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Interrogation — Ch06 : Séries de Fourier

BTS | Mathématiques | Durée : 40 min | /20

Dernière mise à jour : 21 juin 2026

Nom : _____ Prénom : _____ Date : _____

Exercice 1 — Signal périodique : période, fréquence, pulsation (3 pts)

Un signal de tension est périodique de période \(T = 4\) ms.

  1. Calculer la fréquence fondamentale \(f\) (en Hz). (1 pt)
  2. Calculer la pulsation fondamentale \(\omega\) (en rad/s). (1 pt)
  3. Donner la fréquence de la 3e harmonique. (1 pt)

Exercice 2 — Symétries et nature des harmoniques (3 pts)

Pour chacun des signaux suivants, indiquer quels coefficients de Fourier sont nuls et justifier brièvement.

  1. Un signal pair (\(f(-t) = f(t)\)). (1 pt)
  2. Un signal impair (\(f(-t) = -f(t)\)). (1 pt)
  3. Un signal à symétrie demi-onde (\(f(t+T/2) = -f(t)\)). (1 pt)

Exercice 3 — Valeur moyenne \(a_0\) (4 pts)

Un signal vaut \(f(t) = 6\) sur \([0\,;\,T/2[\) et \(f(t) = 0\) sur \([T/2\,;\,T[\).

  1. Rappeler la formule donnant \(a_0\). (1 pt)
  2. Calculer \(a_0\) par l'intégrale. (2 pts)
  3. Interpréter physiquement \(a_0\) (composante continue). (1 pt)

Exercice 4 — Amplitude et phase d'une harmonique (4 pts)

Une harmonique a pour coefficients de Fourier \(a_n = 6\) et \(b_n = 8\).

  1. Calculer l'amplitude \(C_n = \sqrt{a_n^2 + b_n^2}\). (2 pts)
  2. Calculer la phase \(\varphi_n = -\arctan(b_n/a_n)\) en degrés. (2 pts)

Exercice 5 — Valeur efficace par le théorème de Parseval (6 pts)

Un courant non sinusoïdal possède une composante continue \(C_0 = 0\), un fondamental d'amplitude \(C_1 = 8\) A et une 3e harmonique d'amplitude \(C_3 = 6\) A (autres harmoniques négligées).

  1. Énoncer le théorème de Parseval pour la valeur efficace. (1 pt)
  2. Calculer la valeur efficace \(I_{\text{eff}}\) du courant. (3 pts)
  3. Comparer à la valeur efficace du seul fondamental \(C_1/\sqrt{2}\). Conclure. (2 pts)

Correction

Exercice 1 (3 pts)

a) \(T = 4\) ms \(= 4 \times 10^{-3}\) s, donc \(f = \dfrac{1}{T} = \dfrac{1}{4 \times 10^{-3}} = 250\) Hz. (1 pt)

b) \(\omega = 2\pi f = 2\pi \times 250 = 500\pi \approx 1\,570{,}8\) rad/s. (1 pt)

c) 3e harmonique : \(3f = 3 \times 250 = 750\) Hz. (1 pt)

Exercice 2 (3 pts)

a) Signal pair : tous les \(b_n = 0\) (les sinus disparaissent), le développement ne contient que des cosinus. (1 pt)

b) Signal impair : \(a_0 = 0\) et tous les \(a_n = 0\), le développement ne contient que des sinus. (1 pt)

c) Symétrie demi-onde : \(a_n = b_n = 0\) pour tout \(n\) pair ; seules les harmoniques impaires (\(n = 1, 3, 5, \ldots\)) sont présentes. (1 pt)

Exercice 3 (4 pts)

a) \(a_0 = \dfrac{1}{T}\displaystyle\int_0^T f(t)\,\mathrm{d}t\) (valeur moyenne du signal sur une période). (1 pt)

b) Comme \(f\) est nulle sur la seconde moitié : \[a_0 = \frac{1}{T}\int_0^{T/2} 6\,\mathrm{d}t = \frac{1}{T}\times 6 \times \frac{T}{2} = 3\] (2 pts)

c) \(a_0 = 3\) est la composante continue (DC). C'est cohérent : le signal passe la moitié du temps à 6 et la moitié à 0, sa moyenne est \(\frac{6+0}{2} = 3\). (1 pt)

Exercice 4 (4 pts)

a) \(C_n = \sqrt{a_n^2 + b_n^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10\). (2 pts)

b) \(a_n = 6 \gt 0\), donc \(\varphi_n = -\arctan\!\left(\dfrac{b_n}{a_n}\right) = -\arctan\!\left(\dfrac{8}{6}\right) = -\arctan(1{,}333) \approx -53{,}1°\) (soit \(\approx -0{,}927\) rad).
Vérification : \(C_n\cos\varphi_n = 10 \times \cos(-53{,}1°) = 10 \times 0{,}6 = 6 = a_n\) ✓. (2 pts)

Exercice 5 (6 pts)

a) Théorème de Parseval : \(I_{\text{eff}} = \sqrt{C_0^2 + \dfrac{C_1^2}{2} + \dfrac{C_3^2}{2} + \cdots}\) (la puissance totale est la somme des puissances de chaque harmonique). (1 pt)

b) \[I_{\text{eff}} = \sqrt{0 + \frac{8^2}{2} + \frac{6^2}{2}} = \sqrt{\frac{64 + 36}{2}} = \sqrt{\frac{100}{2}} = \sqrt{50} \approx 7{,}07 \text{ A}\] (3 pts)

c) Fondamental seul : \(C_1/\sqrt{2} = 8/\sqrt{2} \approx 5{,}66\) A. La valeur efficace réelle (\(\approx 7{,}07\) A) est supérieure à celle du seul fondamental, car l'harmonique de rang 3 ajoute de la puissance. Cet écart explique l'échauffement supplémentaire des câbles. (2 pts)

Total : 3 + 3 + 4 + 4 + 6 = 20 points.