Fiche résumé – Séries de Fourier

Chapitre 6 | BTS | Mathématiques

Dernière mise à jour : 21 juin 2026

L'essentiel :

Tout signal périodique se décompose en une somme de sinusoïdes de fréquences multiples de la fondamentale \(f=1/T\).
\(a_0\) est la valeur moyenne (composante continue) ; \(a_n,b_n\) sont les coefficients du rang \(n\).
Symétrie d'abord : pair → que des cosinus ; impair → que des sinus ; demi-onde → harmoniques impaires seulement.
Le théorème de Parseval donne la valeur efficace sans calculer d'intégrale.

Définitions clés

Définition

Signal périodique : \(f(t+T)=f(t)\). Fréquence \(f=\dfrac{1}{T}\) (Hz), pulsation \(\omega=\dfrac{2\pi}{T}=2\pi f\) (rad/s).

Définition

Harmonique de rang \(n\) : composante sinusoïdale de fréquence \(n f\). Le rang 1 est le fondamental.

Définition

Spectre d'amplitude : graphique en raies de l'amplitude \(C_n\) en fonction de la fréquence \(nf\). Le spectre de phase représente \(\varphi_n\).

Définition

Valeur efficace (RMS) : \(F_{\text{eff}}=\sqrt{\dfrac{1}{T}\displaystyle\int_0^T [f(t)]^2\,\mathrm{d}t}\) — détermine la puissance dissipée.

Formules à connaître

Coefficients de Fourier (sur une période) \[a_0=\frac{1}{T}\int_0^T f(t)\,\mathrm{d}t\] \[a_n=\frac{2}{T}\int_0^T f(t)\cos(n\omega t)\,\mathrm{d}t \qquad b_n=\frac{2}{T}\int_0^T f(t)\sin(n\omega t)\,\mathrm{d}t\]

Forme trigonométrique \[f(t)=a_0+\sum_{n=1}^{+\infty}\bigl[a_n\cos(n\omega t)+b_n\sin(n\omega t)\bigr]\]

Forme amplitude-phase \[f(t)=C_0+\sum_{n=1}^{+\infty}C_n\cos(n\omega t+\varphi_n)\]

avec \(C_0=a_0\), \(C_n=\sqrt{a_n^2+b_n^2}\), \(\varphi_n=-\arctan\!\dfrac{b_n}{a_n}\) (attention au quadrant).

Théorème de Parseval (valeur efficace) \[F_{\text{eff}}=\sqrt{a_0^2+\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{+\infty}(a_n^2+b_n^2)}=\sqrt{C_0^2+\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{+\infty}C_n^2}\]

Taux de distorsion harmonique (THD) \[\mathrm{THD}=\frac{\sqrt{\displaystyle\sum_{n=2}^{+\infty}C_n^2}}{C_1}\times 100\,\%\]

Symétries — simplifier les calculs

Propriété

Type de signal	Condition	Conséquence
Pair	\(f(-t)=f(t)\)	tous les \(b_n=0\) (cosinus seuls)
Impair	\(f(-t)=-f(t)\)	\(a_0=0\), tous les \(a_n=0\) (sinus seuls)
Demi-onde	\(f(t+\tfrac{T}{2})=-f(t)\)	\(a_n=b_n=0\) pour \(n\) pair (harmoniques impaires)

Signaux types à connaître

Signal	Série de Fourier	Décroissance
Créneau \(\pm E\)	\(\dfrac{4E}{\pi}\displaystyle\sum_{n\,\text{imp.}}\dfrac{\sin(n\omega t)}{n}\)	\(1/n\)
Triangulaire amplitude \(E\)	\(\dfrac{8E}{\pi^2}\displaystyle\sum_{k\geq 0}\dfrac{(-1)^k\cos((2k{+}1)\omega t)}{(2k+1)^2}\)	\(1/n^2\)
Dents de scie amplitude \(E\)	\(\dfrac{E}{2}-\dfrac{E}{\pi}\displaystyle\sum_{n\geq 1}\dfrac{\sin(n\omega t)}{n}\)	\(1/n\)

Méthode — Décomposer un signal

Méthode Calcul d'une série de Fourier

Identifier \(T\), \(\omega=2\pi/T\) et tracer une période.
Tester les symétries (pair / impair / demi-onde) pour annuler des coefficients.
Calculer \(a_0\) (valeur moyenne), puis \(a_n\) et \(b_n\) restants par intégration.
Écrire le développement, puis passer en amplitude-phase si besoin (\(C_n\), \(\varphi_n\)).
Pour la valeur efficace : utiliser Parseval plutôt que d'intégrer \(f^2\).

Erreurs fréquentes

Attention

❌ Oublier le facteur \(\tfrac{1}{T}\) pour \(a_0\) mais \(\tfrac{2}{T}\) pour \(a_n,b_n\).

✅ \(a_0\) est une moyenne (coefficient \(1/T\)) ; \(a_n,b_n\) ont le coefficient \(2/T\).

❌ Ne pas exploiter les symétries et calculer toutes les intégrales.

✅ Tester la parité d'abord : on divise souvent le travail par deux.

❌ Confondre amplitude \(C_n\) et valeur efficace de l'harmonique \(C_n/\sqrt{2}\).

✅ Dans Parseval, c'est \(\tfrac{1}{2}C_n^2=(C_n/\sqrt{2})^2\) qui intervient.

❌ Calculer le THD avec le fondamental au numérateur.

✅ Le numérateur ne contient que les harmoniques de rang \(\geq 2\), divisées par \(C_1\).