BTS | Exercices | Groupements B1, B2
Dernière mise à jour : mars 2026
Résolution d'équations homogènes du 1er ordre
Résoudre les équations différentielles homogènes suivantes :
a) \(y' + 3y = 0\)
b) \(2y' - 6y = 0\)
c) \(5y' + y = 0\)
d) \(4y' + 10y = 0\)
a) \(a = 1\), \(b = 3\), \(-b/a = -3\). Solution : \(y(t) = C\,e^{-3t}\).
b) \(a = 2\), \(b = -6\), \(-b/a = 3\). Solution : \(y(t) = C\,e^{3t}\).
c) \(a = 5\), \(b = 1\), \(-b/a = -1/5\). Solution : \(y(t) = C\,e^{-t/5}\).
d) \(a = 4\), \(b = 10\), \(-b/a = -5/2\). Solution : \(y(t) = C\,e^{-5t/2}\).
1er ordre avec second membre constant
Résoudre les équations différentielles suivantes :
a) \(y' + 2y = 8\)
b) \(3y' + y = 5\)
c) \(y' + 4y = -12\)
a) Homogène : \(y_H = C\,e^{-2t}\). Particulière : \(2\alpha = 8\), \(\alpha = 4\). Solution : \(y(t) = C\,e^{-2t} + 4\).
b) Homogène : \(y_H = C\,e^{-t/3}\). Particulière : \(\alpha = 5\). Solution : \(y(t) = C\,e^{-t/3} + 5\).
c) Homogène : \(y_H = C\,e^{-4t}\). Particulière : \(4\alpha = -12\), \(\alpha = -3\). Solution : \(y(t) = C\,e^{-4t} - 3\).
Condition initiale du 1er ordre
Résoudre les équations avec condition initiale :
a) \(y' + y = 6\), \(y(0) = 0\)
b) \(y' + 3y = 9\), \(y(0) = 5\)
c) \(2y' + y = 4\), \(y(0) = 10\)
a) Solution générale : \(y = C\,e^{-t} + 6\). \(y(0) = C + 6 = 0\), \(C = -6\). Solution : \(y(t) = 6(1 - e^{-t})\).
b) Solution générale : \(y = C\,e^{-3t} + 3\). \(y(0) = C + 3 = 5\), \(C = 2\). Solution : \(y(t) = 2e^{-3t} + 3\).
c) Solution générale : \(y = C\,e^{-t/2} + 4\). \(y(0) = C + 4 = 10\), \(C = 6\). Solution : \(y(t) = 6e^{-t/2} + 4\).
Équation caractéristique du 2nd ordre
Pour chaque équation, écrire l'équation caractéristique, calculer le discriminant et les racines :
a) \(y'' + 7y' + 12y = 0\)
b) \(y'' + 6y' + 9y = 0\)
c) \(y'' + 2y' + 10y = 0\)
d) \(y'' - 4y = 0\)
a) \(r^2 + 7r + 12 = 0\). \(\Delta = 49 - 48 = 1 > 0\). \(r_1 = \frac{-7-1}{2} = -4\), \(r_2 = \frac{-7+1}{2} = -3\). Deux racines réelles distinctes.
b) \(r^2 + 6r + 9 = 0\). \(\Delta = 36 - 36 = 0\). \(r_0 = -3\). Racine double.
c) \(r^2 + 2r + 10 = 0\). \(\Delta = 4 - 40 = -36 < 0\). \(\alpha = -1\), \(\omega = \frac{\sqrt{36}}{2} = 3\). Racines : \(-1 \pm 3j\).
d) \(r^2 - 4 = 0\). \(\Delta = 16 > 0\). \(r_1 = -2\), \(r_2 = 2\). Deux racines réelles distinctes.
1er ordre avec second membre polynomial
Résoudre les équations suivantes :
a) \(y' + 2y = 6t + 4\) avec \(y(0) = 0\)
b) \(y' - y = 3t^2\) (solution générale uniquement)
a) Homogène : \(y_H = C\,e^{-2t}\).
Particulière : \(y_P = \alpha t + \beta\), \(y_P' = \alpha\).
\(\alpha + 2(\alpha t + \beta) = 6t + 4 \Rightarrow 2\alpha t + (\alpha + 2\beta) = 6t + 4\).
\(2\alpha = 6 \Rightarrow \alpha = 3\) et \(3 + 2\beta = 4 \Rightarrow \beta = \frac{1}{2}\).
\(y_P = 3t + \frac{1}{2}\). Générale : \(y = C\,e^{-2t} + 3t + \frac{1}{2}\).
