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Interrogation — Ch03 : Fonctions pour le traitement du signal

BTS | Mathématiques | Durée : 40 min | /20

Dernière mise à jour : 21 juin 2026

Nom : _____ Prénom : _____ Date : _____

Exercice 1 — Trigonométrie (4 pts)

  1. À l'aide d'une formule d'addition, calculer la valeur exacte de \(\cos(75°)\) en partant de \(75° = 45° + 30°\). (2 pts)
  2. Linéariser \(\sin^2(\omega t)\) à l'aide d'une formule de duplication. (2 pts)

Exercice 2 — Analyse d'un signal sinusoïdal (5 pts)

Un signal électrique a pour expression \(u(t) = 30\cos\!\left(100\pi t - \dfrac{\pi}{6}\right)\) (en volts, \(t\) en secondes).

  1. Identifier l'amplitude \(U_m\), la pulsation \(\omega\) et la phase à l'origine \(\varphi\). (1,5 pt)
  2. Calculer la fréquence \(f\) et la période \(T\). (1,5 pt)
  3. Calculer la valeur efficace \(U\) (valeur exacte puis approchée). (1 pt)
  4. Calculer \(u(0)\). (1 pt)

Exercice 3 — Valeur efficace et puissance (4 pts)

Un moteur monophasé est alimenté sous une tension efficace \(U = 230\,\text{V}\) et absorbe un courant efficace \(I = 5\,\text{A}\) avec un facteur de puissance \(\cos\varphi = 0{,}8\).

  1. Calculer la puissance apparente \(S\) et la puissance active \(P\). (2 pts)
  2. Calculer la valeur maximale \(U_m\) de la tension (arrondir au volt). (1 pt)
  3. Calculer la puissance réactive \(Q\) (on prendra \(\sin\varphi = 0{,}6\)). (1 pt)

Exercice 4 — Fonctions hyperboliques (3 pts)

On rappelle \(\cosh x = \dfrac{e^x + e^{-x}}{2}\) et \(\sinh x = \dfrac{e^x - e^{-x}}{2}\).

  1. Calculer \(\cosh(0)\) et \(\sinh(0)\) à partir des définitions. (1 pt)
  2. Montrer que \(\cosh(x) + \sinh(x) = e^x\). (2 pts)

Exercice 5 — Signal sinusoïdal amorti (4 pts)

On donne le signal amorti \(f(t) = 4\,e^{-2t}\cos(3t)\) pour \(t \ge 0\).

  1. Identifier \(A\), \(a\), \(\omega\) et \(\varphi\). Calculer le temps caractéristique \(\tau = \dfrac{1}{|a|}\). (2 pts)
  2. Calculer \(f(0)\) et déterminer \(\displaystyle\lim_{t \to +\infty} f(t)\) en justifiant. (2 pts)

Correction

Exercice 1 (4 pts)

a) \(\cos(75°) = \cos(45° + 30°) = \cos 45°\cos 30° - \sin 45°\sin 30°\)

\(= \dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2} - \dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot\dfrac{1}{2} = \dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \approx 0{,}259\). (2 pts)

b) De \(\cos(2a) = 1 - 2\sin^2 a\), on tire \(\sin^2 a = \dfrac{1 - \cos(2a)}{2}\). Avec \(a = \omega t\) : \(\sin^2(\omega t) = \dfrac{1 - \cos(2\omega t)}{2}\). (2 pts)

Exercice 2 (5 pts)

a) \(U_m = 30\,\text{V}\), \(\omega = 100\pi\,\text{rad/s}\), \(\varphi = -\dfrac{\pi}{6}\,\text{rad}\). (1,5 pt)

b) \(f = \dfrac{\omega}{2\pi} = \dfrac{100\pi}{2\pi} = 50\,\text{Hz}\) ; \(T = \dfrac{1}{f} = \dfrac{1}{50} = 0{,}02\,\text{s} = 20\,\text{ms}\). (1,5 pt)

c) \(U = \dfrac{U_m}{\sqrt{2}} = \dfrac{30}{\sqrt{2}} = 15\sqrt{2} \approx 21{,}2\,\text{V}\). (1 pt)

d) \(u(0) = 30\cos\!\left(-\dfrac{\pi}{6}\right) = 30 \times \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 15\sqrt{3} \approx 26{,}0\,\text{V}\). (1 pt)

Exercice 3 (4 pts)

a) \(S = U \times I = 230 \times 5 = 1\,150\,\text{VA}\) ; \(P = S \times \cos\varphi = 1\,150 \times 0{,}8 = 920\,\text{W}\). (2 pts)

b) \(U_m = U\sqrt{2} = 230\sqrt{2} \approx 325\,\text{V}\). (1 pt)

c) \(Q = S \times \sin\varphi = 1\,150 \times 0{,}6 = 690\,\text{VAR}\). (1 pt)

Exercice 4 (3 pts)

a) \(\cosh(0) = \dfrac{e^0 + e^0}{2} = \dfrac{1 + 1}{2} = 1\) ; \(\sinh(0) = \dfrac{e^0 - e^0}{2} = 0\). (1 pt)

b) \(\cosh x + \sinh x = \dfrac{e^x + e^{-x}}{2} + \dfrac{e^x - e^{-x}}{2} = \dfrac{2e^x}{2} = e^x\). (2 pts)

Exercice 5 (4 pts)

a) \(A = 4\), \(a = -2\,\text{s}^{-1}\), \(\omega = 3\,\text{rad/s}\), \(\varphi = 0\). Temps caractéristique : \(\tau = \dfrac{1}{|a|} = \dfrac{1}{2} = 0{,}5\,\text{s}\). (2 pts)

b) \(f(0) = 4\,e^0\cos(0) = 4 \times 1 \times 1 = 4\). Comme \(a = -2 \lt 0\), \(e^{-2t} \to 0\) et \(|\cos(3t)| \le 1\), donc par encadrement \(\displaystyle\lim_{t \to +\infty} f(t) = 0\). (2 pts)

Total : 4 + 5 + 4 + 3 + 4 = 20 points.