BTS | Mathématiques | Groupements B1, B2, C1, D1, D2
Dernière mise à jour : mars 2026
Un technicien en Fluides, Énergies, Domotique (FED) doit déterminer la valeur efficace d'un courant alternatif non sinusoïdal pour dimensionner un disjoncteur. Cette valeur efficace se calcule à l'aide d'une intégrale sur une période du signal.
Par ailleurs, un dessinateur-projeteur en charpente bois doit calculer le centre d'inertie d'une section en T pour vérifier la résistance d'une poutre. Ce calcul nécessite des intégrales de moments statiques.
Ces deux problèmes se résolvent grâce au calcul intégral.
| Fonction \(f(x)\) | Primitive \(F(x)\) | Domaine |
|---|---|---|
| \(k\) (constante) | \(kx\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(x^n\) (\(n \neq -1\)) | \(\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\) | selon \(n\) |
| \(\dfrac{1}{x}\) | \(\ln|x|\) | \(\mathbb{R}^*\) |
| \(\dfrac{1}{x^2} = x^{-2}\) | \(-\dfrac{1}{x}\) | \(\mathbb{R}^*\) |
| \(\dfrac{1}{\sqrt{x}} = x^{-1/2}\) | \(2\sqrt{x}\) | \(\mathbb{R}_+^*\) |
| \(e^x\) | \(e^x\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(\cos x\) | \(\sin x\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(\sin x\) | \(-\cos x\) | \(\mathbb{R}\) |
(+ constante \(C\) dans chaque cas)
Déterminer une primitive de \(f(x) = 3x^2 - 5x + \dfrac{2}{x}\) sur \(]0\,;+\infty[\).
\(F(x) = 3 \times \dfrac{x^3}{3} - 5 \times \dfrac{x^2}{2} + 2\ln x = x^3 - \dfrac{5x^2}{2} + 2\ln x\).
| Fonction | Primitive | Condition |
|---|---|---|
| \(u'(x)\,\big[u(x)\big]^n\) | \(\dfrac{\big[u(x)\big]^{n+1}}{n+1}\) | \(n \neq -1\) |
| \(\dfrac{u'(x)}{u(x)}\) | \(\ln|u(x)|\) | \(u(x) \neq 0\) |
| \(u'(x)\,e^{u(x)}\) | \(e^{u(x)}\) |
Trouver une primitive de \(f(x) = 6x(x^2 + 1)^2\).
On pose \(u(x) = x^2 + 1\), donc \(u'(x) = 2x\).
On écrit \(f(x) = 3 \times 2x \times (x^2+1)^2 = 3\,u'(x)\,[u(x)]^2\).
Une primitive est \(3 \times \dfrac{(x^2+1)^3}{3} = (x^2 + 1)^3\).
Trouver une primitive de \(f(x) = \dfrac{2x}{x^2 + 4}\).
On pose \(u(x) = x^2 + 4\), \(u'(x) = 2x\). On reconnaît \(\dfrac{u'}{u}\).
Une primitive est \(\ln(x^2 + 4)\). (Pas de valeur absolue car \(x^2+4 > 0\).)
Trouver une primitive de \(f(x) = 4x\,e^{2x^2}\).
On pose \(u(x) = 2x^2\), \(u'(x) = 4x\). On reconnaît \(u'\,e^u\).
Une primitive est \(e^{2x^2}\).
Trouver une primitive de \(f(t) = 3\cos(2t + \pi/4)\).
\(F(t) = 3 \times \dfrac{1}{2}\sin\!\left(2t + \dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{3}{2}\sin\!\left(2t + \dfrac{\pi}{4}\right)\).