\(y(0) = C + \frac{1}{2} = 0 \Rightarrow C = -\frac{1}{2}\).
Solution : \(y(t) = -\frac{1}{2}e^{-2t} + 3t + \frac{1}{2}\).
b) Homogène : \(y_H = C\,e^{t}\).
Particulière : \(y_P = \alpha t^2 + \beta t + \gamma\), \(y_P' = 2\alpha t + \beta\).
\((2\alpha t + \beta) - (\alpha t^2 + \beta t + \gamma) = 3t^2\).
\(-\alpha t^2 + (2\alpha - \beta)t + (\beta - \gamma) = 3t^2\).
\(-\alpha = 3 \Rightarrow \alpha = -3\), \(2\alpha - \beta = 0 \Rightarrow \beta = -6\), \(\beta - \gamma = 0 \Rightarrow \gamma = -6\).
Solution : \(y(t) = C\,e^{t} - 3t^2 - 6t - 6\).
1er ordre avec second membre exponentiel
Résoudre \(y' + 4y = 3e^{-t}\) avec \(y(0) = 2\).
Homogène : \(y_H = C\,e^{-4t}\).
Particulière : \(y_P = \alpha\,e^{-t}\). \(y_P' = -\alpha\,e^{-t}\).
\(-\alpha\,e^{-t} + 4\alpha\,e^{-t} = 3e^{-t} \Rightarrow 3\alpha = 3 \Rightarrow \alpha = 1\).
Générale : \(y = C\,e^{-4t} + e^{-t}\).
\(y(0) = C + 1 = 2 \Rightarrow C = 1\).
Solution : \(y(t) = e^{-4t} + e^{-t}\).
2nd ordre homogène — Les trois cas
Résoudre les équations suivantes avec les conditions initiales indiquées :
a) \(y'' + 5y' + 6y = 0\), \(y(0) = 1\), \(y'(0) = 0\)
b) \(y'' + 4y' + 4y = 0\), \(y(0) = 2\), \(y'(0) = 1\)
c) \(y'' + 2y' + 5y = 0\), \(y(0) = 0\), \(y'(0) = 4\)
a) \(r^2 + 5r + 6 = 0\), \(\Delta = 1 > 0\), \(r_1 = -3\), \(r_2 = -2\).
\(y = A\,e^{-3t} + B\,e^{-2t}\).
\(y(0) = A + B = 1\) et \(y'(0) = -3A - 2B = 0\).
De la 2e : \(A = -\frac{2B}{3}\). Dans la 1re : \(-\frac{2B}{3} + B = 1\), \(\frac{B}{3} = 1\), \(B = 3\), \(A = -2\).
Solution : \(y(t) = -2e^{-3t} + 3e^{-2t}\).
b) \(r^2 + 4r + 4 = 0\), \(\Delta = 0\), \(r_0 = -2\).
\(y = (A + Bt)\,e^{-2t}\).
\(y(0) = A = 2\) et \(y'(t) = (B - 2A - 2Bt)\,e^{-2t}\), \(y'(0) = B - 2A = B - 4 = 1\), \(B = 5\).
Solution : \(y(t) = (2 + 5t)\,e^{-2t}\).
c) \(r^2 + 2r + 5 = 0\), \(\Delta = -16 < 0\), \(\alpha = -1\), \(\omega = 2\).
\(y = e^{-t}(A\cos 2t + B\sin 2t)\).
\(y(0) = A = 0\).
\(y'(t) = e^{-t}\big[(-A + 2B)\cos 2t + (-B - 2A)\sin 2t\big]\).
\(y'(0) = -A + 2B = 2B = 4\), \(B = 2\).
Solution : \(y(t) = 2e^{-t}\sin 2t\).
Nombres complexes et équation caractéristique
1) Résoudre dans \(\mathbb{C}\) l'équation \(r^2 + 6r + 25 = 0\).
2) En déduire la solution générale de \(y'' + 6y' + 25y = 0\).
3) Déterminer la solution vérifiant \(y(0) = 3\) et \(y'(0) = -3\).
1) \(\Delta = 36 - 100 = -64 < 0\). \(\sqrt{|\Delta|} = 8\).
\(r_1 = \dfrac{-6 + 8j}{2} = -3 + 4j\) et \(r_2 = -3 - 4j\).
2) \(\alpha = -3\), \(\omega = 4\). Solution : \(y = e^{-3t}(A\cos 4t + B\sin 4t)\).
3) \(y(0) = A = 3\).
\(y'(t) = e^{-3t}\big[(-3A + 4B)\cos 4t + (-3B - 4A)\sin 4t\big]\).
