Exercices par capacités · BTS
Dernière mise à jour : 21 juin 2026
Déterminer une primitive de chaque fonction :
Déterminer une primitive de \(f(x) = 2\,e^{x} - \cos x + 5\).
Par linéarité : \(F(x) = 2e^x - \sin x + 5x\) (\(+C\)).
Déterminer une primitive des fonctions composées suivantes :
Déterminer une primitive de \(f(x) = (2x + 1)^4\), puis de \(k(t) = 5\sin\!\left(3t - \dfrac{\pi}{6}\right)\).
\(f\) : \(u = 2x + 1\), \(u' = 2\). On écrit \(f = \dfrac{1}{2}\times 2\times(2x+1)^4 = \dfrac{1}{2}u'u^4\). Primitive : \(\dfrac{1}{2}\times\dfrac{(2x+1)^5}{5} = \dfrac{(2x+1)^5}{10}\).
\(k\) : une primitive de \(\sin(3t - \frac{\pi}{6})\) est \(-\dfrac{1}{3}\cos(3t - \frac{\pi}{6})\). Donc \(K(t) = -\dfrac{5}{3}\cos\!\left(3t - \dfrac{\pi}{6}\right)\).
Déterminer la primitive \(F\) de \(f(x) = 3x^2 - 4\) telle que \(F(1) = 5\).
Les primitives sont \(F(x) = x^3 - 4x + C\).
Condition : \(F(1) = 1 - 4 + C = -3 + C = 5\), donc \(C = 8\).
\(F(x) = x^3 - 4x + 8\).
Calculer \(\displaystyle\int_1^3 (2x + 1)\,dx\).
Primitive : \(F(x) = x^2 + x\).
\(\displaystyle\int_1^3 (2x + 1)\,dx = \big[x^2 + x\big]_1^3 = (9 + 3) - (1 + 1) = 12 - 2 = 10\).
Calculer les intégrales :
Calculer \(\displaystyle\int_0^1 e^{2x}\,dx\).
Primitive de \(e^{2x}\) : \(\dfrac{1}{2}e^{2x}\).
\(\displaystyle\int_0^1 e^{2x}\,dx = \left[\dfrac{1}{2}e^{2x}\right]_0^1 = \dfrac{1}{2}e^2 - \dfrac{1}{2} = \dfrac{e^2 - 1}{2} \approx 3{,}19\).
Calculer \(\displaystyle\int_0^{\pi/2} \cos(2t)\,dt\).
Primitive de \(\cos(2t)\) : \(\dfrac{1}{2}\sin(2t)\).
\(\displaystyle\int_0^{\pi/2}\cos(2t)\,dt = \left[\dfrac{1}{2}\sin(2t)\right]_0^{\pi/2} = \dfrac{1}{2}\sin\pi - \dfrac{1}{2}\sin 0 = 0 - 0 = 0\).
Calculer \(\displaystyle\int_0^1 \dfrac{2x}{x^2 + 1}\,dx\).
On reconnaît \(\dfrac{u'}{u}\) avec \(u = x^2 + 1\). Primitive : \(\ln(x^2 + 1)\).
\(\displaystyle\int_0^1 \dfrac{2x}{x^2 + 1}\,dx = \big[\ln(x^2 + 1)\big]_0^1 = \ln 2 - \ln 1 = \ln 2 \approx 0{,}693\).
On donne \(\displaystyle\int_0^2 f(x)\,dx = 3\) et \(\displaystyle\int_2^5 f(x)\,dx = 7\). En utilisant la relation de Chasles, calculer \(\displaystyle\int_0^5 f(x)\,dx\) et \(\displaystyle\int_5^0 f(x)\,dx\).
Chasles : \(\displaystyle\int_0^5 f = \int_0^2 f + \int_2^5 f = 3 + 7 = 10\).
Inversion des bornes : \(\displaystyle\int_5^0 f = -\int_0^5 f = -10\).
On donne \(\displaystyle\int_0^1 f(x)\,dx = 4\) et \(\displaystyle\int_0^1 g(x)\,dx = -1\). Par linéarité, calculer \(\displaystyle\int_0^1 \big(2f(x) + 3g(x)\big)\,dx\).
\(\displaystyle\int_0^1 (2f + 3g) = 2\int_0^1 f + 3\int_0^1 g = 2\times 4 + 3\times(-1) = 8 - 3 = 5\).
Soit \(f(x) = -0{,}5x^2 + 3\), positive sur \([0\,;\,2]\). Calculer l'aire (en unités d'aire) du domaine compris entre la courbe, l'axe des abscisses et les droites \(x = 0\), \(x = 2\).
