Chapitre 3 – Fonctions pour le traitement du signal
BTS | Mathématiques | Groupements B1, B2, B3
Dernière mise à jour : mars 2026
Objectifs du chapitre :
Maîtriser les fonctions trigonométriques et les formules d'addition, de duplication et de linéarisation
Décrire et analyser un signal sinusoïdal : amplitude, pulsation, phase, fréquence, période
Calculer la valeur efficace d'un signal sinusoïdal par intégration
Comprendre la notion de décomposition harmonique (analyse de Fourier, niveau introductif)
Étudier les fonctions hyperboliques et leurs propriétés (groupements B2, B3)
Analyser un signal amorti de la forme \(f(t) = A\,e^{at}\cos(\omega t + \varphi)\)
Appliquer ces outils au courant alternatif, à la puissance électrique et à l'acoustique du bâtiment
Situation professionnelle
Signaux en électrotechnique et en acoustique du bâtiment
Un technicien en électrotechnique mesure à l'oscilloscope la tension d'alimentation d'un moteur industriel. L'écran affiche une courbe périodique sinusoïdale de fréquence 50 Hz. Comment lire l'amplitude, la période et la phase de ce signal ? Comment calculer la valeur efficace utilisée dans les calculs de puissance ?
Un ingénieur acousticien étudie la propagation sonore dans une salle de concert dont les murs sont traités par des panneaux absorbants. Le niveau sonore décroît en suivant un signal amorti : l'amplitude diminue exponentiellement après l'arrêt de la source. Quel modèle mathématique décrit ce phénomène ?
Un bureau d'études en génie climatique (chauffage, ventilation, climatisation) doit analyser les harmoniques du courant absorbé par un variateur de fréquence. Cette analyse repose sur la décomposition de Fourier d'un signal périodique non sinusoïdal.
Tous ces problèmes font appel aux fonctions trigonométriques, aux fonctions exponentielles complexes et aux outils du traitement du signal.
1. Fonctions trigonométriques — Rappels et compléments
1.1 Définitions sur le cercle trigonométrique
Définition — Cosinus et sinus
Soit \(M\) le point du cercle trigonométrique (cercle de centre \(O\) et de rayon 1) associé à l'angle orienté \(\theta\) (en radians). On définit :
\[\cos\theta = \text{abscisse de } M, \qquad \sin\theta = \text{ordonnée de } M\]
On a toujours \(\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1\) (relation fondamentale de la trigonométrie).
Définition — Tangente
Pour \(\theta \neq \dfrac{\pi}{2} + k\pi\) (\(k \in \mathbb{Z}\)), on définit :
\[\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}\]
1.2 Valeurs remarquables
Valeurs remarquables à connaître
Angle \(\theta\)
\(0\)
\(\dfrac{\pi}{6}\)
\(\dfrac{\pi}{4}\)
\(\dfrac{\pi}{3}\)
\(\dfrac{\pi}{2}\)
\(\pi\)
\(\cos\theta\)
\(1\)
\(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
\(\dfrac{1}{2}\)
\(0\)
\(-1\)
\(\sin\theta\)
\(0\)
\(\dfrac{1}{2}\)
\(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
\(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
\(1\)
\(0\)
\(\tan\theta\)
\(0\)
\(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)
\(1\)
\(\sqrt{3}\)
non défini
\(0\)
1.3 Formules d'addition
Propriété — Formules d'addition
Pour tous réels \(a\) et \(b\) :
\[\cos(a + b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b\]
\[\cos(a - b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b\]
\[\sin(a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b\]
\[\sin(a - b) = \sin a \cos b - \cos a \sin b\]
Formules d'addition — à mémoriser
\[\cos(a \pm b) = \cos a \cos b \mp \sin a \sin b\]
\[\sin(a \pm b) = \sin a \cos b \pm \cos a \sin b\]
Exemple — Valeur exacte de \(\cos(75°)\)
On écrit \(75° = 45° + 30°\), soit \(\dfrac{5\pi}{12} = \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{\pi}{6}\).