Primitives directes et composées
Déterminer une primitive de chacune des fonctions suivantes :
a) \(f(x) = 4x^3 - 6x + 1\) b) \(g(x) = \dfrac{3}{x^2} + \dfrac{1}{x}\) sur \(]0\,;+\infty[\)
c) \(h(x) = (2x+1)^4\) d) \(k(t) = 5\sin(3t - \pi/6)\)
a) \(F(x) = x^4 - 3x^2 + x\).
b) \(G(x) = -\dfrac{3}{x} + \ln x\).
c) On pose \(u = 2x+1\), \(u' = 2\). On écrit \(h(x) = \frac{1}{2} \times 2 \times (2x+1)^4 = \frac{1}{2}\,u'\,u^4\). Donc \(H(x) = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{(2x+1)^5}{5} = \dfrac{(2x+1)^5}{10}\).
d) \(K(t) = 5 \times \dfrac{1}{3}\cos\!\left(3t - \dfrac{\pi}{6}\right) \times (-1) = -\dfrac{5}{3}\cos\!\left(3t - \dfrac{\pi}{6}\right)\).
Calculer \(\displaystyle\int_1^3 (2x + 1)\,dx\).
Une primitive de \(2x+1\) est \(F(x) = x^2 + x\).
\(\displaystyle\int_1^3 (2x+1)\,dx = \big[x^2 + x\big]_1^3 = (9+3) - (1+1) = 12 - 2 = 10\).
Calculer \(\displaystyle\int_0^1 e^{2x}\,dx\).
Une primitive de \(e^{2x}\) est \(\dfrac{1}{2}e^{2x}\).
\(\displaystyle\int_0^1 e^{2x}\,dx = \left[\frac{1}{2}e^{2x}\right]_0^1 = \frac{1}{2}e^2 - \frac{1}{2} = \frac{e^2 - 1}{2} \approx 3{,}19\).
Calculs d'intégrales
Calculer les intégrales suivantes :
a) \(\displaystyle\int_0^2 (3x^2 - 4x + 1)\,dx\) b) \(\displaystyle\int_1^e \dfrac{1}{x}\,dx\) c) \(\displaystyle\int_0^{\pi} \sin(x)\,dx\)
a) \(\big[x^3 - 2x^2 + x\big]_0^2 = (8 - 8 + 2) - 0 = 2\).
b) \(\big[\ln x\big]_1^e = \ln e - \ln 1 = 1 - 0 = 1\).
c) \(\big[-\cos x\big]_0^{\pi} = -\cos\pi - (-\cos 0) = -(-1) + 1 = 2\).
Calculer l'aire entre la courbe de \(f(x) = x^2 - 1\) et l'axe des abscisses sur \([0\,;\,2]\).
\(f(x) = 0 \Leftrightarrow x = 1\) (sur \([0\,;\,2]\)). On a \(f \leq 0\) sur \([0\,;\,1]\) et \(f \geq 0\) sur \([1\,;\,2]\).
\(\mathcal{A} = -\displaystyle\int_0^1 (x^2-1)\,dx + \int_1^2 (x^2-1)\,dx\)
\(= -\left[\dfrac{x^3}{3} - x\right]_0^1 + \left[\dfrac{x^3}{3} - x\right]_1^2\)
\(= -\left(\dfrac{1}{3} - 1\right) + \left(\dfrac{8}{3} - 2 - \dfrac{1}{3} + 1\right) = \dfrac{2}{3} + \dfrac{4}{3} = 2\) u.a.
Aire entre deux courbes
Calculer l'aire comprise entre les courbes de \(f(x) = x^2\) et \(g(x) = x\) sur \([0\,;\,1]\).
Sur \([0\,;\,1]\), \(g(x) = x \geq x^2 = f(x)\) (car \(0 \leq x \leq 1\)).
\(\mathcal{A} = \displaystyle\int_0^1 (x - x^2)\,dx = \left[\dfrac{x^2}{2} - \dfrac{x^3}{3}\right]_0^1 = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{6}\) u.a.
Calculer la valeur moyenne de \(f(x) = x^2\) sur \([0\,;\,3]\).
