Équations différentielles | BTS | Mathématiques
Dernière mise à jour : 21 octobre 2026
Un technicien en électronique alimente un circuit RC série (résistance \(R = 2\;\text{k}\Omega\), condensateur \(C = 1\;\text{mF}\)) sous une tension continue \(E = 15\;\text{V}\). La tension \(u(t)\) aux bornes du condensateur, initialement déchargé, vérifie l'équation différentielle : \[RC\,u'(t) + u(t) = E\]
1. Calculer la constante de temps \(\tau = RC\) (en secondes), puis écrire l'équation sous la forme \(u' + \dfrac{1}{\tau}u = \dfrac{E}{\tau}\). (1 pt)
2. Résoudre l'équation homogène associée. (1 pt)
3. Déterminer une solution particulière \(u_P\). (1 pt)
4. En déduire la solution générale de l'équation, puis déterminer \(u(t)\) sachant que le condensateur est initialement déchargé (\(u(0) = 0\)). (1 pt)
5. Calculer \(u(2)\) (en V, arrondi au centième), puis déterminer au bout de combien de temps la tension atteint 90 % de \(E\) (arrondi au dixième de seconde). (1 pt)
1. \(\tau = RC = 2\,000 \times 1\times10^{-3} = 2\;\text{s}\). En divisant l'équation par \(RC\) : \(u' + \dfrac{1}{2}u = \dfrac{15}{2} = 7{,}5\).
2. Ici \(a = RC = 2\), \(b = 1\), donc \(-\dfrac{b}{a} = -\dfrac{1}{2}\). Solution homogène : \(u_H(t) = K\,e^{-0{,}5t}\), \(K \in \mathbb{R}\).
3. Le second membre étant constant, on cherche \(u_P = \alpha\) (constante). Alors \(u_P' = 0\), d'où \(0{,}5\,\alpha = 7{,}5\), soit \(\alpha = 15\).
4. Solution générale : \(u(t) = K\,e^{-0{,}5t} + 15\). Condition initiale : \(u(0) = K + 15 = 0\), donc \(K = -15\).
\(\boxed{u(t) = 15 - 15\,e^{-0{,}5t} = 15\left(1 - e^{-0{,}5t}\right)}\)
Vérification : \(u'(t) = 7{,}5\,e^{-0{,}5t}\), donc \(RC\,u'(t) + u(t) = 2\times7{,}5\,e^{-0{,}5t} + 15 - 15\,e^{-0{,}5t} = 15\,e^{-0{,}5t} - 15\,e^{-0{,}5t} + 15 = 15 = E\). L'équation est bien vérifiée. ✓
5. \(u(2) = 15\left(1 - e^{-1}\right) \approx 15 \times 0{,}6321 \approx 9{,}48\;\text{V}\).
Pour atteindre 90 % de \(E\) : \(15\left(1-e^{-0{,}5t}\right) = 13{,}5 \Rightarrow 1-e^{-0{,}5t}=0{,}9 \Rightarrow e^{-0{,}5t}=0{,}1 \Rightarrow t = -2\ln(0{,}1) \approx 4{,}6\;\text{s}\).
Un ingénieur en génie climatique étudie le refroidissement d'un atelier après l'arrêt du chauffage. La température intérieure \(T(t)\) (en °C, \(t\) en heures après l'arrêt) vérifie la loi de refroidissement de Newton : \[\tau\,T'(t) + T(t) = T_{\text{ext}}\] avec \(\tau = 8\;\text{h}\) (constante de temps thermique du bâtiment) et \(T_{\text{ext}} = 2\;°\text{C}\) (température extérieure, supposée constante). À l'instant \(t=0\), \(T(0) = 24\;°\text{C}\).