Propriété — Formules de duplication
En posant \(b = a\) dans les formules d'addition :
\[\cos(2a) = \cos^2 a - \sin^2 a = 2\cos^2 a - 1 = 1 - 2\sin^2 a\]
\[\sin(2a) = 2\sin a \cos a\]
\[\tan(2a) = \frac{2\tan a}{1 - \tan^2 a} \qquad \text{(si } \tan a \neq \pm 1\text{)}\]
Attention
Les trois expressions de \(\cos(2a)\) sont toutes correctes. Selon le contexte (linéarisation, simplification), on choisit la forme la plus utile :
\(2\cos^2 a - 1\) pour exprimer \(\cos^2 a\) en fonction de \(\cos(2a)\)
\(1 - 2\sin^2 a\) pour exprimer \(\sin^2 a\) en fonction de \(\cos(2a)\)
1.5 Formules de linéarisation
Propriété — Linéarisation de \(\cos^2 a\), \(\sin^2 a\) et \(\cos a \sin a\)
Des formules de duplication, on tire directement :
\[\cos^2 a = \frac{1 + \cos(2a)}{2}\]
\[\sin^2 a = \frac{1 - \cos(2a)}{2}\]
\[\cos a \sin a = \frac{\sin(2a)}{2}\]
Linéarisation — à mémoriser
\[\cos^2 a = \frac{1 + \cos(2a)}{2}, \qquad \sin^2 a = \frac{1 - \cos(2a)}{2}\]
Méthode — Linéariser une expression trigonométrique
Repérer les puissances ou produits de fonctions trigonométriques.
Appliquer les formules de linéarisation pour les remplacer par des sommes de cosinus ou sinus à angle simple ou double.
Simplifier l'expression obtenue.
La linéarisation est particulièrement utile pour calculer des intégrales de fonctions trigonométriques ou pour identifier les fréquences présentes dans un signal.
Exemple — Linéarisation de \(\cos^2(\omega t)\)
On applique la formule : \(\cos^2(\omega t) = \dfrac{1 + \cos(2\omega t)}{2}\).
Ce résultat montre qu'un signal de la forme \(\cos^2(\omega t)\) est composé d'une composante continue (\(\frac{1}{2}\)) et d'une harmonique de fréquence double (\(\frac{1}{2}\cos(2\omega t)\)).
2. Signal sinusoïdal — Forme générale
2.1 Définition et paramètres
Définition — Signal sinusoïdal
Un signal sinusoïdal est une fonction du temps de la forme :
\[\boxed{u(t) = U_m \cos(\omega t + \varphi)}\]
où :
\(U_m > 0\) est la valeur maximale (ou amplitude) — en volts (V), ampères (A), pascals (Pa)...
\(\omega > 0\) est la pulsation (ou vitesse angulaire) — en radians par seconde (rad/s)
\(\varphi\) est la phase à l'origine (ou déphasage initial) — en radians (rad)
\(t\) est le temps — en secondes (s)
Propriété — Fréquence et période
Le signal \(u(t) = U_m\cos(\omega t + \varphi)\) est périodique. Sa période \(T\) et sa fréquence \(f\) sont liées à la pulsation par :
\[\boxed{T = \frac{2\pi}{\omega}} \qquad \boxed{f = \frac{1}{T} = \frac{\omega}{2\pi}}\]
On a donc : \(\omega = 2\pi f\).
Relations fondamentales signal sinusoïdal
\[u(t) = U_m\cos(\omega t + \varphi), \quad \omega = \frac{2\pi}{T} = 2\pi f, \quad f = \frac{1}{T}\]
Exemple — Tension du réseau 50 Hz
Le réseau électrique français fournit une tension sinusoïdale de fréquence \(f = 50\,\text{Hz}\) et de valeur efficace \(U = 230\,\text{V}\) (valeur efficace, voir §3).
La valeur maximale est \(U_m = U\sqrt{2} = 230\sqrt{2} \approx 325\,\text{V}\).
