Séries de Fourier | BTS | Mathématiques
Dernière mise à jour : 21 octobre 2026
| Signal | Développement en série de Fourier |
|---|---|
| Créneau \(\pm E\) (impair, demi-onde) | \(\dfrac{4E}{\pi}\displaystyle\sum_{n\text{ impair}}\dfrac{\sin(n\omega t)}{n}\) |
| Créneau \(0/E\), 50 % (demi-onde) | \(\dfrac E2+\dfrac{2E}{\pi}\displaystyle\sum_{n\text{ impair}}\dfrac{\sin(n\omega t)}{n}\) |
| Triangulaire (pair, demi-onde) | \(\dfrac{8E}{\pi^2}\displaystyle\sum_{k\geq0}\dfrac{(-1)^k\cos\bigl((2k{+}1)\omega t\bigr)}{(2k+1)^2}\) |
| Dents de scie (aucune symétrie) | \(\dfrac E2-\dfrac E\pi\displaystyle\sum_{n\geq1}\dfrac{\sin(n\omega t)}{n}\) |
Amplitude-phase : \(C_n=\sqrt{a_n^2+b_n^2}\), avec \(\cos\varphi_n = a_n/C_n\) et \(\sin\varphi_n=-b_n/C_n\) (raisonner sur les signes si \(a_n<0\)). Parseval : \(F_{\text{eff}}=\sqrt{a_0^2+\frac12\sum(a_n^2+b_n^2)}=\sqrt{C_0^2+\frac12\sum C_n^2}\). THD : \(\mathrm{THD}=\dfrac{\sqrt{\sum_{n\geq2}C_n^2}}{C_1}\).
Un onduleur monophasé de secours (alimentation sans interruption) délivre, avant filtrage, une tension en créneaux \(\pm E\) aux bornes de la charge :
\[u(t) = \begin{cases} +E & \text{si } 0 < t < T/2 \\ -E & \text{si } T/2 < t < T \end{cases}\]avec \(E = 170\,\text{V}\) et \(T = 20\,\text{ms}\) (fréquence réseau, \(50\,\text{Hz}\)). On note \(\omega=2\pi/T\).
1. Le signal \(u\) est-il pair, impair, ou ni l'un ni l'autre ? Justifier, puis en déduire sans calcul les valeurs de \(a_0\) et de \(a_n\) pour tout \(n\geq1\). (2 points)
2. Calculer \(b_n\) par le calcul intégral direct, en distinguant les rangs pairs et impairs. (4 points)
3. Écrire le développement en série de Fourier de \(u(t)\), et donner la valeur numérique de l'amplitude du fondamental \(C_1\) (à 50 Hz). (1 point)
1. \(u(-t) = -u(t)\) pour tout \(t\) (le signal change de signe par symétrie autour de l'origine) : \(u\) est impaire. Une fonction impaire a une valeur moyenne nulle et ne contient aucun terme en cosinus : \(a_0 = 0\) et \(a_n = 0\) pour tout \(n\geq1\).
2. \(b_n = \dfrac2T\displaystyle\int_0^T u(t)\sin(n\omega t)\,\mathrm{d}t = \dfrac2T\left[\displaystyle\int_0^{T/2} E\sin(n\omega t)\,\mathrm{d}t + \displaystyle\int_{T/2}^T (-E)\sin(n\omega t)\,\mathrm{d}t\right]\)
\(= \dfrac{2E}{T}\left[\left[-\dfrac{\cos(n\omega t)}{n\omega}\right]_0^{T/2} + \left[\dfrac{\cos(n\omega t)}{n\omega}\right]_{T/2}^{T}\right] = \dfrac{2E}{Tn\omega}\bigl[-\cos(n\pi)+1+\cos(2n\pi)-\cos(n\pi)\bigr]\)
Avec \(\dfrac{2E}{Tn\omega}=\dfrac{E}{n\pi}\) (car \(\omega T=2\pi\)) et \(\cos(2n\pi)=1\) : \(b_n = \dfrac{E}{n\pi}\bigl[2-2\cos(n\pi)\bigr] = \dfrac{2E}{n\pi}\bigl[1-(-1)^n\bigr]\).
Pour \(n\) pair : \(b_n=0\). Pour \(n\) impair : \(b_n = \dfrac{4E}{n\pi}\).
