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Interrogation — Ch04 : Calcul intégral

BTS | Mathématiques | Durée : 40 min | /20

Dernière mise à jour : 21 juin 2026

Nom : _____ Prénom : _____ Date : _____

Exercice 1 — Primitives (4 pts)

Déterminer une primitive de chacune des fonctions suivantes.

  1. \(f(x) = 6x^2 - 4x + 3\) (1 pt)
  2. \(g(x) = \dfrac{2}{x} + \dfrac{1}{x^2}\) sur \(]0\,;+\infty[\) (1,5 pt)
  3. \(h(x) = \dfrac{2x}{x^2 + 1}\) (1,5 pt)

Exercice 2 — Intégrales définies (4 pts)

Calculer les intégrales suivantes.

  1. \(\displaystyle\int_0^2 (3x^2 - 2x + 1)\,dx\) (1,5 pt)
  2. \(\displaystyle\int_1^{e} \dfrac{1}{x}\,dx\) (1,5 pt)
  3. \(\displaystyle\int_0^{\pi/2} \cos(x)\,dx\) (1 pt)

Exercice 3 — Aire et valeur moyenne (4 pts)

  1. Calculer l'aire (en unités d'aire) comprise entre les courbes de \(f(x) = x^2\) et \(g(x) = 2x\) sur \([0\,;\,2]\). (2,5 pts)
  2. Calculer la valeur moyenne de la fonction \(p(x) = 2x\) sur l'intervalle \([1\,;\,3]\). (1,5 pt)

Exercice 4 — Intégration par parties (4 pts)

Calculer, à l'aide d'une intégration par parties, l'intégrale \(\displaystyle\int_0^1 x\,e^{x}\,dx\). On précisera le choix de \(u'\) et \(v\).

Exercice 5 — Méthode des trapèzes (4 pts)

Un technicien mesure le débit \(Q(t)\) (en L/min) d'une canalisation toutes les 15 minutes :

\(t\) (min)015304560
\(Q(t)\)101416139
  1. Rappeler la formule de la méthode des trapèzes pour \(n\) sous-intervalles de largeur \(h\). (1 pt)
  2. Estimer le volume total d'eau écoulé en 1 heure (en litres). (3 pts)

Correction

Exercice 1 (4 pts)

a) \(F(x) = 2x^3 - 2x^2 + 3x\) (+ \(C\)). (1 pt)

b) \(G(x) = 2\ln x - \dfrac{1}{x}\) (+ \(C\)) (primitive de \(\frac{1}{x^2} = x^{-2}\) est \(-\frac{1}{x}\)). (1,5 pt)

c) On reconnaît \(\dfrac{u'}{u}\) avec \(u = x^2 + 1\), \(u' = 2x\). Une primitive est \(H(x) = \ln(x^2 + 1)\) (pas de valeur absolue car \(x^2 + 1 \gt 0\)). (1,5 pt)

Exercice 2 (4 pts)

a) \(\big[x^3 - x^2 + x\big]_0^2 = (8 - 4 + 2) - 0 = 6\). (1,5 pt)

b) \(\big[\ln x\big]_1^{e} = \ln e - \ln 1 = 1 - 0 = 1\). (1,5 pt)

c) \(\big[\sin x\big]_0^{\pi/2} = \sin\dfrac{\pi}{2} - \sin 0 = 1 - 0 = 1\). (1 pt)

Exercice 3 (4 pts)

a) Sur \([0\,;\,2]\), \(g(x) = 2x \ge x^2 = f(x)\) (car \(2x - x^2 = x(2-x) \ge 0\) pour \(0 \le x \le 2\)).

\(\mathcal{A} = \displaystyle\int_0^2 (2x - x^2)\,dx = \left[x^2 - \dfrac{x^3}{3}\right]_0^2 = \left(4 - \dfrac{8}{3}\right) - 0 = \dfrac{4}{3}\) u.a. (2,5 pts)

b) \(\mu = \dfrac{1}{3 - 1}\displaystyle\int_1^3 2x\,dx = \dfrac{1}{2}\big[x^2\big]_1^3 = \dfrac{1}{2}(9 - 1) = 4\). (1,5 pt)

Exercice 4 (4 pts)

On pose \(v = x\) (à dériver) et \(u' = e^x\) (à primitiver), donc \(v' = 1\) et \(u = e^x\).

\(\displaystyle\int_0^1 x\,e^x\,dx = \big[x\,e^x\big]_0^1 - \int_0^1 e^x\,dx = (1 \times e^1 - 0) - \big[e^x\big]_0^1\)

\(= e - (e - 1) = 1\). (4 pts)

Exercice 5 (4 pts)

a) Méthode des trapèzes : \(\displaystyle\int_a^b f \approx \dfrac{h}{2}\Big[f(a) + f(b) + 2\sum_{k=1}^{n-1} f(x_k)\Big]\), avec \(h = \dfrac{b-a}{n}\). (1 pt)

b) Ici \(h = 15\) min, \(n = 4\) intervalles. Bornes \(Q(0) = 10\) et \(Q(60) = 9\) ; valeurs intermédiaires \(14\), \(16\), \(13\).

\(V \approx \dfrac{15}{2}\big[10 + 9 + 2(14 + 16 + 13)\big] = 7{,}5 \times \big[19 + 2 \times 43\big] = 7{,}5 \times 105 = 787{,}5\) litres.

Le volume écoulé en 1 heure est d'environ 787,5 litres. (3 pts)

Total : 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 20 points.