La période : \(T = \dfrac{1}{50} = 0{,}02\,\text{s} = 20\,\text{ms}\).
Avec une phase nulle : \(u(t) = 325\cos(100\pi t)\,\text{V}\).
2.2 Interprétation graphique des paramètres
Méthode — Lire les paramètres d'un signal sinusoïdal sur un graphe
Amplitude \(U_m\) : demi-écart entre le maximum et le minimum de la courbe (\(U_m = \frac{u_{\max} - u_{\min}}{2}\)).
Période \(T\) : durée d'un cycle complet (entre deux maxima consécutifs, par exemple).
Pulsation \(\omega\) : calculée par \(\omega = \dfrac{2\pi}{T}\).
Phase \(\varphi\) : déterminée par la valeur à l'origine \(u(0) = U_m\cos\varphi\). Si \(u(0) = 0\) et \(u\) est croissant en \(t = 0\), alors \(\varphi = -\pi/2\) (signal en sinus).
Attention — Cosinus ou sinus ?
Par convention, on utilise ici \(u(t) = U_m\cos(\omega t + \varphi)\). On peut aussi écrire avec le sinus :
\[u(t) = U_m\sin(\omega t + \psi) = U_m\cos\!\left(\omega t + \psi - \frac{\pi}{2}\right)\]
Les deux formes sont équivalentes. En électrotechnique, la convention cosinus est dominante.
Signal sinusoïdal \(u(t) = 325\cos(100\pi t)\) — réseau 50 Hz
2.3 Déphasage entre deux signaux
Définition — Déphasage
Soient deux signaux sinusoïdaux de même pulsation \(\omega\) :
\[u(t) = U_m\cos(\omega t + \varphi_u), \qquad i(t) = I_m\cos(\omega t + \varphi_i)\]
Le déphasage de \(i\) par rapport à \(u\) est \(\Delta\varphi = \varphi_i - \varphi_u\).
Si \(\Delta\varphi > 0\) : \(i\) est en avance sur \(u\).
Si \(\Delta\varphi < 0\) : \(i\) est en retard sur \(u\).
Si \(\Delta\varphi = 0\) : \(i\) et \(u\) sont en phase.
Si \(\Delta\varphi = \pm\pi/2\) : les signaux sont en quadrature.
Exemple — Circuit RL (électrotechnique)
Dans un circuit RL alimenté par une tension sinusoïdale, le courant est en retard sur la tension d'un angle \(\varphi = \arctan\!\left(\dfrac{L\omega}{R}\right)\).
Le courant est donc en retard de \(32°\) sur la tension.
3. Valeur efficace d'un signal sinusoïdal
3.1 Définition par intégrale
Définition — Valeur efficace
La valeur efficace (ou RMS, Root Mean Square) d'un signal périodique \(u(t)\) de période \(T\) est définie par :
\[\boxed{U = \sqrt{\frac{1}{T}\int_0^T u(t)^2\,\mathrm{d}t}}\]
C'est la racine carrée de la moyenne du carré du signal sur une période.