3. \(u(t) = \dfrac{4E}{\pi}\displaystyle\sum_{n\text{ impair}}\dfrac{\sin(n\omega t)}{n} = \dfrac{4E}{\pi}\left[\sin(\omega t)+\dfrac13\sin(3\omega t)+\cdots\right]\).
Le fondamental (rang 1, sans terme en cosinus) a pour amplitude \(C_1 = b_1 = \dfrac{4E}{\pi} = \dfrac{4\times170}{\pi} = \dfrac{680}{\pi} \approx 216{,}5\,\text{V}\).
Un accéléromètre installé sur un palier de machine tournante mesure une vibration périodique. L'analyse spectrale ne révèle que des composantes de rang impair : \(C_0=0\), \(C_1 = 3{,}2\,\text{mm/s}^2\), \(C_3 = 1{,}1\,\text{mm/s}^2\), \(C_5=0{,}4\,\text{mm/s}^2\) (rangs pairs tous nuls, autres rangs négligeables).
1. Que peut-on affirmer avec certitude sur les symétries de ce signal, et que ne peut-on pas en conclure ? (2 points)
2. Calculer la valeur efficace de cette vibration à l'aide du théorème de Parseval. (3 points)
1. La présence exclusive d'harmoniques de rang impair (aucune composante paire) signifie que ce signal possède la symétrie demi-onde : \(f(t+T/2)=-f(t)\).
En revanche, connaître seulement les amplitudes \(C_n\) ne permet pas de savoir si le signal est pair ou impair : cela dépendrait de la répartition entre les coefficients \(a_n\) et \(b_n\) (paire → cosinus, impaire → sinus), information que le spectre d'amplitude seul ne donne pas.
2. \(A_{\text{eff}} = \sqrt{C_0^2+\dfrac{C_1^2+C_3^2+C_5^2}{2}} = \sqrt{0+\dfrac{3{,}2^2+1{,}1^2+0{,}4^2}{2}} = \sqrt{\dfrac{10{,}24+1{,}21+0{,}16}{2}} = \sqrt{\dfrac{11{,}61}{2}} = \sqrt{5{,}805} \approx 2{,}41\,\text{mm/s}^2\).
Un variateur de vitesse alimente une pompe industrielle. Un analyseur de réseau mesure le spectre du courant absorbé :
| Rang \(n\) | 1 (fondamental) | 3 | 5 | 7 |
|---|---|---|---|---|
| Amplitude \(C_n\) (A) | 32 | 11 | 6 | 3 |
1. Calculer le taux de distorsion harmonique THD de ce courant. (3 points)
2. Calculer la valeur efficace réelle \(I_{\text{eff}}\) de ce courant par le théorème de Parseval. (2 points)
1. \(\text{THD} = \dfrac{\sqrt{C_3^2+C_5^2+C_7^2}}{C_1} = \dfrac{\sqrt{11^2+6^2+3^2}}{32} = \dfrac{\sqrt{121+36+9}}{32} = \dfrac{\sqrt{166}}{32} \approx \dfrac{12{,}88}{32} \approx 0{,}403 = 40{,}3\%\).
2. \(I_{\text{eff}} = \sqrt{\dfrac{C_1^2+C_3^2+C_5^2+C_7^2}{2}} = \sqrt{\dfrac{32^2+11^2+6^2+3^2}{2}} = \sqrt{\dfrac{1024+121+36+9}{2}} = \sqrt{\dfrac{1190}{2}} = \sqrt{595} \approx 24{,}4\,\text{A}\).
Une harmonique d'un signal a pour coefficients \(a_n = -6\) et \(b_n = -8\) (en volts).
1. Calculer l'amplitude \(C_n\). (1 point)
2. Déterminer le quadrant de la phase \(\varphi_n\), puis calculer sa valeur en degrés. (2 points)
1. \(C_n = \sqrt{(-6)^2+(-8)^2} = \sqrt{36+64} = \sqrt{100} = 10\,\text{V}\).
2. \(\cos\varphi_n = a_n/C_n = -6/10 = -0{,}6 < 0\). \(\sin\varphi_n = -b_n/C_n = 8/10 = 0{,}8 > 0\). Cosinus négatif et sinus positif : \(\varphi_n\) est dans le deuxième quadrant (entre \(90°\) et \(180°\)).
Angle de référence : \(\arctan\!\left(\dfrac{0{,}8}{0{,}6}\right) = \arctan(1{,}333) \approx 53{,}1°\). Dans le deuxième quadrant : \(\varphi_n = 180°-53{,}1° \approx 126{,}9°\).