efficace réelle est supérieure à la valeur efficace du seul fondamental (\(10/\sqrt{2} \approx 7{,}07\) A) à cause des harmoniques.