Calcul intégral | BTS | Mathématiques
Dernière mise à jour : 21 octobre 2026
Un bureau d'études vérifie le fonctionnement d'un vérin qui déplace un chariot le long d'un rail de guidage horizontal, sur une course totale de 15 m. En raison de la géométrie du mécanisme, la force motrice \(F(x)\) exercée par le vérin (en newtons) décroît linéairement en fonction de la position \(x\) du chariot (en mètres) : \[F(x) = 300 - 15x, \quad x \in [0\,;\,15]\] Le travail \(W\) fourni par le vérin sur ce trajet est donné par \(W = \displaystyle\int_0^{15} F(x)\,dx\) (en joules).
1. Déterminer une primitive \(F\) de la fonction \(f(x) = 300 - 15x\). (1 pt)
2. En déduire le travail \(W = \displaystyle\int_0^{15} f(x)\,dx\) fourni par le vérin sur l'ensemble de la course. (2 pts)
3. Calculer la valeur moyenne de la force sur l'intervalle \([0\,;\,15]\). Interpréter ce résultat en le reliant au travail \(W\) calculé à la question précédente. (2 pts)
1. Une primitive de \(f(x) = 300 - 15x\) est \(F(x) = 300x - \dfrac{15x^2}{2} = 300x - 7{,}5x^2\).
2. \(W = \big[F(x)\big]_0^{15} = \big(300 \times 15 - 7{,}5 \times 15^2\big) - \big(0\big) = 4\,500 - 1\,687{,}5 = 2\,812{,}5\) J.
3. La valeur moyenne de \(F\) sur \([0\,;\,15]\) est \(\mu = \dfrac{1}{15-0}\displaystyle\int_0^{15} F(x)\,dx = \dfrac{2\,812{,}5}{15} = 187{,}5\) N.
Interprétation : \(\mu\) est la force constante qui, appliquée sur la même course de 15 m, produirait exactement le même travail : \(\mu \times 15 = 187{,}5 \times 15 = 2\,812{,}5\) J \(= W\). Cela confirme le résultat de la question 2.
Un technicien de maintenance électrique mesure une tension parasite superposée à une composante continue sur une ligne basse tension. Cette tension est modélisée par : \[u(t) = 8 + 5\cos(100\pi t) \quad \text{(en volts, } t \text{ en secondes)}\] Le signal est périodique, de période \(T = 0{,}02\) s.
1. Calculer la valeur moyenne \(\langle u \rangle\) de la tension sur une période. (2 pts)
2. Montrer que la valeur efficace \(U_{\text{eff}}\) vérifie \(U_{\text{eff}}^2 = 76{,}5\), puis en donner une valeur approchée arrondie au centième. (3 pts)
1. \(\langle u \rangle = \dfrac{1}{T}\displaystyle\int_0^T u(t)\,dt = \dfrac{1}{T}\int_0^T \big(8 + 5\cos(100\pi t)\big)\,dt\).
Une primitive de \(\cos(100\pi t)\) est \(\dfrac{1}{100\pi}\sin(100\pi t)\), qui reprend la même valeur en \(t=0\) et \(t=T\) (car \(\sin(100\pi T) = \sin(2\pi) = 0 = \sin(0)\)) : le terme en cosinus a une intégrale nulle sur une période.
Il reste \(\langle u \rangle = \dfrac{1}{T}\displaystyle\int_0^T 8\,dt = 8\) V.
2. \(u(t)^2 = 64 + 80\cos(100\pi t) + 25\cos^2(100\pi t)\).
En utilisant \(\cos^2\theta = \dfrac{1+\cos(2\theta)}{2}\) : \(25\cos^2(100\pi t) = 12{,}5 + 12{,}5\cos(200\pi t)\).
Donc \(u(t)^2 = 76{,}5 + 80\cos(100\pi t) + 12{,}5\cos(200\pi t)\).
Les fonctions \(\cos(100\pi t)\) et \(\cos(200\pi t)\) ont toutes deux une intégrale nulle sur la période \(T\) (période de \(\cos(200\pi t)\) : \(T/2\), qui « rentre » exactement dans \(T\)). Il reste :
\(U_{\text{eff}}^2 = \dfrac{1}{T}\displaystyle\int_0^T u(t)^2\,dt = 76{,}5\).
D'où \(U_{\text{eff}} = \sqrt{76{,}5} \approx 8{,}75\) V.