1. Écrire l'équation sous la forme \(a\,T' + b\,T = c\) en précisant \(a\), \(b\), \(c\). (0,5 pt)
2. Résoudre complètement cette équation différentielle (solution homogène, solution particulière, puis expression de \(T(t)\) à l'aide de la condition initiale). (2 pts)
3. On souhaite approcher \(T(8)\) par la méthode d'Euler, avec un pas \(h = 2\;\text{h}\), à partir de \(f(T) = \dfrac{T_{\text{ext}} - T}{\tau}\). Compléter le tableau d'itérations de \(n=0\) à \(n=4\) (valeurs arrondies au centième). (2 pts)
4. Comparer la valeur obtenue par la méthode d'Euler en \(t=8\;\text{h}\) à la valeur exacte calculée à la question 2. Commenter l'écart. (0,5 pt)
5. À l'aide de la solution exacte, déterminer la durée (en heures, arrondie au dixième) au bout de laquelle la température descend en dessous de \(6\;°\text{C}\). (1 pt)
1. \(\tau\,T' + T = T_{\text{ext}}\) s'écrit \(8\,T' + T = 2\), donc \(a = 8\), \(b = 1\), \(c = 2\).
2. Homogène : \(-\dfrac{b}{a} = -\dfrac{1}{8}\), donc \(T_H(t) = K\,e^{-t/8}\).
Particulière : \(T_P = \alpha\) (constante), d'où \(0 + \alpha = 2\), soit \(\alpha = 2\).
Solution générale : \(T(t) = K\,e^{-t/8} + 2\). Condition initiale : \(T(0) = K + 2 = 24\), donc \(K = 22\).
\(\boxed{T(t) = 22\,e^{-t/8} + 2}\)
Vérification : \(T'(t) = -2{,}75\,e^{-t/8}\), donc \(8\,T'(t) + T(t) = 8\times(-2{,}75)e^{-t/8} + 22\,e^{-t/8}+2 = -22\,e^{-t/8}+22\,e^{-t/8}+2 = 2\). ✓
3. \(f(T) = \dfrac{2-T}{8}\) (fonction indépendante de \(t\)). Avec \(T_0 = 24\) et \(h=2\) :
| \(n\) | \(t_n\) (h) | \(T_n\) (°C) | \(f(T_n) = \frac{2-T_n}{8}\) | \(T_{n+1}=T_n+2\,f(T_n)\) |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 24 | −2,75 | 18,50 |
| 1 | 2 | 18,50 | −2,06 | 14,38 |
| 2 | 4 | 14,38 | −1,55 | 11,28 |
| 3 | 6 | 11,28 | −1,16 | 8,96 |
La méthode d'Euler donne \(T(8) \approx 8{,}96\;°\text{C}\).
4. Valeur exacte : \(T(8) = 22\,e^{-1} + 2 \approx 22 \times 0{,}3679 + 2 \approx 10{,}09\;°\text{C}\). L'écart avec l'approximation d'Euler est d'environ \(1{,}13\;°\text{C}\) : un pas \(h = 2\;\text{h}\) reste assez grossier pour cette décroissance exponentielle ; réduire le pas rapprocherait l'approximation de la valeur exacte.
5. \(22\,e^{-t/8}+2 = 6 \Rightarrow e^{-t/8} = \dfrac{4}{22} \Rightarrow t = -8\ln\!\left(\dfrac{4}{22}\right) \approx 13{,}6\;\text{h}\) (soit environ 13 h 38 min).
Un technicien de maintenance teste un amortisseur de suspension en soumettant le système masse-ressort-amortisseur à un choc (passage sur un nid-de-poule). La position \(x(t)\) (en m) de la masse par rapport à sa position d'équilibre, à l'instant \(t\) (en s) après le choc, vérifie : \[x''(t) + 4\,x'(t) + 13\,x(t) = 0\] avec les conditions initiales \(x(0) = 0\) (la masse est à l'équilibre au moment du choc) et \(x'(0) = 0{,}6\;\text{m/s}\) (vitesse communiquée par le choc).
1. Écrire l'équation caractéristique associée et calculer son discriminant \(\Delta\). (1 pt)
2. En déduire le régime du mouvement (apériodique, critique ou pseudo-périodique) et donner la forme générale de \(x(t)\) en fonction de \(A\) et \(B\). (1,5 pt)
3. Calculer \(x'(t)\) en fonction de \(A\), \(B\), \(\alpha\), \(\omega\). (1 pt)
4. Utiliser les deux conditions initiales pour déterminer \(A\) et \(B\). (1,5 pt)
5. Écrire la solution \(x(t)\) et vérifier, par substitution dans l'équation différentielle, qu'elle est correcte. (1 pt)
1. Équation caractéristique : \(r^2 + 4r + 13 = 0\). \(\Delta = 4^2 - 4\times1\times13 = 16 - 52 = -36\).
