Fiche résumé – Calcul intégral

Chapitre 4 | BTS | Mathématiques

Dernière mise à jour : 21 juin 2026

L'essentiel :

Primitiver = opération inverse de dériver, à une constante \(C\) près.
Formule fondamentale : \(\int_a^b f(x)\,dx=[F(x)]_a^b=F(b)-F(a)\).
Si \(f\ge 0\), l'intégrale est l'aire sous la courbe ; sinon, prendre \(\int_a^b|f|\,dx\).
Trois types composés à reconnaître : \(u'u^n\), \(\frac{u'}{u}\), \(u'e^u\).
IPP : \(\int u'v=[uv]-\int uv'\) ; choisir \(v\) qui se simplifie en dérivant (règle LATE).

Définitions clés

Définition

Primitive : \(F\) telle que \(F'=f\) sur \(I\). Toutes les primitives s'écrivent \(F(x)+C\). Intégrale : \(\int_a^b f=F(b)-F(a)\) (indépendant de la primitive choisie ; variable muette).

Définition

Valeur moyenne de \(f\) sur \([a;b]\) : \(\mu=\frac{1}{b-a}\int_a^b f(t)\,dt\). Valeur efficace d'un signal de période \(T\) : \(S_{\text{eff}}=\sqrt{\frac{1}{T}\int_0^T s^2\,dt}\).

Primitives usuelles

\(f(x)\)	\(F(x)\)	\(f(x)\)	\(F(x)\)
\(x^n\;(n\neq-1)\)	\(\frac{x^{n+1}}{n+1}\)	\(e^x\)	\(e^x\)
\(\frac{1}{x}\)	\(\ln\|x\|\)	\(\cos x\)	\(\sin x\)
\(\frac{1}{\sqrt x}\)	\(2\sqrt x\)	\(\sin x\)	\(-\cos x\)

(+ constante \(C\)). Trigo : primitive de \(\cos(\omega t+\varphi)\) est \(\frac{1}{\omega}\sin(\omega t+\varphi)\) ; de \(\sin(\omega t+\varphi)\) est \(-\frac{1}{\omega}\cos(\omega t+\varphi)\).

Primitives composées fondamentales \[u'\,[u]^n \longrightarrow \frac{[u]^{n+1}}{n+1}\quad(n\neq-1) \qquad \frac{u'}{u}\longrightarrow \ln|u| \qquad u'\,e^{u}\longrightarrow e^{u}\]

Propriétés de l'intégrale

Propriétés

Linéarité : \(\int(f+g)=\int f+\int g\) ; \(\int\lambda f=\lambda\int f\).
Chasles : \(\int_a^b f=\int_a^c f+\int_c^b f\).
Positivité : \(f\ge 0\Rightarrow\int_a^b f\ge 0\) ; \(f\ge g\Rightarrow\int f\ge\int g\).
Conventions : \(\int_a^a f=0\) ; \(\int_b^a f=-\int_a^b f\).

Aires \[\text{sous une courbe : }\mathcal A=\int_a^b |f(x)|\,dx\] \[\text{entre deux courbes : }\mathcal A=\int_a^b |f(x)-g(x)|\,dx\]

Intégration par parties et méthodes numériques

Intégration par parties (IPP) \[\int_a^b u'\,v\,dx=\big[u\,v\big]_a^b-\int_a^b u\,v'\,dx\]

Choisir \(v\) (à dériver) dans l'ordre LATE : Logarithme > Algébrique > Trigo > Exponentielle.

Approximation numérique (pas \(h=\frac{b-a}{n}\), \(x_k=a+kh\)) \[\text{Trapèzes : }\int_a^b f\approx\frac{h}{2}\Big[f(a)+f(b)+2\sum_{k=1}^{n-1}f(x_k)\Big]\] \[\text{Rectangles (milieu) : }\int_a^b f\approx h\sum_{k=0}^{n-1}f\!\big(a+(k+\tfrac12)h\big)\]

Trapèzes et rectangles-milieu : erreur en \(O(h^2)\). Plus \(n\) est grand, plus c'est précis.

Méthode — Calcul d'aire

Méthode

Déterminer le signe de \(f\) sur \([a;b]\).
Si \(f\ge 0\) : \(\mathcal A=\int_a^b f\). Si \(f\le 0\) : \(\mathcal A=-\int_a^b f\).
Si \(f\) change de signe : découper aux zéros, additionner les valeurs absolues.

Erreurs fréquentes

Attention

❌ Confondre intégrale (peut être négative) et aire (toujours \(\ge 0\)).

✅ Pour l'aire, utiliser \(\int_a^b|f|\,dx\) en découpant aux changements de signe.

❌ Oublier d'ajuster le coefficient pour une primitive composée.

✅ Vérifier que \(u'\) apparaît bien en facteur (à un coefficient près), puis corriger.

❌ Mal choisir \(u'\) et \(v\) dans une IPP (l'intégrale devient plus compliquée).

✅ Suivre LATE : \(v\) est la fonction qui se simplifie en la dérivant.

❌ Oublier la valeur absolue dans la primitive \(\frac{u'}{u}\to\ln|u|\).

✅ Sans valeur absolue uniquement si \(u\gt 0\) sur l'intervalle.