3.2 Calcul pour un signal sinusoïdal
Propriété — Valeur efficace d'un signal sinusoïdal
Pour \(u(t) = U_m\cos(\omega t + \varphi)\), la valeur efficace est :
\[\boxed{U = \frac{U_m}{\sqrt{2}}}\]
Méthode — Démonstration par linéarisation
On calcule :
\[U^2 = \frac{1}{T}\int_0^T U_m^2\cos^2(\omega t + \varphi)\,\mathrm{d}t\]
On utilise la linéarisation \(\cos^2(\theta) = \dfrac{1 + \cos(2\theta)}{2}\) :
\[U^2 = \frac{U_m^2}{T}\int_0^T \frac{1 + \cos(2\omega t + 2\varphi)}{2}\,\mathrm{d}t\]
\[= \frac{U_m^2}{2T}\left[\int_0^T \mathrm{d}t + \int_0^T \cos(2\omega t + 2\varphi)\,\mathrm{d}t\right]\]
Or l'intégrale d'un cosinus sur une période complète est nulle :
\[\int_0^T \cos(2\omega t + 2\varphi)\,\mathrm{d}t = 0\]
Donc :
\[U^2 = \frac{U_m^2}{2T} \times T = \frac{U_m^2}{2} \quad \Rightarrow \quad U = \frac{U_m}{\sqrt{2}}\]
Définition — Valeur moyenne
La valeur moyenne d'un signal périodique \(u(t)\) de période \(T\) est :
\[\langle u \rangle = \frac{1}{T}\int_0^T u(t)\,\mathrm{d}t\]
Pour un signal sinusoïdal pur \(u(t) = U_m\cos(\omega t + \varphi)\), la valeur moyenne est nulle sur une période entière :
\[\langle u \rangle = 0\]
Attention — Valeur moyenne d'un signal redressé
La valeur moyenne d'un signal sinusoïdal est nulle, mais la valeur moyenne du signal redressé \(|u(t)|\) est non nulle :
\[\langle |u| \rangle = \frac{2U_m}{\pi} \approx 0{,}637\,U_m\]
Ne pas confondre valeur moyenne, valeur efficace et valeur maximale.
3.4 Application — Puissance électrique
Propriété — Puissance active en alternatif sinusoïdal
Dans un circuit monophasé alimenté par \(u(t) = U_m\cos(\omega t)\) et parcouru par \(i(t) = I_m\cos(\omega t - \varphi)\), la puissance active (puissance moyenne dissipée) est :
\[\boxed{P = U \cdot I \cdot \cos\varphi}\]
où \(U\) et \(I\) sont les valeurs efficaces de la tension et du courant, et \(\varphi\) est le déphasage courant/tension.
Exemple — Moteur électrique (B2 Électrotechnique)
Un moteur est alimenté sous \(U = 230\,\text{V}\) (efficace), absorbe un courant \(I = 8\,\text{A}\) (efficace) avec un déphasage \(\varphi = 30°\) (cos\(\varphi = 0{,}866\)).
4. Décomposition harmonique — Introduction à l'analyse de Fourier
4.1 Idée générale
Définition — Décomposition en série de Fourier
Tout signal périodique de période \(T\), sous des conditions techniques assez peu restrictives (théorème de Dirichlet), peut être décomposé en une somme (éventuellement infinie) de sinusoïdes :
\[f(t) = a_0 + \sum_{n=1}^{+\infty}\left[a_n\cos(n\omega_0 t) + b_n\sin(n\omega_0 t)\right]\]
où \(\omega_0 = \dfrac{2\pi}{T}\) est la pulsation fondamentale.
\(a_0\) : composante continue (valeur moyenne)
Pour \(n = 1\) : fondamental (fréquence \(f_0 = 1/T\))
Pour \(n \geq 2\) : harmoniques de rang \(n\) (fréquences multiples de \(f_0\))
Propriété — Coefficients de Fourier
Les coefficients sont calculés par intégration sur une période :
\[a_0 = \frac{1}{T}\int_0^T f(t)\,\mathrm{d}t\]
\[a_n = \frac{2}{T}\int_0^T f(t)\cos(n\omega_0 t)\,\mathrm{d}t\]
\[b_n = \frac{2}{T}\int_0^T f(t)\sin(n\omega_0 t)\,\mathrm{d}t\]
Attention — Niveau BTS
Au niveau BTS, on ne calcule généralement pas les coefficients de Fourier (c'est un niveau licence). Ce qui est attendu :
Comprendre qu'un signal périodique non sinusoïdal contient plusieurs harmoniques
Interpréter un spectre de fréquences fourni
Savoir que les harmoniques peuvent perturber des équipements électriques (perturbations harmoniques en électrotechnique)
Application — Harmoniques en électrotechnique (B2)
Un variateur de fréquence industriel absorbe un courant dont la forme d'onde n'est pas sinusoïdale mais ressemble à une série d'impulsions. En réalité, ce courant est composé du fondamental (50 Hz) et d'harmoniques (150 Hz, 250 Hz, 350 Hz...). Ces harmoniques peuvent perturber d'autres appareils sur le même réseau.
