BTS | Exercices | Groupements B1, B2, C1, D1, D2
Dernière mise à jour : mars 2026
Déterminer une primitive de chacune des fonctions suivantes :
a) \(f(x) = 5x^4 - 3x^2 + 7\)
b) \(g(x) = \dfrac{4}{x^2} + \dfrac{3}{x}\) sur \(]0\,;+\infty[\)
c) \(h(x) = 2\cos x - 3\sin x\)
d) \(k(x) = 6e^x + \dfrac{1}{\sqrt{x}}\) sur \(]0\,;+\infty[\)
a) \(F(x) = 5 \times \dfrac{x^5}{5} - 3 \times \dfrac{x^3}{3} + 7x = x^5 - x^3 + 7x\).
b) On écrit \(g(x) = 4x^{-2} + \dfrac{3}{x}\). Une primitive est \(G(x) = -\dfrac{4}{x} + 3\ln x\).
c) \(H(x) = 2\sin x + 3\cos x\).
d) On écrit \(\dfrac{1}{\sqrt{x}} = x^{-1/2}\). Une primitive est \(K(x) = 6e^x + 2\sqrt{x}\).
Calculer les intégrales suivantes :
a) \(\displaystyle\int_1^4 (2x - 3)\,dx\)
b) \(\displaystyle\int_0^{\pi/2} \cos(x)\,dx\)
c) \(\displaystyle\int_1^e \dfrac{2}{x}\,dx\)
d) \(\displaystyle\int_0^2 e^x\,dx\)
a) \(\big[x^2 - 3x\big]_1^4 = (16 - 12) - (1 - 3) = 4 + 2 = 6\).
b) \(\big[\sin x\big]_0^{\pi/2} = \sin\dfrac{\pi}{2} - \sin 0 = 1 - 0 = 1\).
c) \(\big[2\ln x\big]_1^e = 2\ln e - 2\ln 1 = 2 - 0 = 2\).
d) \(\big[e^x\big]_0^2 = e^2 - e^0 = e^2 - 1 \approx 6{,}39\).
Soit \(f(x) = -x^2 + 4\) définie sur \([-2\,;\,2]\).
1) Vérifier que \(f(x) \geq 0\) sur \([-2\,;\,2]\).
2) Calculer l'aire de la surface comprise entre la courbe de \(f\), l'axe des abscisses et les droites \(x = -2\) et \(x = 2\).
1) \(f(x) = -(x^2 - 4) = -(x-2)(x+2)\). Sur \([-2\,;\,2]\), \((x-2) \leq 0\) et \((x+2) \geq 0\), donc \(f(x) \geq 0\). De plus \(f(-2) = f(2) = 0\) et \(f(0) = 4 > 0\).
2) Puisque \(f \geq 0\) sur \([-2\,;\,2]\) :
\(\mathcal{A} = \displaystyle\int_{-2}^{2} (-x^2 + 4)\,dx = \left[-\dfrac{x^3}{3} + 4x\right]_{-2}^{2}\)
\(= \left(-\dfrac{8}{3} + 8\right) - \left(\dfrac{8}{3} - 8\right) = \dfrac{16}{3} + \dfrac{16}{3} = \dfrac{32}{3} \approx 10{,}67\) u.a.
Déterminer une primitive de chaque fonction :
a) \(f(t) = 4\cos(2t)\)
b) \(g(t) = 5\sin(3t + \pi/4)\)
c) \(h(t) = -2\cos(100\pi t)\)
a) \(F(t) = 4 \times \dfrac{1}{2}\sin(2t) = 2\sin(2t)\).
b) \(G(t) = 5 \times \left(-\dfrac{1}{3}\right)\cos\!\left(3t + \dfrac{\pi}{4}\right) = -\dfrac{5}{3}\cos\!\left(3t + \dfrac{\pi}{4}\right)\).
c) \(H(t) = -2 \times \dfrac{1}{100\pi}\sin(100\pi t) = -\dfrac{1}{50\pi}\sin(100\pi t)\).