\(y'(0) = -3A + 4B = -9 + 4B = -3\), donc \(4B = 6\), \(B = \frac{3}{2}\).
Solution : \(y(t) = e^{-3t}\!\left(3\cos 4t + \frac{3}{2}\sin 4t\right)\).
2nd ordre avec second membre constant
Résoudre \(y'' + 4y' + 3y = 6\) avec \(y(0) = 0\) et \(y'(0) = 0\).
Équation caractéristique : \(r^2 + 4r + 3 = 0\), \(\Delta = 16 - 12 = 4 > 0\).
\(r_1 = \frac{-4 - 2}{2} = -3\), \(r_2 = \frac{-4 + 2}{2} = -1\).
Homogène : \(y_H = A\,e^{-3t} + B\,e^{-t}\).
Particulière : \(y_P = \alpha\), \(3\alpha = 6\), \(\alpha = 2\).
Générale : \(y = A\,e^{-3t} + B\,e^{-t} + 2\).
\(y(0) = A + B + 2 = 0\), soit \(A + B = -2\) ... (1)
\(y'(t) = -3A\,e^{-3t} - B\,e^{-t}\). \(y'(0) = -3A - B = 0\) ... (2)
De (2) : \(B = -3A\). Dans (1) : \(A - 3A = -2\), \(-2A = -2\), \(A = 1\), \(B = -3\).
Solution : \(y(t) = e^{-3t} - 3e^{-t} + 2\).
2nd ordre avec second membre exponentiel
Résoudre \(y'' + 3y' + 2y = 4e^{-3t}\) avec \(y(0) = 0\) et \(y'(0) = 0\).
Équation caractéristique : \(r^2 + 3r + 2 = 0\), \(r_1 = -2\), \(r_2 = -1\).
Homogène : \(y_H = A\,e^{-2t} + B\,e^{-t}\).
Particulière : \(y_P = \alpha\,e^{-3t}\). \(y_P' = -3\alpha\,e^{-3t}\), \(y_P'' = 9\alpha\,e^{-3t}\).
\(9\alpha - 9\alpha + 2\alpha = 4 \Rightarrow 2\alpha = 4 \Rightarrow \alpha = 2\).
Générale : \(y = A\,e^{-2t} + B\,e^{-t} + 2e^{-3t}\).
\(y(0) = A + B + 2 = 0\) ... (1)
\(y'(0) = -2A - B - 6 = 0\) ... (2)
De (1) : \(B = -2 - A\). Dans (2) : \(-2A - (-2 - A) - 6 = 0\), \(-2A + 2 + A - 6 = 0\), \(-A - 4 = 0\), \(A = -4\).
\(B = -2 - (-4) = 2\).
Solution : \(y(t) = -4e^{-2t} + 2e^{-t} + 2e^{-3t}\).
Méthode d'Euler
On considère l'équation \(y' = 4 - 2y\) avec \(y(0) = 0\).
1) Résoudre analytiquement cette équation.
2) Appliquer la méthode d'Euler avec un pas \(h = 0{,}25\) pour calculer les valeurs approchées de \(y\) aux points \(t = 0\), \(0{,}25\), \(0{,}50\), \(0{,}75\) et \(1{,}00\).
3) Comparer les valeurs approchées aux valeurs exactes.
1) \(y' + 2y = 4\). Homogène : \(y_H = C\,e^{-2t}\). Particulière : \(y_P = 2\). Avec \(y(0) = 0\) : \(C = -2\).
Solution exacte : \(y(t) = 2(1 - e^{-2t})\).
2) On a \(f(t,y) = 4 - 2y\), \(h = 0{,}25\), \(y_{n+1} = y_n + 0{,}25 \times (4 - 2y_n)\).
| \(n\) | \(t_n\) | \(y_n\) (Euler) | \(f(t_n, y_n)\) | \(y(t_n)\) exacte |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 4 | 0 |
| 1 | 0,25 | 1,000 | 2 | 0,787 |
| 2 | 0,50 | 1,500 | 1 | 1,264 |
| 3 | 0,75 | 1,750 | 0,5 | 1,554 |
| 4 | 1,00 | 1,875 | 0,25 | 1,729 |
3) L'approximation d'Euler surestime la solution exacte. L'erreur diminue si l'on choisit un pas plus petit. Par exemple, avec \(h = 0{,}1\), l'erreur en \(t = 1\) passe d'environ 0,15 à environ 0,06.