Un ingénieur peut représenter le spectre harmonique du courant : un diagramme en barres donnant l'amplitude de chaque harmonique en fonction de sa fréquence. On cherche à vérifier que les harmoniques respectent les normes en vigueur (CEI 61000).
Exemple — Signal créneau (onde carrée)
Un signal créneau d'amplitude \(A\) et de période \(T\) a pour décomposition de Fourier :
Ce signal ne contient que les harmoniques impaires. L'amplitude de l'harmonique de rang \(n\) est \(\dfrac{4A}{n\pi}\) (décroissante en \(1/n\)).
5. Fonctions hyperboliques (groupements B2, B3)
5.1 Définitions
Définition — Cosinus hyperbolique et sinus hyperbolique
Pour tout réel \(x\), on définit :
\[\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}\]
\[\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}\]
\[\tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x} = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}\]
Mémoire : \(\cosh\) est une moyenne des exponentielles (\(e^x\) et \(e^{-x}\)) ; \(\sinh\) est leur demi-différence.
Propriété — Relation fondamentale
Pour tout réel \(x\) :
\[\boxed{\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1}\]
Démonstration :
\[\cosh^2 x - \sinh^2 x = \left(\frac{e^x + e^{-x}}{2}\right)^2 - \left(\frac{e^x - e^{-x}}{2}\right)^2 = \frac{(e^{2x} + 2 + e^{-2x}) - (e^{2x} - 2 + e^{-2x})}{4} = \frac{4}{4} = 1\]
Attention — Analogie avec les fonctions circulaires
On rapproche souvent les fonctions hyperboliques des fonctions trigonométriques :
Trigo : \(\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1\) ; Hyperbolique : \(\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1\)
Le signe change (soustraction au lieu d'addition) !
5.2 Parité et variations
Propriété — Parité des fonctions hyperboliques
\(\cosh\) est une fonction paire : \(\cosh(-x) = \cosh(x)\)
\(\sinh\) est une fonction impaire : \(\sinh(-x) = -\sinh(x)\)
\(\tanh\) est une fonction impaire : \(\tanh(-x) = -\tanh(x)\)
Propriété — Dérivées des fonctions hyperboliques
\[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\cosh x = \sinh x\]
\[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\sinh x = \cosh x\]
\[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\tanh x = \frac{1}{\cosh^2 x} = 1 - \tanh^2 x\]
Dérivées des fonctions hyperboliques
\[(\cosh x)' = \sinh x \qquad (\sinh x)' = \cosh x \qquad (\tanh x)' = \frac{1}{\cosh^2 x}\]
Propriété — Formules d'addition hyperboliques
\[\cosh(a + b) = \cosh a \cosh b + \sinh a \sinh b\]
\[\sinh(a + b) = \sinh a \cosh b + \cosh a \sinh b\]
Exemple — Application à la chaînette (B1 Bâtiment)
Le profil d'un câble suspendu entre deux points (câble d'une ligne électrique, arche d'un pont) suit une chaînette, dont l'équation est :
\[y = a\cosh\!\left(\frac{x}{a}\right)\]
où \(a\) est un paramètre dépendant de la tension et de la densité linéique du câble.