2. \(\Delta < 0\) : le régime est pseudo-périodique (oscillations amorties autour de l'équilibre). On calcule \(\alpha = \dfrac{-b}{2a} = \dfrac{-4}{2} = -2\) et \(\omega = \dfrac{\sqrt{|\Delta|}}{2a} = \dfrac{\sqrt{36}}{2} = 3\).
Forme générale : \(x(t) = e^{-2t}\big(A\cos(3t) + B\sin(3t)\big)\).
3. \(x'(t) = -2e^{-2t}\big(A\cos3t+B\sin3t\big) + e^{-2t}\big(-3A\sin3t+3B\cos3t\big)\)
soit \(x'(t) = e^{-2t}\Big[(-2A+3B)\cos3t + (-2B-3A)\sin3t\Big]\).
4. \(x(0) = A = 0\).
\(x'(0) = -2A+3B\). Comme \(A=0\), il reste \(x'(0) = 3B\). Or \(x'(0) = 0{,}6\), donc \(3B = 0{,}6\), soit \(B = 0{,}2\).
5. \(\boxed{x(t) = 0{,}2\,e^{-2t}\sin(3t)}\)
Vérification : en reprenant la formule de la question 3 avec \(A=0\), \(B=0{,}2\) : \(x'(t) = e^{-2t}\big(0{,}6\cos3t - 0{,}4\sin3t\big)\).
En dérivant à nouveau : \(x''(t) = -2e^{-2t}\big(0{,}6\cos3t-0{,}4\sin3t\big) + e^{-2t}\big(-1{,}8\sin3t-1{,}2\cos3t\big) = e^{-2t}\big(-2{,}4\cos3t-1{,}0\sin3t\big)\).
D'où \(x''+4x'+13x = e^{-2t}\Big[(-2{,}4+2{,}4+0)\cos3t + (-1{,}0-1{,}6+2{,}6)\sin3t\Big] = e^{-2t}\times 0 = 0\). ✓ L'équation différentielle est bien vérifiée.
Un fabricant d'amortisseurs teste trois prototypes de même masse \(m = 2\;\text{kg}\) et de même raideur de ressort \(k = 8\;\text{N/m}\), mais avec un coefficient de frottement \(f\) différent selon le fluide utilisé dans chaque amortisseur. Chaque prototype vérifie l'équation \(m\,x'' + f\,x' + k\,x = 0\). Pour chacun des trois cas suivants, écrire l'équation caractéristique, calculer \(\Delta\), indiquer le régime du mouvement, puis donner la forme générale de \(x(t)\) (sans chercher les constantes \(A\) et \(B\)).
1. Prototype 1 : \(f = 4\;\text{N.s/m}\). (1 pt)
2. Prototype 2 : \(f = 8\;\text{N.s/m}\). (1 pt)
3. Prototype 3 : \(f = 10\;\text{N.s/m}\). (1 pt)
Équation caractéristique générale : \(2r^2 + fr + 8 = 0\), donc \(\Delta = f^2 - 4\times2\times8 = f^2-64\).
1. \(f=4\) : \(\Delta = 16-64=-48<0\). Régime pseudo-périodique. \(\alpha=\dfrac{-4}{4}=-1\), \(\omega=\dfrac{\sqrt{48}}{4}=\sqrt{3}\approx1{,}73\;\text{rad/s}\).
\(x(t) = e^{-t}\big(A\cos(\sqrt3\,t)+B\sin(\sqrt3\,t)\big)\).
2. \(f=8\) : \(\Delta = 64-64=0\). Régime critique. \(r_0=\dfrac{-8}{4}=-2\) (racine double).
\(x(t) = (A+Bt)\,e^{-2t}\).
3. \(f=10\) : \(\Delta = 100-64=36>0\). Régime apériodique. \(r_{1,2}=\dfrac{-10\pm6}{4}\), soit \(r_1=-1\) et \(r_2=-4\).
\(x(t) = A\,e^{-t}+B\,e^{-4t}\).