Circuit RC — Charge et décharge d'un condensateur
Un technicien en électronique réalise un circuit RC série avec \(R = 4{,}7\;\text{k}\Omega\) et \(C = 47\;\mu\text{F}\), alimenté par une source de tension \(E = 9\;\text{V}\).
Partie A — Charge
L'équation vérifiée par \(u_C(t)\) est : \(\tau\,u_C' + u_C = E\) où \(\tau = RC\).
1) Calculer la constante de temps \(\tau\) (en secondes).
2) Résoudre l'équation avec \(u_C(0) = 0\) (condensateur initialement déchargé).
3) Calculer \(u_C(\tau)\), \(u_C(3\tau)\), \(u_C(5\tau)\). Commenter.
4) Au bout de combien de temps le condensateur atteint-il 7 V ?
Partie B — Décharge
À l'instant \(t_0\), on déconnecte la source (le condensateur est chargé à 9 V). L'équation devient \(\tau\,u_C' + u_C = 0\) avec \(u_C(t_0) = 9\).
5) Résoudre et tracer l'allure de la courbe de décharge.
1) \(\tau = RC = 4{,}7 \times 10^3 \times 47 \times 10^{-6} = 0{,}221\;\text{s} \approx 0{,}22\;\text{s}\).
2) L'équation \(\tau\,u_C' + u_C = 9\) donne :
Homogène : \(u_{C,H} = K\,e^{-t/\tau}\). Particulière : \(u_{C,P} = 9\).
\(u_C(0) = K + 9 = 0 \Rightarrow K = -9\).
\(\boxed{u_C(t) = 9(1 - e^{-t/\tau})}\) avec \(\tau \approx 0{,}22\;\text{s}\).
3)
Après \(5\tau\), le condensateur est pratiquement chargé.
4) \(9(1 - e^{-t/\tau}) = 7 \Rightarrow 1 - e^{-t/\tau} = \frac{7}{9} \Rightarrow e^{-t/\tau} = \frac{2}{9}\).
\(-\frac{t}{\tau} = \ln\frac{2}{9} \Rightarrow t = -\tau\ln\frac{2}{9} = \tau\ln\frac{9}{2} \approx 0{,}22 \times 1{,}504 \approx 0{,}33\;\text{s}\).
5) \(\tau\,u_C' + u_C = 0\), \(u_C(0) = 9\) : \(u_C(t) = 9\,e^{-t/\tau}\).
Décroissance exponentielle : la tension diminue depuis 9 V vers 0 V. Après \(5\tau \approx 1{,}1\;\text{s}\), le condensateur est pratiquement déchargé.
Circuit RLC — Régimes transitoires
Un circuit RLC série est composé de \(L = 50\;\text{mH}\), \(C = 200\;\mu\text{F}\), et une source de tension \(E = 24\;\text{V}\). L'équation vérifiée par \(u_C(t)\) est :
\[LC\,u_C'' + RC\,u_C' + u_C = E\]
soit, numériquement : \(10^{-5}\,u_C'' + 2 \times 10^{-4}\,R\,u_C' + u_C = 24\).
1) Calculer la résistance critique \(R_c = 2\sqrt{L/C}\).
2) Cas 1 : \(R = 50\;\Omega\). Déterminer la nature du régime. Écrire la solution homogène (sans calculer \(A\) et \(B\)).
3) Cas 2 : \(R = R_c\). Même question.
4) Cas 3 : \(R = 5\;\Omega\). Déterminer \(\alpha\) et \(\omega\). Écrire la solution homogène.
5) Quel régime est le plus adapté pour un système de régulation qui doit atteindre la valeur finale le plus rapidement possible sans dépassement ?
1) \(R_c = 2\sqrt{\frac{L}{C}} = 2\sqrt{\frac{0{,}05}{2 \times 10^{-4}}} = 2\sqrt{250} = 2 \times 15{,}81 \approx 31{,}6\;\Omega\).
2) \(R = 50\;\Omega > R_c\) : régime apériodique.
Équation caractéristique : \(10^{-5}r^2 + 10^{-2}r + 1 = 0\), soit \(r^2 + 1000r + 10^5 = 0\).
\(\Delta = 10^6 - 4 \times 10^5 = 6 \times 10^5 > 0\). \(\sqrt{\Delta} \approx 774{,}6\).
\(r_1 \approx \frac{-1000 - 774{,}6}{2} \approx -887\), \(r_2 \approx \frac{-1000 + 774{,}6}{2} \approx -113\).
Homogène : \(u_{C,H} = A\,e^{-887t} + B\,e^{-113t}\).
3) \(R = R_c \approx 31{,}6\;\Omega\) : régime critique (\(\Delta = 0\)).
