Ch05 – Équations différentielles – QCM

Question 1

Quelle est la solution générale de l'équation homogène \(3y' + 6y = 0\) ?

\(y_H = C\,e^{2t}\) \(y_H = C\,e^{-2t}\) \(y_H = C\,e^{-6t}\) \(y_H = C\,e^{-\frac{1}{2}t}\)

Question 2

Pour résoudre \(y' + 5y = 10\), on cherche une solution particulière constante \(y_P = \alpha\). Que vaut \(\alpha\) ?

10 5 2 0

Question 3

La solution générale de \(y' + 5y = 10\) est \(y(t) = C\,e^{-5t} + 2\). Avec la condition initiale \(y(0) = 0\), que vaut \(C\) ?

\(-2\) \(2\) \(0\) \(10\)

Question 4

La méthode d'Euler approche la solution de \(y' = f(t, y)\) par la relation de récurrence :

\(y_{n+1} = y_n \times f(t_n, y_n)\) \(y_{n+1} = f(t_n, y_n)\) \(y_{n+1} = y_n - h\,f(t_n, y_n)\) \(y_{n+1} = y_n + h\,f(t_n, y_n)\)

Question 5

On résout \(r^2 + 2r + 5 = 0\) dans \(\mathbb{C}\). Le discriminant est \(\Delta = 4 - 20 = -16\). Quelles sont les racines ?

\(r = -1\) (double) \(r_1 = -1 + 2j\) et \(r_2 = -1 - 2j\) \(r_1 = 2 + j\) et \(r_2 = 2 - j\) \(r_1 = -2\) et \(r_2 = 2\)

Question 6

Quelle est l'équation caractéristique associée à \(y'' + 5y' + 6y = 0\) ?

\(r^2 + 5r + 6 = 0\) \(r^2 + 6r + 5 = 0\) \(5r + 6 = 0\) \(r^2 - 5r + 6 = 0\)

Question 7

L'équation \(y'' + 5y' + 6y = 0\) a pour équation caractéristique \(r^2 + 5r + 6 = 0\) (racines \(-2\) et \(-3\)). Quelle est sa solution homogène ?

\(y = (A + Bt)\,e^{-2t}\) \(y = e^{-2t}(A\cos 3t + B\sin 3t)\) \(y = A\,e^{-2t} + B\,e^{-3t}\) \(y = A\,e^{2t} + B\,e^{3t}\)

Question 8

L'équation \(y'' + 4y' + 4y = 0\) a un discriminant \(\Delta = 0\) (racine double \(r_0 = -2\)). Quelle est sa solution ?

\(y = A\,e^{-2t} + B\,e^{-2t}\) \(y = e^{-2t}(A\cos 2t + B\sin 2t)\) \(y = A\,e^{-4t} + B\) \(y = (A + Bt)\,e^{-2t}\)

Question 9

L'équation \(y'' + 2y' + 5y = 0\) a \(\Delta \lt 0\), avec \(\alpha = -1\) et \(\omega = 2\). Quelle est sa solution homogène ?

\(y = A\,e^{-t} + B\,e^{-2t}\) \(y = e^{-t}(A\cos 2t + B\sin 2t)\) \(y = (A + Bt)\,e^{-t}\) \(y = e^{2t}(A\cos t + B\sin t)\)

Question 10

Quand le discriminant de l'équation caractéristique du second ordre est négatif (\(\Delta \lt 0\)), à quel régime correspond la solution ?

Apériodique Critique Pseudo-périodique (oscillations amorties) Constant

Question 11

Pour un circuit RC \(\big(RC\,u_C' + u_C = E\big)\) avec \(\tau = RC = 1\) s, \(E = 12\) V et \(u_C(0) = 0\), la solution est :

\(u_C(t) = 12\left(1 - e^{-t}\right)\) \(u_C(t) = 12\,e^{-t}\) \(u_C(t) = 12\,e^{t}\) \(u_C(t) = 12t\)

Question 12

Un système masse-ressort-amortisseur vérifie \(r^2 + fr + 5 = 0\) (avec \(m = 1\), \(k = 5\)). Quelle valeur de \(f\) rend le régime critique (\(\Delta = 0\)) ?

\(f = 5\) \(f = 2\) \(f = 10\) \(f = 2\sqrt{5} \approx 4{,}47\)