Sur \([0\,;\,2]\), \(f \geq 0\) donc l'aire vaut \(\displaystyle\int_0^2 (-0{,}5x^2 + 3)\,dx\).
\(= \left[-\dfrac{0{,}5\,x^3}{3} + 3x\right]_0^2 = \left[-\dfrac{x^3}{6} + 3x\right]_0^2 = \left(-\dfrac{8}{6} + 6\right) - 0 = -\dfrac{4}{3} + 6 = \dfrac{14}{3}\).
L'aire vaut \(\dfrac{14}{3} \approx 4{,}67\) u.a.
Calculer l'aire comprise entre la courbe de \(f(x) = x^2 - 1\) et l'axe des abscisses sur \([0\,;\,2]\) (attention au changement de signe).
\(f(x) = 0 \Leftrightarrow x = 1\). Sur \([0\,;\,1]\), \(f \leq 0\) ; sur \([1\,;\,2]\), \(f \geq 0\).
\(\mathcal{A} = -\displaystyle\int_0^1 (x^2 - 1)\,dx + \int_1^2 (x^2 - 1)\,dx\).
Primitive : \(\dfrac{x^3}{3} - x\). Sur \([0\,;\,1]\) : \(\left(\dfrac{1}{3} - 1\right) - 0 = -\dfrac{2}{3}\), donc \(-(-\frac{2}{3}) = \dfrac{2}{3}\).
Sur \([1\,;\,2]\) : \(\left(\dfrac{8}{3} - 2\right) - \left(\dfrac{1}{3} - 1\right) = \dfrac{2}{3} + \dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{3}\).
\(\mathcal{A} = \dfrac{2}{3} + \dfrac{4}{3} = 2\) u.a.
Calculer l'aire comprise entre les courbes de \(f(x) = x^2\) et \(g(x) = x\) sur \([0\,;\,1]\).
Sur \([0\,;\,1]\), \(x \geq x^2\), donc \(g \geq f\).
\(\mathcal{A} = \displaystyle\int_0^1 (x - x^2)\,dx = \left[\dfrac{x^2}{2} - \dfrac{x^3}{3}\right]_0^1 = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{6}\) u.a.
Calculer la valeur moyenne de \(f(x) = x^2\) sur \([0\,;\,3]\).
\(\mu = \dfrac{1}{3 - 0}\displaystyle\int_0^3 x^2\,dx = \dfrac{1}{3}\left[\dfrac{x^3}{3}\right]_0^3 = \dfrac{1}{3}\times\dfrac{27}{3} = \dfrac{1}{3}\times 9 = 3\).
Calculer la valeur moyenne de \(f(x) = 2x + 1\) sur \([1\,;\,4]\).
\(\mu = \dfrac{1}{4 - 1}\displaystyle\int_1^4 (2x + 1)\,dx = \dfrac{1}{3}\big[x^2 + x\big]_1^4\).
\(= \dfrac{1}{3}\big[(16 + 4) - (1 + 1)\big] = \dfrac{1}{3}(20 - 2) = \dfrac{18}{3} = 6\).
Un courant est modélisé par \(i(t) = 2 + 3\sin(100\pi t)\) (en ampères), de période \(T = 0{,}02\) s. Calculer la valeur moyenne de \(i\) sur une période et l'interpréter.
\(\langle i\rangle = \dfrac{1}{T}\displaystyle\int_0^T \big(2 + 3\sin(100\pi t)\big)\,dt\).
La moyenne d'un sinus sur une période entière est nulle, donc seule la constante contribue :
\(\langle i\rangle = \dfrac{1}{T}\times 2T = 2\) A.
La valeur moyenne est la composante continue (2 A) ; la partie sinusoïdale est la composante alternative superposée, de moyenne nulle.
Démontrer que la valeur efficace d'un signal sinusoïdal \(u(t) = U_m\sin(\omega t)\) de période \(T\) vaut \(U_{\text{eff}} = \dfrac{U_m}{\sqrt{2}}\).
\(U_{\text{eff}}^2 = \dfrac{1}{T}\displaystyle\int_0^T U_m^2\sin^2(\omega t)\,dt\). On linéarise : \(\sin^2(\omega t) = \dfrac{1 - \cos(2\omega t)}{2}\).
\(U_{\text{eff}}^2 = \dfrac{U_m^2}{2T}\displaystyle\int_0^T \big(1 - \cos(2\omega t)\big)\,dt = \dfrac{U_m^2}{2T}\left[t - \dfrac{\sin(2\omega t)}{2\omega}\right]_0^T\).
