Exercices par capacités · BTS
Dernière mise à jour : 21 juin 2026
Un signal a une période \(T = 5\) ms. Calculer sa fréquence fondamentale \(f\) et sa pulsation \(\omega\).
On convertit \(T = 5\) ms \(= 5\times 10^{-3}\) s.
\(f = \dfrac{1}{T} = \dfrac{1}{5\times 10^{-3}} = 200\) Hz.
\(\omega = 2\pi f = 2\pi \times 200 \approx 1256{,}6\) rad/s.
Le réseau électrique français a une fréquence \(f = 50\) Hz. Donner la fréquence de la 3e, de la 5e et de la 7e harmonique.
L'harmonique de rang \(n\) a pour fréquence \(n \times f\).
Un signal audio a une pulsation fondamentale \(\omega = 2513{,}3\) rad/s. Déterminer sa fréquence \(f\) puis sa période \(T\).
\(f = \dfrac{\omega}{2\pi} = \dfrac{2513{,}3}{2\pi} \approx 400\) Hz.
\(T = \dfrac{1}{f} = \dfrac{1}{400} = 2{,}5\times 10^{-3}\) s \(= 2{,}5\) ms.
Pour chacun des signaux suivants, indiquer ses symétries (pair, impair, demi-onde) et la conséquence sur ses coefficients de Fourier :
Un signal vaut \(f(t) = 6\) sur \([0\,;\,T/2[\) et \(f(t) = 0\) sur \([T/2\,;\,T[\). Calculer sa valeur moyenne \(a_0\).
\(a_0 = \dfrac{1}{T}\displaystyle\int_0^T f(t)\,\mathrm{d}t = \dfrac{1}{T}\int_0^{T/2} 6\,\mathrm{d}t = \dfrac{1}{T}\times 6 \times \dfrac{T}{2} = 3\).
La valeur moyenne est \(a_0 = 3\) (cohérent : moyenne de 6 et 0).
On considère le signal créneau impair de période \(T\), valant \(+E\) sur \([0,T/2[\) et \(-E\) sur \([T/2,T[\). Sa série de Fourier est \(f(t) = \dfrac{4E}{\pi}\displaystyle\sum_{n\text{ impair}} \dfrac{1}{n}\sin(n\omega t)\). Donner explicitement les coefficients \(b_1\), \(b_2\), \(b_3\) et \(b_5\) pour \(E = \pi\).
Pour \(n\) impair : \(b_n = \dfrac{4E}{n\pi}\) ; pour \(n\) pair : \(b_n = 0\).
Avec \(E = \pi\), donc \(\dfrac{4E}{\pi} = 4\) :
Soit le signal en dents de scie \(f(t) = \dfrac{E}{T}\,t\) sur \([0,T[\). On admet \(a_n = 0\). Calculer la valeur moyenne \(a_0\) et le coefficient \(b_n\).
Valeur moyenne :
\[a_0 = \frac{1}{T}\int_0^T \frac{E}{T}t\,\mathrm{d}t = \frac{E}{T^2}\left[\frac{t^2}{2}\right]_0^T = \frac{E}{T^2}\cdot\frac{T^2}{2} = \frac{E}{2}\]Coefficient \(b_n\) (intégration par parties, avec \(\omega T = 2\pi\)) :
\[b_n = \frac{2}{T}\int_0^T \frac{E}{T}t\sin(n\omega t)\,\mathrm{d}t = \frac{2E}{T^2}\left(-\frac{T}{n\omega}\right) = -\frac{E}{n\pi}\]Le signal contient donc toutes les harmoniques, d'amplitude décroissant en \(1/n\).
Le développement du signal triangulaire pair d'amplitude \(E\) est \(f(t) = \dfrac{8E}{\pi^2}\displaystyle\sum_{k\geq 0} \dfrac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\cos\big((2k+1)\omega t\big)\). Calculer \(a_1\) et \(a_3\) pour \(E = \pi^2\), et comparer leurs amplitudes.
Pour \(n=2k+1\) impair : \(a_n = \dfrac{8E}{n^2\pi^2}(-1)^k\). Avec \(E=\pi^2\), \(\dfrac{8E}{\pi^2}=8\).
L'amplitude de l'harmonique 3 (\(0{,}889\)) est \(1/9\) de celle du fondamental : décroissance en \(1/n^2\), bien plus rapide que pour le créneau (\(1/n\)).
Un signal créneau symétrique d'amplitude \(E = 5\) V et de fréquence \(f = 50\) Hz est décrit par \(f(t) = \dfrac{4E}{\pi}\displaystyle\sum_{n\text{ impair}} \dfrac{1}{n}\sin(n\omega t)\). Donner l'expression numérique des trois premiers termes non nuls et la fréquence de chacun.
\(\dfrac{4E}{\pi} = \dfrac{4\times 5}{\pi} = \dfrac{20}{\pi} \approx 6{,}366\) V ; \(\omega = 2\pi\times 50 = 100\pi\) rad/s.
Une harmonique a pour coefficients \(a_n = 3\) et \(b_n = 4\). Calculer son amplitude \(C_n\) et sa phase \(\varphi_n\) (avec \(C_n = \sqrt{a_n^2+b_n^2}\) et \(\varphi_n = -\arctan(b_n/a_n)\)).