3) \(\cosh x + \sinh x = \dfrac{e^x + e^{-x}}{2} + \dfrac{e^x - e^{-x}}{2} = \dfrac{2e^x}{2} = e^x\). ✓
\(\cosh x - \sinh x = \dfrac{e^x + e^{-x}}{2} - \dfrac{e^x - e^{-x}}{2} = \dfrac{2e^{-x}}{2} = e^{-x}\). ✓
6. Signal sinusoïdal amorti
6.1 Définition et interprétation physique
Définition — Signal sinusoïdal amorti
Un signal sinusoïdal amorti est une fonction de la forme :
\[\boxed{f(t) = A\,e^{at}\cos(\omega t + \varphi)}\]
où :
\(A > 0\) : amplitude initiale
\(a < 0\) : coefficient d'amortissement (en s\(^{-1}\)) — négatif pour que le signal s'atténue
\(\omega > 0\) : pulsation propre amortie (en rad/s)
\(\varphi\) : phase initiale (en rad)
L'enveloppe du signal est \(A\,e^{at}\), qui décroît exponentiellement vers 0 quand \(t \to +\infty\) (si \(a < 0\)).
Propriété — Comportement asymptotique
Si \(a < 0\), alors \(e^{at} \to 0\) quand \(t \to +\infty\), donc :
\[\lim_{t \to +\infty} A\,e^{at}\cos(\omega t + \varphi) = 0\]
Le signal s'amortit et s'éteint asymptotiquement. Le temps caractéristique d'amortissement est \(\tau = -\dfrac{1}{a} > 0\).
Temps caractéristique d'amortissement
\[\tau = -\frac{1}{a} = \frac{1}{|a|}\]
Au bout de \(t = \tau\), l'amplitude est réduite à \(A/e \approx 0{,}368\,A\).
6.2 Exemples physiques
Réponse d'un circuit RLC en électrotechnique (B2)
Un circuit RLC série (résistance \(R\), inductance \(L\), condensateur \(C\)) soumis à un échelon de tension produit une tension oscillante amortie :
où \(\alpha = R/(2L)\) est le coefficient d'amortissement et \(\omega_d = \sqrt{1/(LC) - \alpha^2}\) est la pulsation propre amortie. Ce comportement est typique d'un circuit sous-amorti (\(\alpha < \omega_0\)).
Réverbération sonore en acoustique du bâtiment (B1)
Lorsqu'une source sonore cesse d'émettre dans une salle, le son se réverbère et s'atténue. Le niveau sonore, après arrêt de la source, peut être modélisé localement par un signal amorti. Le temps de réverbération T60 est le temps nécessaire pour que le niveau sonore chute de 60 dB. Il est lié au coefficient d'absorption des parois (formule de Sabine). Des panneaux acoustiques absorbants réduisent T60 et améliorent l'intelligibilité de la parole.
Exemple — Circuit RLC sous-amorti
Un circuit RLC a les paramètres suivants : \(R = 20\,\Omega\), \(L = 10\,\text{mH}\), \(C = 10\,\mu\text{F}\).
La tension oscillante amortie a pour expression approximative : \(u(t) \approx E\,e^{-1000\,t}\cos(3000\,t)\).
Signal amorti \(f(t) = e^{-t}\cos(5t)\) — enveloppe \(\pm e^{-t}\)
6.3 Dérivée d'un signal amorti
Propriété — Dérivée de \(f(t) = A\,e^{at}\cos(\omega t + \varphi)\)
Par la règle du produit (\((uv)' = u'v + uv'\)) :
\[f'(t) = A\,a\,e^{at}\cos(\omega t + \varphi) - A\,\omega\,e^{at}\sin(\omega t + \varphi)\]
\[= A\,e^{at}\left[a\cos(\omega t + \varphi) - \omega\sin(\omega t + \varphi)\right]\]
On peut mettre sous forme \(A\,e^{at}\,R\cos(\omega t + \varphi + \psi)\) avec :
\[R = \sqrt{a^2 + \omega^2}, \qquad \tan\psi = \frac{\omega}{-a} = \frac{\omega}{|a|}\]
Mini-exercice 3
Signal amorti — Paramètres et dérivée
On donne \(f(t) = 5\,e^{-2t}\cos(3t)\) pour \(t \geq 0\).
1) Identifier \(A\), \(a\), \(\omega\) et \(\varphi\). Calculer le temps caractéristique \(\tau\).
2) Calculer \(f(0)\), \(f(\tau)\) et \(\displaystyle\lim_{t \to +\infty} f(t)\).