\(r^2 + 632r + 10^5 = 0\), \(r_0 = -316\).
Homogène : \(u_{C,H} = (A + Bt)\,e^{-316t}\).
4) \(R = 5\;\Omega < R_c\) : régime pseudo-périodique.
\(r^2 + 100r + 10^5 = 0\), \(\Delta = 10^4 - 4 \times 10^5 = -3{,}9 \times 10^5 < 0\).
\(\alpha = -50\), \(\omega = \frac{\sqrt{3{,}9 \times 10^5}}{2} \approx \frac{624{,}5}{2} \approx 312\;\text{rad/s}\).
Homogène : \(u_{C,H} = e^{-50t}(A\cos 312t + B\sin 312t)\).
5) Le régime critique est le plus adapté : c'est le retour le plus rapide à l'équilibre sans dépassement (ni oscillation).
Thermique du bâtiment — Chauffage et refroidissement
Un ingénieur en génie climatique étudie la température d'un local de bureaux. La température intérieure \(T(t)\) (en °C) vérifie l'équation :
\[\tau\,T'(t) + T(t) = T_c(t)\]
où \(\tau = 8\;\text{h}\) est la constante de temps thermique du bâtiment et \(T_c(t)\) la température de consigne (en régime chauffé) ou la température extérieure (chauffage coupé).
Phase 1 — Refroidissement nocturne
Le chauffage est coupé à 18 h, la température intérieure est de 20 °C. La température extérieure est \(T_{\text{ext}} = 2\;°\text{C}\) (constante).
1) Montrer que \(T(t) = 18\,e^{-t/8} + 2\) (avec \(t\) en heures à partir de 18 h).
2) Quelle est la température à 6 h du matin (12 h plus tard) ?
3) Au bout de combien d'heures la température descend-elle sous 12 °C ?
Phase 2 — Remise en chauffe
À 6 h, le chauffage redémarre. La consigne est \(T_c = 20\;°\text{C}\). La condition initiale est la température trouvée à la question 2.
4) Écrire et résoudre l'équation différentielle correspondante.
5) À quelle heure la température atteint-elle 19 °C ?
1) \(8T' + T = 2\), soit \(T' + \frac{1}{8}T = \frac{1}{4}\).
Homogène : \(T_H = K\,e^{-t/8}\). Particulière : \(T_P = 2\).
\(T(0) = K + 2 = 20 \Rightarrow K = 18\).
\(\boxed{T(t) = 18\,e^{-t/8} + 2}\).
2) \(T(12) = 18\,e^{-12/8} + 2 = 18\,e^{-1{,}5} + 2 \approx 18 \times 0{,}2231 + 2 \approx 6{,}02\;°\text{C}\).
3) \(18\,e^{-t/8} + 2 = 12 \Rightarrow 18\,e^{-t/8} = 10 \Rightarrow e^{-t/8} = \frac{10}{18} = \frac{5}{9}\).
\(-\frac{t}{8} = \ln\frac{5}{9} \Rightarrow t = -8\ln\frac{5}{9} = 8\ln\frac{9}{5} \approx 8 \times 0{,}588 \approx 4{,}7\;\text{h}\).
La température passe sous 12 °C vers 22 h 42.
4) \(8T' + T = 20\) avec \(T(0) = 6{,}02\) (on prend \(t = 0\) à 6 h).
Homogène : \(T_H = K\,e^{-t/8}\). Particulière : \(T_P = 20\).
\(T(0) = K + 20 = 6{,}02 \Rightarrow K = -13{,}98\).
\(\boxed{T(t) = -13{,}98\,e^{-t/8} + 20}\).
5) \(-13{,}98\,e^{-t/8} + 20 = 19 \Rightarrow e^{-t/8} = \frac{1}{13{,}98} \approx 0{,}0715\).
\(t = -8\ln(0{,}0715) \approx 8 \times 2{,}637 \approx 21{,}1\;\text{h}\).
Ce résultat est irréaliste car il suppose un modèle simplifié : en réalité, la puissance de chauffage permet d'atteindre 19 °C beaucoup plus vite. Le modèle montre ici les limites de l'équation du 1er ordre pour un chauffage actif avec une constante de temps élevée.
Remarque : Si l'on considère une constante de temps plus réaliste en chauffe (par exemple \(\tau_c = 2\;\text{h}\) grâce à la puissance du système de chauffage), on obtient \(T(t) = -13{,}98\,e^{-t/2} + 20\) et \(t = -2\ln(1/13{,}98) \approx 5{,}3\;\text{h}\), soit vers 11 h 18.