Phase (avec \(a_n = 3 \gt 0\)) :
\[\varphi_n = -\arctan\!\left(\frac{4}{3}\right) \approx -0{,}927 \text{ rad} \approx -53{,}1°\]Vérification : \(C_n\cos\varphi_n = 5\times 0{,}6 = 3 = a_n\) ✓ ; \(-C_n\sin\varphi_n = -5\times(-0{,}8)=4=b_n\) ✓.
Une harmonique a pour coefficients \(a_n = 5\) et \(b_n = 12\). Calculer son amplitude \(C_n\) et sa phase \(\varphi_n\).
Une harmonique purement sinusoïdale a \(a_n = 0\) et \(b_n = 2\). Déterminer \(C_n\) et \(\varphi_n\).
Cas particulier \(a_n = 0\) et \(b_n \gt 0\) : \(\varphi_n = -\dfrac{\pi}{2}\) (soit \(-90°\)).
Vérification : \(C_n\cos(-\tfrac{\pi}{2}) = 0 = a_n\) ✓ ; \(-C_n\sin(-\tfrac{\pi}{2}) = -2\times(-1) = 2 = b_n\) ✓.
Le spectre d'amplitude d'un courant comporte les raies suivantes : composante continue \(C_0 = 0\), fondamental \(C_1 = 8\) A à 50 Hz, harmonique 3 \(C_3 = 2{,}67\) A à 150 Hz, harmonique 5 \(C_5 = 1{,}6\) A à 250 Hz.
| Rang \(n\) | Fréquence (Hz) | Amplitude \(C_n\) (A) |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 1 | 50 | 8 |
| 3 | 150 | 2,67 |
| 5 | 250 | 1,6 |
Vérifier que les amplitudes décroissent approximativement en \(1/n\) (signal de type créneau).
Si \(C_n \approx C_1/n\) alors :
La décroissance est bien en \(1/n\) : le spectre est caractéristique d'un signal créneau (discontinu).
Une tension a une composante continue \(C_0 = 0\), un fondamental \(C_1 = 12\) V et une 3e harmonique \(C_3 = 5\) V (autres négligées). Calculer la valeur efficace \(U_{\text{eff}}\) par le théorème de Parseval : \(U_{\text{eff}} = \sqrt{C_0^2 + \frac{C_1^2}{2} + \frac{C_3^2}{2}}\).
Supérieure à la valeur efficace du seul fondamental (\(12/\sqrt{2}\approx 8{,}49\) V) à cause de l'harmonique 3.
Un courant comporte un fondamental \(C_1 = 10\) A et une harmonique 3 \(C_3 = 3{,}33\) A, une harmonique 5 \(C_5 = 2\) A, une harmonique 7 \(C_7 = 1{,}43\) A (composante continue nulle). Calculer la valeur efficace \(I_{\text{eff}}\).
| Rang \(n\) | \(C_n\) (A) |
|---|---|
| 1 | 10 |
| 3 | 3,33 |
| 5 | 2 |
| 7 | 1,43 |
Supérieure à \(10/\sqrt{2}\approx 7{,}07\) A : la valeur efficace réelle tient compte des harmoniques.
Un analyseur de réseau mesure les composantes du courant d'un bâtiment tertiaire. Calculer le taux de distorsion harmonique \(\mathrm{THD} = \dfrac{\sqrt{C_3^2+C_5^2+C_7^2+C_9^2}}{C_1}\).
| Rang \(n\) | Fréquence (Hz) | \(C_n\) (A) |
|---|---|---|
| 1 | 50 | 40 |
| 3 | 150 | 12 |
| 5 | 250 | 8 |
| 7 | 350 | 5 |
| 9 | 450 | 2 |
Soit \(\mathrm{THD} \approx 38{,}5\,\%\). C'est très supérieur à la limite usuelle de 5 % : le réseau nécessite un filtrage des harmoniques.
Avec les données de l'exercice 16, calculer la valeur efficace réelle \(I_{\text{eff}}\) du courant (composante continue nulle).
Les pertes par effet Joule \(P = R\,I_{\text{eff}}^2\) sont donc plus élevées que pour un courant purement sinusoïdal de 40 A efficace (qui donnerait \(40/\sqrt2 \approx 28{,}3\) A).
Pour un signal créneau d'amplitude \(\pm E\), la valeur efficace vaut directement \(E\) (le signal vaut toujours \(\pm E\)). En appliquant Parseval à sa série \(\dfrac{4E}{\pi}\displaystyle\sum_{n\text{ imp}}\dfrac{\sin(n\omega t)}{n}\), démontrer que \(\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\dfrac{1}{(2k+1)^2} = \dfrac{\pi^2}{8}\).
Parseval (composante continue nulle, \(C_n = \frac{4E}{n\pi}\) pour \(n\) impair) :
\[E^2 = \frac{1}{2}\sum_{n\text{ imp}}\left(\frac{4E}{n\pi}\right)^2 = \frac{1}{2}\cdot\frac{16E^2}{\pi^2}\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{1}{(2k+1)^2} = \frac{8E^2}{\pi^2}\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{1}{(2k+1)^2}\]On divise par \(E^2\) :
\[1 = \frac{8}{\pi^2}\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{1}{(2k+1)^2} \quad\Longrightarrow\quad \sum_{k=0}^{+\infty}\frac{1}{(2k+1)^2} = \frac{\pi^2}{8}\]C'est l'identité de Leibniz-Euler. □