\(\mu = \dfrac{1}{3-0}\displaystyle\int_0^3 x^2\,dx = \dfrac{1}{3}\left[\dfrac{x^3}{3}\right]_0^3 = \dfrac{1}{3} \times 9 = 3\).
Soit \(u(t) = U_m\sin(\omega t)\) de période \(T = \dfrac{2\pi}{\omega}\).
Valeur moyenne : \(\langle u \rangle = \dfrac{1}{T}\displaystyle\int_0^T U_m\sin(\omega t)\,dt = \dfrac{U_m}{T}\left[-\dfrac{\cos(\omega t)}{\omega}\right]_0^T = 0\).
Valeur efficace :
On calcule \(\dfrac{1}{T}\displaystyle\int_0^T U_m^2\sin^2(\omega t)\,dt\). En utilisant \(\sin^2(\theta) = \dfrac{1 - \cos(2\theta)}{2}\) :
\(= \dfrac{U_m^2}{T}\displaystyle\int_0^T \dfrac{1 - \cos(2\omega t)}{2}\,dt = \dfrac{U_m^2}{2T}\left[t - \dfrac{\sin(2\omega t)}{2\omega}\right]_0^T = \dfrac{U_m^2}{2}\).
Donc \(U_{\text{eff}} = \dfrac{U_m}{\sqrt{2}}\). Pour le secteur (\(U_{\text{eff}} = 230\) V), on a \(U_m = 230\sqrt{2} \approx 325\) V.
Valeur moyenne d'un signal
Un technicien FED mesure un courant modélisé par \(i(t) = 2 + 3\sin(100\pi t)\) (en ampères, \(t\) en secondes). La période est \(T = 0{,}02\) s.
1) Calculer la valeur moyenne de \(i\) sur une période.
2) Interpréter physiquement ce résultat.
1) \(\langle i \rangle = \dfrac{1}{0{,}02}\displaystyle\int_0^{0{,}02}\big(2 + 3\sin(100\pi t)\big)\,dt\)
\(= 50\left[2t - \dfrac{3}{100\pi}\cos(100\pi t)\right]_0^{0{,}02}\)
\(= 50\left[\left(0{,}04 - \dfrac{3}{100\pi}\cos(2\pi)\right) - \left(0 - \dfrac{3}{100\pi}\cos(0)\right)\right]\)
\(= 50\left[0{,}04 - \dfrac{3}{100\pi} + \dfrac{3}{100\pi}\right] = 50 \times 0{,}04 = 2\) A.
2) La valeur moyenne est de 2 A. C'est la composante continue du signal. La partie sinusoïdale (moyenne nulle) est la composante alternative superposée.
L'objectif est que la nouvelle intégrale \(\int u\,v'\) soit plus simple que la première.
Règle pratique (LATE) : on choisit comme \(v\) (à dériver) la fonction qui se simplifie en la dérivant, dans l'ordre de priorité :
On pose \(v(x) = x\) (à dériver) et \(u'(x) = e^x\) (à primitiver).
| \(v = x\) | \(\Rightarrow\) \(v' = 1\) |
| \(u' = e^x\) | \(\Rightarrow\) \(u = e^x\) |
\(\displaystyle\int x\,e^x\,dx = x\,e^x - \int 1 \times e^x\,dx = x\,e^x - e^x + C = (x-1)\,e^x + C\).
Vérification : \(\big[(x-1)e^x\big]' = e^x + (x-1)e^x = x\,e^x\). Correct.
On pose \(v = x\), \(u' = \cos x\), donc \(v' = 1\), \(u = \sin x\).
\(\displaystyle\int_0^{\pi} x\cos x\,dx = \big[x\sin x\big]_0^{\pi} - \int_0^{\pi} \sin x\,dx\)
\(= (\pi\sin\pi - 0) - \big[-\cos x\big]_0^{\pi} = 0 - [-\cos\pi + \cos 0] = -(1+1) = -2\).
