Fiche résumé – Fonctions pour le traitement du signal

Chapitre 3 | BTS | Mathématiques

Dernière mise à jour : 21 juin 2026

L'essentiel :

Signal sinusoïdal : \(u(t)=U_m\cos(\omega t+\varphi)\), avec \(\omega=2\pi f=\frac{2\pi}{T}\).
Valeur efficace d'un sinus : \(U=\dfrac{U_m}{\sqrt 2}\). Valeur moyenne d'un sinus pur : nulle.
Linéarisation : \(\cos^2 a=\frac{1+\cos 2a}{2}\), \(\sin^2 a=\frac{1-\cos 2a}{2}\) (clé pour les intégrales et la valeur efficace).
Fonctions hyperboliques : \(\cosh^2 x-\sinh^2 x=1\). Signal amorti : \(f(t)=A\,e^{at}\cos(\omega t+\varphi)\), \(a\lt 0\).

Définitions clés

Définition

Signal sinusoïdal : \(u(t)=U_m\cos(\omega t+\varphi)\). \(U_m\) amplitude, \(\omega\) pulsation (rad/s), \(\varphi\) phase à l'origine (rad), \(T\) période, \(f\) fréquence.

Définition

Valeur efficace (RMS) : \(U=\sqrt{\frac{1}{T}\int_0^T u(t)^2\,\mathrm{d}t}\). Déphasage : \(\Delta\varphi=\varphi_i-\varphi_u\) (\(\gt 0\) : en avance ; \(=\pm\frac{\pi}{2}\) : en quadrature).

Définition

Signal amorti : \(f(t)=A\,e^{at}\cos(\omega t+\varphi)\) avec \(a\lt 0\). Enveloppe \(A\,e^{at}\to 0\), temps caractéristique \(\tau=\frac{1}{|a|}\) (amplitude réduite à \(A/e\)).

Formules trigonométriques

Addition et duplication \[\cos(a\pm b)=\cos a\cos b\mp\sin a\sin b\] \[\sin(a\pm b)=\sin a\cos b\pm\cos a\sin b\] \[\cos(2a)=2\cos^2 a-1=1-2\sin^2 a \qquad \sin(2a)=2\sin a\cos a\]

Linéarisation (à mémoriser) \[\cos^2 a=\frac{1+\cos(2a)}{2} \qquad \sin^2 a=\frac{1-\cos(2a)}{2} \qquad \cos a\sin a=\frac{\sin(2a)}{2}\]

Valeurs remarquables

\(\theta\)	\(0\)	\(\frac{\pi}{6}\)	\(\frac{\pi}{4}\)	\(\frac{\pi}{3}\)	\(\frac{\pi}{2}\)
\(\cos\theta\)	\(1\)	\(\frac{\sqrt3}{2}\)	\(\frac{\sqrt2}{2}\)	\(\frac12\)	\(0\)
\(\sin\theta\)	\(0\)	\(\frac12\)	\(\frac{\sqrt2}{2}\)	\(\frac{\sqrt3}{2}\)	\(1\)

Signal sinusoïdal et puissance

Relations fondamentales \[\omega=2\pi f=\frac{2\pi}{T} \qquad f=\frac{1}{T}\] \[U=\frac{U_m}{\sqrt 2}\approx 0{,}707\,U_m \qquad U_m=U\sqrt 2\approx 1{,}414\,U\]

Puissances en alternatif sinusoïdal

Apparente : \(S=U\cdot I\) (VA)
Active : \(P=U\cdot I\cdot\cos\varphi\) (W) — réellement consommée
Réactive : \(Q=U\cdot I\cdot\sin\varphi\) (VAR)
Relation : \(S^2=P^2+Q^2\) ; facteur de puissance \(\cos\varphi=P/S\)

Fonctions hyperboliques (B2, B3)

\[\cosh x=\frac{e^x+e^{-x}}{2} \qquad \sinh x=\frac{e^x-e^{-x}}{2} \qquad \tanh x=\frac{\sinh x}{\cosh x}\] \[\cosh^2 x-\sinh^2 x=1 \qquad (\cosh x)'=\sinh x \qquad (\sinh x)'=\cosh x\]

\(\cosh\) paire ; \(\sinh\) et \(\tanh\) impaires ; \(\cosh x+\sinh x=e^x\).

Décomposition harmonique (Fourier)

Idée à retenir (niveau BTS)

Tout signal périodique non sinusoïdal se décompose en une somme de sinusoïdes : un fondamental (\(f_0\)) et des harmoniques (\(2f_0,3f_0,\ldots\)), plus une composante continue \(a_0\). Au BTS on interprète un spectre, on ne calcule pas les coefficients.

\[f(t)=a_0+\sum_{n\ge 1}\big[a_n\cos(n\omega_0 t)+b_n\sin(n\omega_0 t)\big]\]

Méthode — Forme canonique \(R\cos(\omega t+\varphi)\)

Méthode

Somme de deux sinusoïdes de même pulsation :

Développer chaque terme en \(\cos(\omega t)\) et \(\sin(\omega t)\).
Regrouper : \(a\cos(\omega t)+b\sin(\omega t)\).
Amplitude \(R=\sqrt{a^2+b^2}\), phase telle que \(\tan\psi=\frac{b}{a}\) (attention au quadrant).

Outil : phaseur \(\underline U=U_m e^{j\varphi}\) (valable uniquement à fréquence identique).

Erreurs fréquentes

Attention

❌ Confondre valeur maximale, efficace et moyenne.

✅ Sinus : \(U=\frac{U_m}{\sqrt2}\), valeur moyenne nulle ; signal redressé \(\langle|u|\rangle=\frac{2U_m}{\pi}\).

❌ Écrire \(\cosh^2 x+\sinh^2 x=1\).

✅ C'est une soustraction : \(\cosh^2 x-\sinh^2 x=1\).

❌ Additionner les phaseurs de signaux de fréquences différentes.

✅ Les phaseurs ne s'additionnent qu'à même fréquence.

❌ Prendre \(a\gt 0\) dans un signal amorti.

✅ Pour que le signal s'atténue, il faut \(a\lt 0\) (enveloppe décroissante).