Déterminer une primitive de chaque fonction en reconnaissant le type composé :
a) \(f(x) = 4x\,e^{x^2}\) (type \(u'\,e^u\))
b) \(g(x) = \dfrac{6x}{3x^2 + 1}\) (type \(u'/u\))
c) \(h(x) = 3x^2(x^3 - 5)^4\) (type \(u'\,u^n\))
d) \(k(x) = \dfrac{e^x}{e^x + 2}\) (type \(u'/u\))
a) On pose \(u = x^2\), \(u' = 2x\). On écrit \(f(x) = 2 \times 2x\,e^{x^2} = 2\,u'\,e^u\). Primitive : \(F(x) = 2\,e^{x^2}\).
b) On pose \(u = 3x^2 + 1\), \(u' = 6x\). On reconnaît \(\dfrac{u'}{u}\). Primitive : \(G(x) = \ln(3x^2 + 1)\). (Pas de valeur absolue car \(3x^2 + 1 > 0\).)
c) On pose \(u = x^3 - 5\), \(u' = 3x^2\). On reconnaît \(u'\,u^4\). Primitive : \(H(x) = \dfrac{(x^3 - 5)^5}{5}\).
d) On pose \(u = e^x + 2\), \(u' = e^x\). On reconnaît \(\dfrac{u'}{u}\). Primitive : \(K(x) = \ln(e^x + 2)\).
Soient \(f(x) = x^2\) et \(g(x) = 2x\) sur l'intervalle \([0\,;\,3]\).
1) Résoudre \(f(x) = g(x)\) pour déterminer les points d'intersection.
2) Étudier le signe de \(g(x) - f(x)\) sur \([0\,;\,3]\).
3) Calculer l'aire comprise entre les deux courbes sur \([0\,;\,3]\).
1) \(x^2 = 2x \Leftrightarrow x^2 - 2x = 0 \Leftrightarrow x(x-2) = 0\). Solutions : \(x = 0\) et \(x = 2\).
2) \(g(x) - f(x) = 2x - x^2 = x(2 - x)\). Sur \([0\,;\,2]\), \(g(x) - f(x) \geq 0\) (donc \(g \geq f\)). Sur \([2\,;\,3]\), \(g(x) - f(x) \leq 0\) (donc \(f \geq g\)).
3) \(\mathcal{A} = \displaystyle\int_0^2 (2x - x^2)\,dx + \int_2^3 (x^2 - 2x)\,dx\)
\(= \left[x^2 - \dfrac{x^3}{3}\right]_0^2 + \left[\dfrac{x^3}{3} - x^2\right]_2^3\)
\(= \left(4 - \dfrac{8}{3}\right) + \left[\left(9 - 9\right) - \left(\dfrac{8}{3} - 4\right)\right]\)
\(= \dfrac{4}{3} + \dfrac{4}{3} = \dfrac{8}{3} \approx 2{,}67\) u.a.
Soit \(f(t) = 3t^2 + 1\) sur l'intervalle \([0\,;\,2]\).
1) Calculer la valeur moyenne \(\mu\) de \(f\) sur \([0\,;\,2]\).
2) Vérifier que le rectangle de base \([0\,;\,2]\) et de hauteur \(\mu\) a la même aire que la surface sous la courbe de \(f\).
1) \(\mu = \dfrac{1}{2 - 0}\displaystyle\int_0^2 (3t^2 + 1)\,dt = \dfrac{1}{2}\left[t^3 + t\right]_0^2 = \dfrac{1}{2}(8 + 2) = 5\).
2) Aire du rectangle : \(\mu \times (b - a) = 5 \times 2 = 10\).
Aire sous la courbe : \(\displaystyle\int_0^2 (3t^2 + 1)\,dt = [t^3 + t]_0^2 = 10\). Les deux aires sont bien égales.