On écrit \(\ln(x) = 1 \times \ln(x)\). On pose \(v = \ln x\), \(u' = 1\), donc \(v' = \frac{1}{x}\), \(u = x\).
\(\displaystyle\int_1^e \ln x\,dx = \big[x\ln x\big]_1^e - \int_1^e x \times \frac{1}{x}\,dx = (e \times 1 - 1 \times 0) - \int_1^e 1\,dx\)
\(= e - \big[x\big]_1^e = e - (e - 1) = 1\).
Intégration par parties
Calculer par IPP : \(\displaystyle\int_0^1 x\,e^{2x}\,dx\).
On pose \(v = x\), \(u' = e^{2x}\), donc \(v' = 1\), \(u = \frac{1}{2}e^{2x}\).
\(\displaystyle\int_0^1 x\,e^{2x}\,dx = \left[\dfrac{x}{2}e^{2x}\right]_0^1 - \int_0^1 \dfrac{1}{2}e^{2x}\,dx\)
\(= \dfrac{1}{2}e^2 - 0 - \dfrac{1}{2}\left[\dfrac{e^{2x}}{2}\right]_0^1 = \dfrac{e^2}{2} - \dfrac{1}{4}(e^2 - 1) = \dfrac{e^2}{4} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{e^2 + 1}{4} \approx 2{,}10\).
Lorsqu'on ne dispose pas d'une primitive explicite de \(f\), ou lorsque \(f\) est donnée par un tableau de mesures, on approche \(\int_a^b f(x)\,dx\) par des méthodes numériques.
| Méthode | Ordre de convergence | Erreur en \(O(…)\) |
|---|---|---|
| Rectangles (point milieu) | 2 | \(O(h^2)\) |
| Trapèzes | 2 | \(O(h^2)\) |
Plus \(n\) est grand (donc \(h\) petit), plus l'approximation est précise.
Approcher \(\displaystyle\int_0^1 e^{-x^2}\,dx\) avec \(n = 4\) sous-intervalles (méthode des trapèzes).
\(h = \frac{1}{4} = 0{,}25\). Points : \(x_0 = 0\), \(x_1 = 0{,}25\), \(x_2 = 0{,}5\), \(x_3 = 0{,}75\), \(x_4 = 1\).
| \(x_k\) | 0 | 0,25 | 0,50 | 0,75 | 1 |
|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x_k)\) | 1 | 0,9394 | 0,7788 | 0,5698 | 0,3679 |
\(I \approx \dfrac{0{,}25}{2}\big[1 + 0{,}3679 + 2(0{,}9394 + 0{,}7788 + 0{,}5698)\big]\)
\(= 0{,}125 \times [1{,}3679 + 2 \times 2{,}2880] = 0{,}125 \times 5{,}9439 \approx 0{,}7430\).
(Valeur exacte : \(\approx 0{,}7468\). Erreur relative : \(\approx 0{,}5\,\%\).)
Méthode des trapèzes
Un technicien mesure le débit d'eau \(Q(t)\) (en L/min) dans une canalisation toutes les 10 minutes :
| \(t\) (min) | 0 | 10 | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(Q(t)\) | 12 | 15 | 18 | 20 | 17 | 14 | 11 |
Estimer le volume total d'eau écoulé en 1 heure par la méthode des trapèzes.
\(h = 10\) min, \(n = 6\) intervalles.
\(V \approx \dfrac{10}{2}\big[12 + 11 + 2(15 + 18 + 20 + 17 + 14)\big]\)
\(= 5 \times [23 + 2 \times 84] = 5 \times 191 = 955\) litres.
Le volume d'eau écoulé en 1 heure est d'environ 955 litres.
Un technicien en Fluides, Énergies, Domotique doit vérifier le calibre d'un disjoncteur protégeant un circuit alimenté par un courant dont la forme d'onde est modélisée par \(i(t) = 10\sin(100\pi t) + 3\sin(300\pi t)\) (en ampères). Il a besoin de la valeur efficace \(I_{\text{eff}}\).