Une entreprise investit dans un nouvel équipement de production. Le flux de revenu qu'il génère croît linéairement au cours du temps, mais sa valeur est actualisée (dépréciée) de façon exponentielle en raison du coût de l'argent. Le débit instantané de revenu est modélisé par : \[r(t) = (2\,000 + 500t)\,e^{-0{,}1t} \quad \text{(en euros par an)}, \quad t \in [0\,;\,5] \text{ (t en années)}\] La valeur totale actualisée des revenus sur les 5 premières années est \(V = \displaystyle\int_0^5 r(t)\,dt\) (en euros).
1. On pose \(v(t) = 2\,000 + 500t\) et \(u'(t) = e^{-0{,}1t}\). Donner \(v'(t)\), puis une primitive \(u(t)\) de \(u'(t)\). (2 pts)
2. À l'aide d'une intégration par parties, calculer \(V\). On donnera la valeur exacte, puis une valeur approchée à l'euro près. (3 pts)
1. \(v'(t) = 500\). Une primitive de \(u'(t) = e^{-0{,}1t}\) est \(u(t) = \dfrac{1}{-0{,}1}e^{-0{,}1t} = -10\,e^{-0{,}1t}\).
2. D'après la formule d'intégration par parties :
\(V = \displaystyle\int_0^5 u'(t)\,v(t)\,dt = \big[u(t)\,v(t)\big]_0^5 - \int_0^5 u(t)\,v'(t)\,dt\)
\(= \Big[-10\,e^{-0{,}1t}(2\,000+500t)\Big]_0^5 - \displaystyle\int_0^5 \big(-10\,e^{-0{,}1t}\big)(500)\,dt\)
\(= \Big[-10\,e^{-0{,}1t}(2\,000+500t)\Big]_0^5 + 5\,000\displaystyle\int_0^5 e^{-0{,}1t}\,dt\)
Premier terme : en \(t=5\), \(-10\,e^{-0{,}5}(4\,500) = -45\,000\,e^{-0{,}5}\) ; en \(t=0\), \(-10 \times 2\,000 = -20\,000\).
\(\Big[-10\,e^{-0{,}1t}(2\,000+500t)\Big]_0^5 = -45\,000\,e^{-0{,}5} - (-20\,000) = 20\,000 - 45\,000\,e^{-0{,}5}\)
Second terme : \(5\,000\displaystyle\int_0^5 e^{-0{,}1t}\,dt = 5\,000\Big[-10\,e^{-0{,}1t}\Big]_0^5 = 5\,000\big(-10\,e^{-0{,}5}+10\big) = 50\,000 - 50\,000\,e^{-0{,}5}\)
\(V = \big(20\,000 - 45\,000\,e^{-0{,}5}\big) + \big(50\,000 - 50\,000\,e^{-0{,}5}\big) = 70\,000 - 95\,000\,e^{-0{,}5}\)
Valeur approchée : \(e^{-0{,}5} \approx 0{,}6065\), donc \(V \approx 70\,000 - 57\,620 \approx 12\,380\) €.
Un technicien d'usinage programme une fraiseuse à commande numérique (CN) pour évider une plaque métallique. La zone à évider est la région du plan comprise entre les courbes des fonctions \(f\) et \(g\) définies sur \(\mathbb{R}\) par : \[f(x) = x^2 \qquad \text{et} \qquad g(x) = 4x\] (dimensions en centimètres).
1. Résoudre l'équation \(f(x) = g(x)\) et en déduire les bornes \(a\) et \(b\) (\(a < b\)) de la zone usinée. (2 pts)
2. Justifier que \(g(x) \geq f(x)\) sur \([a\,;\,b]\). (1 pt)
3. Calculer l'aire \(\mathcal{A}\) de la zone évidée. (2 pts)
1. \(f(x) = g(x) \Leftrightarrow x^2 = 4x \Leftrightarrow x^2 - 4x = 0 \Leftrightarrow x(x-4) = 0 \Leftrightarrow x = 0 \text{ ou } x = 4\).
Les bornes de la zone usinée sont donc \(a = 0\) et \(b = 4\).
2. \(g(x) - f(x) = 4x - x^2 = x(4-x)\). Sur \([0\,;\,4]\), on a \(x \geq 0\) et \(4-x \geq 0\), donc \(g(x) - f(x) \geq 0\), c'est-à-dire \(g(x) \geq f(x)\).
3. \(\mathcal{A} = \displaystyle\int_0^4 \big[g(x) - f(x)\big]\,dx = \int_0^4 (4x - x^2)\,dx = \left[2x^2 - \dfrac{x^3}{3}\right]_0^4\)
\(= \left(2 \times 16 - \dfrac{64}{3}\right) - 0 = 32 - \dfrac{64}{3} = \dfrac{96 - 64}{3} = \dfrac{32}{3} \approx 10{,}67\) cm².