Un technicien en maintenance mesure un courant modélisé par \(i(t) = 5\sin(100\pi t)\) (en ampères, \(t\) en secondes). La période est \(T = 0{,}02\) s.
1) Calculer la valeur moyenne de \(i\) sur une période.
2) Calculer la valeur efficace \(I_{\text{eff}}\).
3) Quel est le lien entre \(I_{\text{eff}}\) et l'amplitude \(I_m = 5\) A pour un signal sinusoïdal ?
1) \(\langle i \rangle = \dfrac{1}{T}\displaystyle\int_0^T 5\sin(100\pi t)\,dt = \dfrac{5}{0{,}02}\left[-\dfrac{\cos(100\pi t)}{100\pi}\right]_0^{0{,}02}\)
\(= 250\left[-\dfrac{\cos(2\pi)}{100\pi} + \dfrac{\cos(0)}{100\pi}\right] = 250 \times 0 = 0\) A.
La valeur moyenne d'un signal sinusoïdal pur sur une période est nulle.
2) \(I_{\text{eff}}^2 = \dfrac{1}{T}\displaystyle\int_0^T 25\sin^2(100\pi t)\,dt\).
En utilisant \(\sin^2\theta = \dfrac{1 - \cos 2\theta}{2}\) :
\(= \dfrac{25}{T}\displaystyle\int_0^T \dfrac{1 - \cos(200\pi t)}{2}\,dt = \dfrac{25}{2T}\left[t - \dfrac{\sin(200\pi t)}{200\pi}\right]_0^T = \dfrac{25}{2T} \times T = \dfrac{25}{2}\).
\(I_{\text{eff}} = \sqrt{25/2} = \dfrac{5}{\sqrt{2}} \approx 3{,}54\) A.
3) On retrouve la relation classique \(I_{\text{eff}} = \dfrac{I_m}{\sqrt{2}}\), valable pour tout signal sinusoïdal.
Calculer les intégrales suivantes par IPP :
a) \(\displaystyle\int_0^1 x\,e^{3x}\,dx\)
b) \(\displaystyle\int_1^e x\ln(x)\,dx\)
c) \(\displaystyle\int_0^{\pi} t\sin(t)\,dt\)
a) On pose \(v = x\), \(u' = e^{3x}\), donc \(v' = 1\), \(u = \dfrac{1}{3}e^{3x}\).
\(\displaystyle\int_0^1 x\,e^{3x}\,dx = \left[\dfrac{x}{3}e^{3x}\right]_0^1 - \int_0^1 \dfrac{1}{3}e^{3x}\,dx = \dfrac{e^3}{3} - \dfrac{1}{3}\left[\dfrac{e^{3x}}{3}\right]_0^1\)
\(= \dfrac{e^3}{3} - \dfrac{1}{9}(e^3 - 1) = \dfrac{3e^3 - e^3 + 1}{9} = \dfrac{2e^3 + 1}{9} \approx 4{,}57\).
b) On pose \(v = \ln x\), \(u' = x\), donc \(v' = \dfrac{1}{x}\), \(u = \dfrac{x^2}{2}\).
\(\displaystyle\int_1^e x\ln x\,dx = \left[\dfrac{x^2}{2}\ln x\right]_1^e - \int_1^e \dfrac{x^2}{2} \times \dfrac{1}{x}\,dx = \dfrac{e^2}{2} - \dfrac{1}{2}\int_1^e x\,dx\)
\(= \dfrac{e^2}{2} - \dfrac{1}{2}\left[\dfrac{x^2}{2}\right]_1^e = \dfrac{e^2}{2} - \dfrac{e^2 - 1}{4} = \dfrac{2e^2 - e^2 + 1}{4} = \dfrac{e^2 + 1}{4} \approx 2{,}10\).
c) On pose \(v = t\), \(u' = \sin t\), donc \(v' = 1\), \(u = -\cos t\).