La période est \(T = 0{,}02\) s. On calcule :
\(I_{\text{eff}}^2 = \dfrac{1}{T}\displaystyle\int_0^T i(t)^2\,dt\).
En développant \(i(t)^2\) et en utilisant le fait que les termes croisés \(\sin(\omega_1 t)\sin(\omega_2 t)\) ont une intégrale nulle sur une période (propriété d'orthogonalité) :
\(I_{\text{eff}}^2 = \dfrac{10^2}{2} + \dfrac{3^2}{2} = 50 + 4{,}5 = 54{,}5\)
\(I_{\text{eff}} = \sqrt{54{,}5} \approx 7{,}38\) A.
Le disjoncteur devra avoir un calibre supérieur à 7,38 A, soit un calibre normalisé de 10 A.
Un dessinateur-projeteur en charpente bois doit déterminer la position du centre de gravité d'une section en T pour calculer les contraintes de flexion. La section est composée d'une semelle (rectangulaire, \(b \times e_1\)) et d'une âme (rectangulaire, \(h \times e_2\)).
Le centre de gravité d'une surface plane se calcule par :
\[\bar{y} = \frac{\displaystyle\int y\,dA}{\displaystyle\int dA} = \frac{\text{moment statique}}{\text{aire totale}}\]
Données : Semelle : \(b = 120\) mm, \(e_1 = 30\) mm. Âme : \(h = 200\) mm, \(e_2 = 40\) mm. L'âme est centrée sous la semelle.
En prenant l'origine en bas de l'âme :
\(\bar{y} = \dfrac{8\,000 \times 100 + 3\,600 \times 215}{8\,000 + 3\,600} = \dfrac{800\,000 + 774\,000}{11\,600} = \dfrac{1\,574\,000}{11\,600} \approx 135{,}7\) mm.
Le centre de gravité se situe à 135,7 mm de la base de l'âme.
Un ébéniste tourne un pied de table dont le profil est défini par la fonction \(r(x) = 2 + \sin\!\left(\dfrac{\pi x}{20}\right)\) (rayon en cm, \(x\) en cm, pour \(x \in [0\,;\,40]\)).
Le volume d'un solide de révolution est :
\[V = \pi\int_0^{40} \big[r(x)\big]^2\,dx = \pi\int_0^{40}\left(2 + \sin\frac{\pi x}{20}\right)^2 dx\]
On développe : \(\left(2 + \sin\frac{\pi x}{20}\right)^2 = 4 + 4\sin\frac{\pi x}{20} + \sin^2\frac{\pi x}{20}\).
En utilisant \(\sin^2\theta = \frac{1-\cos 2\theta}{2}\) :
\(= 4 + 4\sin\frac{\pi x}{20} + \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos\frac{\pi x}{10}\)
\(= \frac{9}{2} + 4\sin\frac{\pi x}{20} - \frac{1}{2}\cos\frac{\pi x}{10}\)
\(\displaystyle\int_0^{40}\left(\frac{9}{2} + 4\sin\frac{\pi x}{20} - \frac{1}{2}\cos\frac{\pi x}{10}\right)dx\)
\(= \left[\frac{9x}{2} - \frac{80}{\pi}\cos\frac{\pi x}{20} - \frac{5}{\pi}\sin\frac{\pi x}{10}\right]_0^{40}\)
\(= \left(180 - \frac{80}{\pi}\cos 2\pi - 0\right) - \left(0 - \frac{80}{\pi}\cos 0 - 0\right) = 180 - \frac{80}{\pi} + \frac{80}{\pi} = 180\).
\(V = 180\pi \approx 565{,}5\) cm³ \(\approx 0{,}57\) litre.
Primitives
Intégrale définie
Valeur moyenne
IPP et méthodes numériques