← Retour au sommaire

Interrogation — Ch05 : Équations différentielles

BTS | Mathématiques | Durée : 40 min | /20

Dernière mise à jour : 21 juin 2026

Nom : _____ Prénom : _____ Date : _____

Exercice 1 — ED du premier ordre, second membre constant (4 pts)

On considère l'équation différentielle \(y' + 3y = 6\), avec la condition initiale \(y(0) = 0\).

  1. Donner la solution générale de l'équation homogène associée. (1 pt)
  2. Déterminer une solution particulière constante. (1 pt)
  3. En déduire la solution générale, puis la solution vérifiant \(y(0) = 0\). (2 pts)

Exercice 2 — ED du premier ordre, second membre polynôme (4 pts)

Résoudre l'équation \(y' + y = 2t + 1\) avec \(y(0) = 3\).

Exercice 3 — Nombres complexes (3 pts)

On rappelle que \(j^2 = -1\).

  1. Résoudre dans \(\mathbb{C}\) l'équation \(r^2 + 6r + 13 = 0\). (2 pts)
  2. Donner le module du nombre complexe \(z = -3 + 2j\). (1 pt)

Exercice 4 — ED du second ordre homogène (5 pts)

Pour chaque équation, écrire l'équation caractéristique, calculer \(\Delta\), préciser le régime et donner la solution générale \(y_H(t)\).

  1. \(y'' + 7y' + 12y = 0\) (1,5 pt)
  2. \(y'' + 6y' + 9y = 0\) (1,5 pt)
  3. \(y'' + 4y' + 13y = 0\) (2 pts)

Exercice 5 — Application : circuit RC (4 pts)

Un circuit RC série, alimenté par une tension continue \(E = 10\,\text{V}\), de constante de temps \(\tau = 1\,\text{s}\), vérifie l'équation \(u_C' + u_C = 10\), avec \(u_C(0) = 0\) (condensateur déchargé).

  1. Résoudre cette équation et donner l'expression de \(u_C(t)\). (3 pts)
  2. Calculer \(u_C(1)\) (on prendra \(e^{-1} \approx 0{,}368\)). (1 pt)

Correction

Exercice 1 (4 pts)

a) Équation homogène \(y' + 3y = 0\) (ici \(a = 1\), \(b = 3\), donc \(-\frac{b}{a} = -3\)) : \(y_H(t) = C\,e^{-3t}\). (1 pt)

b) On cherche \(y_P = \alpha\) (constante), \(y_P' = 0\) : \(3\alpha = 6 \Rightarrow \alpha = 2\). (1 pt)

c) Solution générale : \(y(t) = C\,e^{-3t} + 2\). Condition : \(y(0) = C + 2 = 0 \Rightarrow C = -2\). D'où \(y(t) = -2\,e^{-3t} + 2 = 2\left(1 - e^{-3t}\right)\). (2 pts)

Exercice 2 (4 pts)

Homogène : \(y' + y = 0 \Rightarrow y_H = C\,e^{-t}\).

Particulière de la forme \(y_P = \alpha t + \beta\), \(y_P' = \alpha\). En substituant : \(\alpha + \alpha t + \beta = 2t + 1\), soit \(\alpha\,t + (\alpha + \beta) = 2t + 1\).

Identification : \(\alpha = 2\) et \(\alpha + \beta = 1 \Rightarrow 2 + \beta = 1 \Rightarrow \beta = -1\). Donc \(y_P(t) = 2t - 1\).

Solution générale : \(y(t) = C\,e^{-t} + 2t - 1\). Condition : \(y(0) = C - 1 = 3 \Rightarrow C = 4\).

Solution : \(y(t) = 4\,e^{-t} + 2t - 1\). (4 pts)

Exercice 3 (3 pts)

a) \(\Delta = 6^2 - 4 \times 1 \times 13 = 36 - 52 = -16 \lt 0\), donc \(\Delta' = 16\), \(\sqrt{\Delta'} = 4\).

\(r_1 = \dfrac{-6 + 4j}{2} = -3 + 2j\) et \(r_2 = -3 - 2j\). (2 pts)

b) \(|z| = \sqrt{(-3)^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}\). (1 pt)

Exercice 4 (5 pts)

a) \(r^2 + 7r + 12 = 0\), \(\Delta = 49 - 48 = 1 \gt 0\) (régime apériodique). \(r_1 = \dfrac{-7 - 1}{2} = -4\), \(r_2 = \dfrac{-7 + 1}{2} = -3\). \(y_H(t) = A\,e^{-4t} + B\,e^{-3t}\). (1,5 pt)

b) \(r^2 + 6r + 9 = 0\), \(\Delta = 36 - 36 = 0\) (régime critique). Racine double \(r_0 = \dfrac{-6}{2} = -3\). \(y_H(t) = (A + Bt)\,e^{-3t}\). (1,5 pt)

c) \(r^2 + 4r + 13 = 0\), \(\Delta = 16 - 52 = -36 \lt 0\) (régime pseudo-périodique). \(\alpha = \dfrac{-4}{2} = -2\), \(\omega = \dfrac{\sqrt{36}}{2} = \dfrac{6}{2} = 3\). \(y_H(t) = e^{-2t}\left(A\cos(3t) + B\sin(3t)\right)\). (2 pts)

Exercice 5 (4 pts)

a) Homogène : \(u_C' + u_C = 0 \Rightarrow u_{C,H} = K\,e^{-t}\). Particulière : \(u_{C,P} = 10\) (\(0 + 10 = 10\)). Solution générale : \(u_C(t) = K\,e^{-t} + 10\). Condition \(u_C(0) = K + 10 = 0 \Rightarrow K = -10\). D'où \(u_C(t) = 10\left(1 - e^{-t}\right)\). (3 pts)

b) \(u_C(1) = 10\left(1 - e^{-1}\right) \approx 10 \times (1 - 0{,}368) = 10 \times 0{,}632 = 6{,}32\,\text{V}\). (1 pt)

Total : 4 + 4 + 3 + 5 + 4 = 20 points.