\(\displaystyle\int_0^{\pi} t\sin t\,dt = \big[-t\cos t\big]_0^{\pi} + \int_0^{\pi} \cos t\,dt = (-\pi\cos\pi + 0) + \big[\sin t\big]_0^{\pi}\)
\(= \pi + (0 - 0) = \pi \approx 3{,}14\).
On souhaite approcher \(\displaystyle\int_0^2 e^{-x^2}\,dx\) par la méthode des trapèzes avec \(n = 4\) sous-intervalles.
1) Calculer le pas \(h\) et les points \(x_k\) pour \(k = 0, 1, \ldots, 4\).
2) Compléter le tableau suivant (arrondir \(f(x_k)\) à 4 décimales) :
| \(x_k\) | 0 | 0,5 | 1 | 1,5 | 2 |
|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x_k) = e^{-x_k^2}\) |
3) Appliquer la formule des trapèzes et donner une approximation de l'intégrale.
1) \(h = \dfrac{2 - 0}{4} = 0{,}5\). Points : \(x_0 = 0\), \(x_1 = 0{,}5\), \(x_2 = 1\), \(x_3 = 1{,}5\), \(x_4 = 2\).
2)
| \(x_k\) | 0 | 0,5 | 1 | 1,5 | 2 |
|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x_k)\) | 1,0000 | 0,7788 | 0,3679 | 0,1054 | 0,0183 |
3) \(I \approx \dfrac{h}{2}\big[f(x_0) + f(x_4) + 2(f(x_1) + f(x_2) + f(x_3))\big]\)
\(= \dfrac{0{,}5}{2}\big[1{,}0000 + 0{,}0183 + 2(0{,}7788 + 0{,}3679 + 0{,}1054)\big]\)
\(= 0{,}25 \times [1{,}0183 + 2 \times 1{,}2521] = 0{,}25 \times 3{,}5225 \approx 0{,}8806\).
(Valeur exacte \(\approx 0{,}8821\), erreur relative \(\approx 0{,}2\,\%\).)
On reprend l'intégrale \(\displaystyle\int_0^2 e^{-x^2}\,dx\) avec la méthode des rectangles au point milieu, \(n = 4\).
1) Calculer les points milieux \(m_k = x_k + \dfrac{h}{2}\) pour \(k = 0, 1, 2, 3\).
2) Calculer \(f(m_k)\) pour chaque \(k\) (arrondir à 4 décimales).
3) Donner l'approximation et comparer avec la méthode des trapèzes.
1) \(h = 0{,}5\). Les milieux sont \(m_0 = 0{,}25\), \(m_1 = 0{,}75\), \(m_2 = 1{,}25\), \(m_3 = 1{,}75\).
2)
| \(m_k\) | 0,25 | 0,75 | 1,25 | 1,75 |
|---|---|---|---|---|
| \(f(m_k)\) | 0,9394 | 0,5698 | 0,2096 | 0,0468 |
3) \(I \approx h \times \big[f(m_0) + f(m_1) + f(m_2) + f(m_3)\big]\)
\(= 0{,}5 \times (0{,}9394 + 0{,}5698 + 0{,}2096 + 0{,}0468) = 0{,}5 \times 1{,}7656 \approx 0{,}8828\).
Comparaison : trapèzes \(\approx 0{,}8806\), rectangles \(\approx 0{,}8828\), valeur exacte \(\approx 0{,}8821\). Les deux méthodes donnent une bonne approximation avec seulement 4 sous-intervalles.
Un pont redresseur transforme un signal sinusoïdal \(u(t) = 325\sin(100\pi t)\) (tension secteur) en un signal redressé \(v(t) = |u(t)| = 325|\sin(100\pi t)|\).
La période du signal redressé est \(T' = T/2 = 0{,}01\) s.
1) Justifier que \(v(t) = 325\sin(100\pi t)\) sur \([0\,;\,0{,}01]\).
2) Calculer la valeur moyenne de \(v\) sur une période \(T'\).