Mise en forme : \(R = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}\), \(f'(t) = -5\sqrt{13}\,e^{-2t}\cos\!\left(3t - \arctan\!\left(\dfrac{3}{2}\right)\right)\).
7. Écriture canonique \(A\cos(\omega t + \varphi)\) — Synthèse
7.1 Somme de deux sinusoïdes de même pulsation
Propriété — Somme de deux signaux sinusoïdaux de même pulsation
La somme de deux signaux sinusoïdaux de même pulsation \(\omega\) est un signal sinusoïdal de même pulsation :
\[a\cos(\omega t) + b\sin(\omega t) = R\cos(\omega t - \psi)\]
avec \(R = \sqrt{a^2 + b^2}\) et \(\tan\psi = \dfrac{b}{a}\).
Méthode — Mettre sous la forme \(R\cos(\omega t + \varphi)\)
Pour transformer \(A\cos(\omega t) + B\cos(\omega t + \alpha)\) en \(R\cos(\omega t + \varphi)\) :
Résultat : \(u(t) = 10\sqrt{3}\cos\!\left(100\pi t - \dfrac{\pi}{6}\right)\,\text{V}\).
7.2 Phaseurs et représentation de Fresnel
Définition — Représentation de Fresnel (phaseur)
Un signal sinusoïdal \(u(t) = U_m\cos(\omega t + \varphi)\) est représenté dans le plan complexe par un phaseur (vecteur tournant) :
\[\underline{U} = U_m\,e^{j\varphi} = U_m(\cos\varphi + j\sin\varphi)\]
La partie réelle de \(\underline{U}\,e^{j\omega t}\) redonne le signal temporel :
\[u(t) = \mathrm{Re}\!\left[\underline{U}\,e^{j\omega t}\right] = U_m\cos(\omega t + \varphi)\]
Propriété — Addition de phaseurs
Additionner deux signaux sinusoïdaux de même pulsation revient à additionner leurs phaseurs :
\[\underline{U}_{12} = \underline{U}_1 + \underline{U}_2\]
L'amplitude résultante est \(|\underline{U}_{12}|\) et la phase est \(\arg(\underline{U}_{12})\).
Attention — Phaseurs et fréquences différentes
La représentation par phaseurs n'est valable que pour des signaux de même fréquence. On ne peut pas additionner les phaseurs de deux signaux de fréquences différentes.
8. Applications — Signal électrique et acoustique
8.1 Courant alternatif 50 Hz — Récapitulatif
Caractéristiques du réseau électrique monophasé 230 V / 50 Hz
Grandeur
Symbole
Valeur
Formule
Fréquence
\(f\)
\(50\,\text{Hz}\)
—
Période
\(T\)
\(20\,\text{ms}\)
\(T = 1/f\)
Pulsation
\(\omega\)
\(100\pi \approx 314\,\text{rad/s}\)
\(\omega = 2\pi f\)
Valeur efficace
\(U\)
\(230\,\text{V}\)
norme européenne
Valeur maximale
\(U_m\)
\(\approx 325\,\text{V}\)
\(U_m = U\sqrt{2}\)
Expression
\(u(t)\)
\(325\cos(100\pi t)\,\text{V}\)
(phase nulle)
8.2 Calcul de puissance — Synthèse
Propriété — Triangle des puissances
En régime alternatif sinusoïdal, on définit :
Puissance apparente : \(S = U \cdot I\) (en VA)
Puissance active : \(P = U \cdot I \cdot \cos\varphi\) (en W) — puissance réellement consommée
Puissance réactive : \(Q = U \cdot I \cdot \sin\varphi\) (en VAR)
Relation : \(S^2 = P^2 + Q^2\)
Facteur de puissance : \(\cos\varphi = P/S\)
Mini-exercice 4
Calcul de puissance — Installation électrique industrielle (B2)
Un atelier de menuiserie est alimenté sous 230 V (efficace). Il comporte un moteur de raboteuse qui absorbe 12 A avec un facteur de puissance \(\cos\varphi = 0{,}8\).