Sur une période, \(\sin(2\omega T) = \sin(0) = 0\), donc le crochet vaut \(T\) : \(U_{\text{eff}}^2 = \dfrac{U_m^2}{2T}\times T = \dfrac{U_m^2}{2}\).
D'où \(U_{\text{eff}} = \dfrac{U_m}{\sqrt{2}}\). \(\square\)
Un courant non sinusoïdal vaut \(i(t) = 10\sin(100\pi t) + 3\sin(300\pi t)\) (en A). En utilisant l'orthogonalité (les termes croisés ont une intégrale nulle sur une période), calculer la valeur efficace \(I_{\text{eff}}\).
La valeur efficace d'une somme de sinusoïdes de fréquences différentes se calcule par la somme des carrés des valeurs efficaces :
\(I_{\text{eff}}^2 = \dfrac{10^2}{2} + \dfrac{3^2}{2} = 50 + 4{,}5 = 54{,}5\).
\(I_{\text{eff}} = \sqrt{54{,}5} \approx 7{,}38\) A. (Un disjoncteur de calibre 10 A convient.)
Calculer \(\displaystyle\int x\,e^x\,dx\) par intégration par parties.
On pose \(v = x\) (à dériver, \(v' = 1\)) et \(u' = e^x\) (à primitiver, \(u = e^x\)).
\(\displaystyle\int x\,e^x\,dx = x\,e^x - \int 1\times e^x\,dx = x\,e^x - e^x + C = (x - 1)e^x + C\).
Vérification : \(\big[(x-1)e^x\big]' = e^x + (x-1)e^x = x\,e^x\). Correct.
Calculer \(\displaystyle\int_1^e \ln x\,dx\) par intégration par parties.
On écrit \(\ln x = 1\times\ln x\) : \(v = \ln x\) (\(v' = \frac{1}{x}\)), \(u' = 1\) (\(u = x\)).
\(\displaystyle\int_1^e \ln x\,dx = \big[x\ln x\big]_1^e - \int_1^e x\times\dfrac{1}{x}\,dx = (e\times 1 - 1\times 0) - \int_1^e 1\,dx\).
\(= e - \big[x\big]_1^e = e - (e - 1) = 1\).
Calculer \(\displaystyle\int_0^1 x\,e^{2x}\,dx\) par intégration par parties.
\(v = x\) (\(v' = 1\)), \(u' = e^{2x}\) (\(u = \frac{1}{2}e^{2x}\)).
\(\displaystyle\int_0^1 x\,e^{2x}\,dx = \left[\dfrac{x}{2}e^{2x}\right]_0^1 - \int_0^1 \dfrac{1}{2}e^{2x}\,dx = \dfrac{1}{2}e^2 - 0 - \dfrac{1}{2}\left[\dfrac{e^{2x}}{2}\right]_0^1\).
\(= \dfrac{e^2}{2} - \dfrac{1}{4}(e^2 - 1) = \dfrac{2e^2 - e^2 + 1}{4} = \dfrac{e^2 + 1}{4} \approx 2{,}10\).
Calculer \(\displaystyle\int_0^{\pi} x\cos x\,dx\) par intégration par parties.
\(v = x\) (\(v' = 1\)), \(u' = \cos x\) (\(u = \sin x\)).
\(\displaystyle\int_0^{\pi} x\cos x\,dx = \big[x\sin x\big]_0^{\pi} - \int_0^{\pi}\sin x\,dx\).
\(\big[x\sin x\big]_0^{\pi} = \pi\sin\pi - 0 = 0\). Et \(\displaystyle\int_0^{\pi}\sin x\,dx = \big[-\cos x\big]_0^{\pi} = 1 + 1 = 2\).
Résultat : \(0 - 2 = -2\).
Un technicien mesure le débit \(Q(t)\) (en L/min) toutes les 10 minutes. Estimer le volume total écoulé en 1 heure par la méthode des trapèzes.
| \(t\) (min) | 0 | 10 | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(Q(t)\) | 12 | 15 | 18 | 20 | 17 | 14 | 11 |
Pas \(h = 10\) min, \(n = 6\) intervalles. Formule des trapèzes :
\(V \approx \dfrac{h}{2}\big[Q(0) + Q(60) + 2(Q(10) + Q(20) + Q(30) + Q(40) + Q(50))\big]\).
\(= \dfrac{10}{2}\big[12 + 11 + 2(15 + 18 + 20 + 17 + 14)\big] = 5\big[23 + 2\times 84\big] = 5\times 191 = 955\).
Le volume écoulé est d'environ 955 litres.