3) Calculer la valeur efficace de \(v\). Compare-t-elle à celle du signal non redressé ?
1) Sur \([0\,;\,0{,}01]\), on a \(100\pi t \in [0\,;\,\pi]\), donc \(\sin(100\pi t) \geq 0\) et \(|\sin(100\pi t)| = \sin(100\pi t)\).
2) \(\langle v \rangle = \dfrac{1}{T'}\displaystyle\int_0^{T'} 325\sin(100\pi t)\,dt = \dfrac{325}{0{,}01}\left[-\dfrac{\cos(100\pi t)}{100\pi}\right]_0^{0{,}01}\)
\(= 32\,500 \times \dfrac{1}{100\pi}[-\cos\pi + \cos 0] = \dfrac{325}{\pi} \times 2 = \dfrac{650}{\pi} \approx 206{,}9\) V.
3) \(V_{\text{eff}}^2 = \dfrac{1}{T'}\displaystyle\int_0^{T'} 325^2\sin^2(100\pi t)\,dt = \dfrac{325^2}{2}\) (même calcul que pour le signal non redressé).
\(V_{\text{eff}} = \dfrac{325}{\sqrt{2}} \approx 230\) V.
La valeur efficace est identique à celle du signal non redressé. Le redressement ne modifie pas la valeur efficace.
Un technicien en Fluides, Énergies, Domotique doit dimensionner un disjoncteur pour un circuit alimenté par un courant non sinusoïdal. Le courant est modélisé par :
\[i(t) = 8\sin(100\pi t) + 2\sin(300\pi t) + \sin(500\pi t)\]
en ampères, de période \(T = 0{,}02\) s.
1) Calculer la valeur moyenne du courant sur une période.
2) On admet la propriété d'orthogonalité : pour \(n \neq m\), \(\displaystyle\int_0^T \sin(n\omega t)\sin(m\omega t)\,dt = 0\) avec \(\omega = 100\pi\). En utilisant cette propriété, montrer que :
\[I_{\text{eff}}^2 = \frac{8^2}{2} + \frac{2^2}{2} + \frac{1^2}{2}\]
3) En déduire \(I_{\text{eff}}\) et proposer un calibre normalisé pour le disjoncteur (calibres disponibles : 6, 10, 16, 20, 25, 32 A).
1) Chaque composante est sinusoïdale de fréquence multiple de \(50\) Hz. La valeur moyenne de \(\sin(n\omega t)\) sur une période est nulle pour tout \(n \geq 1\). Donc \(\langle i \rangle = 0\) A.
2) \(I_{\text{eff}}^2 = \dfrac{1}{T}\displaystyle\int_0^T i(t)^2\,dt\).
En développant \(i(t)^2\), on obtient des termes en \(\sin^2(n\omega t)\) et des termes croisés \(\sin(n\omega t)\sin(m\omega t)\). D'après la propriété d'orthogonalité, les termes croisés s'annulent.
Pour chaque terme \(A_n\sin(n\omega t)\), la contribution est \(\dfrac{A_n^2}{T}\displaystyle\int_0^T \sin^2(n\omega t)\,dt = \dfrac{A_n^2}{2}\).
Donc \(I_{\text{eff}}^2 = \dfrac{64}{2} + \dfrac{4}{2} + \dfrac{1}{2} = 32 + 2 + 0{,}5 = 34{,}5\).
3) \(I_{\text{eff}} = \sqrt{34{,}5} \approx 5{,}87\) A.
Le calibre normalisé immédiatement supérieur est 6 A. En pratique, pour avoir une marge de sécurité, on pourrait choisir un calibre de 10 A.
Un dessinateur-projeteur en charpente bois doit calculer le centre de gravité d'une section en I composée de trois rectangles :
On prend l'origine en bas de la semelle inférieure.
1) Calculer l'aire \(A_i\) et l'ordonnée du centre de gravité \(y_i\) de chaque rectangle.