1) Calculer les puissances apparente, active et réactive du moteur.
2) Calculer le déphasage \(\varphi\) en degrés.
3) Pour améliorer le facteur de puissance à \(\cos\varphi' = 0{,}95\), quelle puissance réactive \(Q_C\) doit fournir le condensateur de compensation ?
1)
Puissance apparente : \(S = U \times I = 230 \times 12 = 2\,760\,\text{VA}\).
Puissance active : \(P = S \times \cos\varphi = 2\,760 \times 0{,}8 = 2\,208\,\text{W}\).
3) Après compensation, le déphasage devient \(\varphi' = \arccos(0{,}95) \approx 18{,}2°\).
La puissance réactive résiduelle est \(Q' = P \times \tan\varphi' = 2\,208 \times \tan(18{,}2°) \approx 2\,208 \times 0{,}329 \approx 726\,\text{VAR}\).
Le condensateur doit fournir : \(Q_C = Q - Q' = 1\,656 - 726 = 930\,\text{VAR}\).
8.3 Signal acoustique — Niveau sonore
Définition — Niveau sonore en décibels
Le niveau sonore (ou niveau de pression acoustique) est défini par :
\[L = 10\log_{10}\!\left(\frac{P}{P_0}\right)\,\text{dB}\]
où \(P\) est la pression acoustique efficace et \(P_0 = 20\,\mu\text{Pa}\) est le seuil d'audibilité de référence.
On utilise aussi le niveau en intensité : \(L_I = 10\log_{10}\!\left(\dfrac{I}{I_0}\right)\) avec \(I_0 = 10^{-12}\,\text{W/m}^2\).
Exemple — Acoustique d'une salle (B1 Bâtiment)
Une salle de réunion présente un niveau sonore de 65 dB lors d'une conversation. Après installation de panneaux acoustiques absorbants, le niveau chute à 55 dB. De quel facteur l'intensité sonore a-t-elle diminué ?
Différence : \(\Delta L = 65 - 55 = 10\,\text{dB}\).
L'intensité sonore a été divisée par 10. Une réduction de 10 dB correspond toujours à un facteur 10 sur l'intensité.
8.4 Systèmes photoniques — Modulation (B3)
Modulation d'amplitude en optique (B3 Systèmes photoniques)
En systèmes photoniques, la modulation d'amplitude d'un signal lumineux consiste à faire varier l'intensité d'un faisceau laser en fonction d'un signal informatif \(m(t)\). Un modulateur acousto-optique ou électro-optique produit un signal modulé :
où \(\omega_c\) est la pulsation de la porteuse optique et \(m\) est l'indice de modulation. Si \(m(t) = \cos(\omega_m t)\) (signal sinusoïdal), le spectre du signal modulé fait apparaître trois raies : la porteuse à \(f_c\) et deux raies latérales à \(f_c \pm f_m\). Ce mécanisme est identique à la modulation AM (amplitude modulation) en radio.
L'essentiel du chapitre
Fonctions trigonométriques
\(\cos(a \pm b) = \cos a\cos b \mp \sin a\sin b\)
\(\sin(a \pm b) = \sin a\cos b \pm \cos a\sin b\)
\(\cos(2a) = 2\cos^2 a - 1 = 1 - 2\sin^2 a\)
\(\cos^2 a = \dfrac{1 + \cos 2a}{2}\), \(\sin^2 a = \dfrac{1 - \cos 2a}{2}\)
Signal sinusoïdal
\(u(t) = U_m\cos(\omega t + \varphi)\)
\(\omega = 2\pi f = 2\pi/T\)
Valeur efficace : \(U = U_m/\sqrt{2}\)
Puissance active : \(P = UI\cos\varphi\)
Fonctions hyperboliques (B2, B3)
\(\cosh x = \dfrac{e^x + e^{-x}}{2}\), \(\sinh x = \dfrac{e^x - e^{-x}}{2}\)