Fiche résumé – Équations différentielles

Chapitre 5 | BTS | Mathématiques

Dernière mise à jour : 21 juin 2026

L'essentiel :

Solution générale = solution homogène \(y_H\) + une solution particulière \(y_P\).
1er ordre \(a y'+b y=0\) : \(y_H=C\,e^{-\frac{b}{a}t}\).
2nd ordre : la nature des solutions dépend du signe de \(\Delta\) de l'équation caractéristique \(ar^2+br+c=0\).
On choisit \(y_P\) de la même forme que le second membre, puis on fixe les constantes avec les conditions initiales.
Applications : circuits RC/RLC, refroidissement (Newton), masse-ressort-amortisseur.

Définitions clés

Définition

ED linéaire à coefficients constants : 1er ordre \(a y'+b y=c(t)\) ; 2nd ordre \(a y''+b y'+c y=d(t)\). Homogène si le second membre est nul.

Définition

Équation caractéristique (2nd ordre) : \(ar^2+br+c=0\), de discriminant \(\Delta=b^2-4ac\). Régimes : apériodique (\(\Delta\gt 0\)), critique (\(\Delta=0\)), pseudo-périodique (\(\Delta\lt 0\)).

Définition

Nombre complexe : \(z=a+jb\) (avec \(j^2=-1\), notation BTS). Conjugué \(\bar z=a-jb\), module \(|z|=\sqrt{a^2+b^2}\).

Premier ordre

Équation \(a y'+b y=c(t)\) \[y_H(t)=C\,e^{-\frac{b}{a}\,t} \qquad y(t)=y_H(t)+y_P(t)\]

Solution particulière selon \(c(t)\)

Second membre \(c(t)\)	Forme de \(y_P\)
Constante \(k\)	\(y_P=\alpha\)
Polynôme degré \(n\)	Polynôme degré \(n\)
\(k\,e^{\lambda t}\) (\(\lambda\neq-\frac{b}{a}\))	\(y_P=\alpha\,e^{\lambda t}\)

On injecte \(y_P\) dans l'équation et on identifie ; puis on fixe \(C\) avec la condition initiale.

Second ordre — solution homogène

\(a y''+b y'+c y=0\), \(\Delta=b^2-4ac\) \[\Delta\gt 0:\; y_H=A\,e^{r_1 t}+B\,e^{r_2 t} \qquad r_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}\] \[\Delta=0:\; y_H=(A+Bt)\,e^{r_0 t} \qquad r_0=\frac{-b}{2a}\] \[\Delta\lt 0:\; y_H=e^{\alpha t}\big(A\cos\omega t+B\sin\omega t\big),\;\; \alpha=\frac{-b}{2a},\; \omega=\frac{\sqrt{|\Delta|}}{2a}\]

Équation du 2nd degré, \(\Delta\lt 0\)

Racines complexes conjuguées : \(r=\dfrac{-b\pm j\sqrt{|\Delta|}}{2a}\). On détermine \(A\) et \(B\) avec les deux conditions \(y(0)\) et \(y'(0)\) (système \(2\times 2\)).

Méthode — Méthode d'Euler

Méthode

Approcher \(y'=f(t,y)\) avec \(y(t_0)=y_0\), pas \(h\) :

\[t_{n+1}=t_n+h \qquad y_{n+1}=y_n+h\cdot f(t_n,y_n)\]

On avance le long de la tangente. Plus \(h\) est petit, plus c'est précis (mais plus de calculs).

Modèles physiques types

\[\text{Circuit RC : } RC\,u_C'+u_C=E \;\Rightarrow\; u_C(t)=E\big(1-e^{-t/\tau}\big),\; \tau=RC\] \[\text{Circuit RLC : } LC\,u_C''+RC\,u_C'+u_C=E \;\;(\text{3 régimes selon }R)\] \[\text{Refroidissement : } \tau\,T'+T=T_{\text{ext}} \qquad \text{Masse-ressort : } m\,x''+f\,x'+k\,x=0\]

Régime transitoire = terme en \(e^{\ldots t}\) qui s'éteint ; régime permanent = \(y_P\) (limite quand \(t\to+\infty\)).

Erreurs fréquentes

Attention

❌ Oublier le signe « moins » dans \(y_H=C\,e^{-\frac{b}{a}t}\).

✅ La solution homogène du 1er ordre décroît si \(\frac{b}{a}\gt 0\).

❌ Fixer la constante \(C\) avant d'avoir ajouté la solution particulière.

✅ Toujours écrire \(y=y_H+y_P\) en entier, puis appliquer la condition initiale.

❌ Pour le 2nd ordre, n'utiliser qu'une seule condition initiale.

✅ Il faut \(y(0)\) et \(y'(0)\) pour déterminer \(A\) et \(B\).

❌ Choisir la mauvaise forme de \(y_H\) selon le signe de \(\Delta\).

✅ \(\Delta\gt 0\) : deux exponentielles ; \(\Delta=0\) : \((A+Bt)e^{r_0 t}\) ; \(\Delta\lt 0\) : oscillations amorties.