2) En utilisant la formule \(\bar{y} = \dfrac{\sum A_i\,y_i}{\sum A_i}\), déterminer la position du centre de gravité de la section complète.
3) Le résultat est-il plus proche de la semelle inférieure ou supérieure ? Interpréter.
1)
2) \(A_{\text{total}} = 3\,750 + 5\,400 + 2\,400 = 11\,550\) mm².
\(\bar{y} = \dfrac{3\,750 \times 12{,}5 + 5\,400 \times 115 + 2\,400 \times 215}{11\,550}\)
\(= \dfrac{46\,875 + 621\,000 + 516\,000}{11\,550} = \dfrac{1\,183\,875}{11\,550} \approx 102{,}5\) mm.
3) Le centre de gravité est à 102,5 mm de la base, soit environ au milieu de l'âme mais légèrement en-dessous du centre géométrique (112,5 mm). Il est plus proche de la semelle inférieure, ce qui est logique car celle-ci est plus large (et donc plus lourde) que la semelle supérieure.
Un ébéniste tourne un pied de meuble sur un tour à bois. Le profil du pied est défini par la fonction donnant le rayon en fonction de la position \(x\) (en cm) le long de l'axe :
\[r(x) = 3 - 0{,}5\cos\!\left(\frac{\pi x}{15}\right) \quad \text{pour } x \in [0\,;\,30]\]
1) Calculer \(r(0)\), \(r(15)\) et \(r(30)\). Interpréter la forme du pied.
2) Le volume d'un solide de révolution est \(V = \pi\displaystyle\int_0^{30} [r(x)]^2\,dx\). Développer \([r(x)]^2\) en utilisant l'identité \(\cos^2\theta = \dfrac{1 + \cos 2\theta}{2}\).
3) Calculer l'intégrale et en déduire le volume du pied en cm³ puis en litres.
1) \(r(0) = 3 - 0{,}5\cos(0) = 3 - 0{,}5 = 2{,}5\) cm.
\(r(15) = 3 - 0{,}5\cos(\pi) = 3 + 0{,}5 = 3{,}5\) cm.
\(r(30) = 3 - 0{,}5\cos(2\pi) = 2{,}5\) cm.
Le pied est plus fin aux extrémités (rayon 2,5 cm) et plus épais au milieu (rayon 3,5 cm), formant un renflement central (profil en « balustre »).
2) \([r(x)]^2 = \left(3 - 0{,}5\cos\dfrac{\pi x}{15}\right)^2 = 9 - 3\cos\dfrac{\pi x}{15} + 0{,}25\cos^2\dfrac{\pi x}{15}\)
\(= 9 - 3\cos\dfrac{\pi x}{15} + 0{,}25 \times \dfrac{1 + \cos\dfrac{2\pi x}{15}}{2}\)
\(= 9 - 3\cos\dfrac{\pi x}{15} + 0{,}125 + 0{,}125\cos\dfrac{2\pi x}{15}\)
\(= 9{,}125 - 3\cos\dfrac{\pi x}{15} + 0{,}125\cos\dfrac{2\pi x}{15}\)
3) \(\displaystyle\int_0^{30}\left(9{,}125 - 3\cos\dfrac{\pi x}{15} + 0{,}125\cos\dfrac{2\pi x}{15}\right)dx\)
\(= \left[9{,}125\,x - 3 \times \dfrac{15}{\pi}\sin\dfrac{\pi x}{15} + 0{,}125 \times \dfrac{15}{2\pi}\sin\dfrac{2\pi x}{15}\right]_0^{30}\)
\(= \left[9{,}125 \times 30 - \dfrac{45}{\pi}\sin(2\pi) + \dfrac{0{,}9375}{\pi}\sin(4\pi)\right] - 0\)
\(= 273{,}75 - 0 + 0 = 273{,}75\).
\(V = \pi \times 273{,}75 \approx 859{,}8\) cm³ \(\approx 0{,}86\) litre.