Fonctions pour le traitement du signal | BTS | Mathématiques
Dernière mise à jour : 21 octobre 2026
On souhaite calculer \(\sin(15°)\) et \(\cos(15°)\) sans calculatrice.
1. En écrivant \(15° = 45° - 30°\), calculer la valeur exacte de \(\sin(15°)\).
2. De la même façon, calculer la valeur exacte de \(\cos(15°)\).
3. Donner une valeur approchée à \(10^{-3}\) près de chacune des deux valeurs.
1. \(\sin(15°) = \sin(45°-30°) = \sin45°\cos30° - \cos45°\sin30°\)
\(= \dfrac{\sqrt{2}}{2}\times\dfrac{\sqrt{3}}{2} - \dfrac{\sqrt{2}}{2}\times\dfrac{1}{2} = \dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\).
2. \(\cos(15°) = \cos(45°-30°) = \cos45°\cos30° + \sin45°\sin30°\)
\(= \dfrac{\sqrt{2}}{2}\times\dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{\sqrt{2}}{2}\times\dfrac{1}{2} = \dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\).
3. \(\sin(15°) = \dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} \approx 0{,}259\) et \(\cos(15°) = \dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} \approx 0{,}966\).
Un dipôle purement résistif (résistance de chauffage) est alimenté par \(u(t) = U_m\cos(\omega t)\) et parcouru par \(i(t) = I_m\cos(\omega t)\) (tension et courant en phase). La puissance instantanée reçue est \(p(t) = u(t)\,i(t)\).
1. Exprimer \(p(t)\) en fonction de \(U_m\), \(I_m\), \(\omega\), \(t\), en linéarisant \(\cos^2(\omega t)\).
2. En déduire la valeur moyenne \(\langle p \rangle\) de la puissance instantanée sur une période (c'est la puissance active \(P\)).
3. Application numérique : \(U_m = 230\sqrt{2}\,\text{V} \approx 325{,}3\,\text{V}\) et \(I_m = 10\sqrt{2}\,\text{A} \approx 14{,}14\,\text{A}\). Calculer \(P\).
1. \(p(t) = U_m I_m \cos^2(\omega t) = U_m I_m \times \dfrac{1+\cos(2\omega t)}{2} = \dfrac{U_mI_m}{2} + \dfrac{U_mI_m}{2}\cos(2\omega t)\).
2. Le terme en \(\cos(2\omega t)\) a une valeur moyenne nulle sur une période. Il reste \(\langle p \rangle = P = \dfrac{U_mI_m}{2}\).
On retrouve la formule usuelle : comme \(U = U_m/\sqrt{2}\) et \(I=I_m/\sqrt{2}\), on a \(P = UI = \dfrac{U_mI_m}{2}\).
3. \(P = \dfrac{325{,}3 \times 14{,}14}{2} \approx \dfrac{4\,600}{2} = 2\,300\,\text{W} = 2{,}3\,\text{kW}\).
(Résultat exact : \(P = U\times I = 230\times10 = 2\,300\) W.)
Un capteur acoustique enregistre le son émis par un diapason. La pression acoustique mesurée s'écrit :
\[p(t) = 2{,}0\times10^{-3}\cos\!\left(880\pi t + \dfrac{\pi}{4}\right) \quad \text{(en Pa, } t \text{ en secondes)}\]1. Identifier l'amplitude \(P_m\), la pulsation \(\omega\) et la phase à l'origine \(\varphi\).
2. Calculer la fréquence \(f\) puis la période \(T\).
3. Calculer \(p(0)\).
1. \(P_m = 2{,}0\times10^{-3}\,\text{Pa}\), \(\omega = 880\pi\,\text{rad/s}\), \(\varphi = \dfrac{\pi}{4}\,\text{rad}\).
2. \(f = \dfrac{\omega}{2\pi} = \dfrac{880\pi}{2\pi} = 440\,\text{Hz}\) (c'est la note « la » du diapason étalon).
\(T = \dfrac{1}{f} = \dfrac{1}{440} \approx 2{,}27\times10^{-3}\,\text{s} = 2{,}27\,\text{ms}\).
3. \(p(0) = 2{,}0\times10^{-3}\cos\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = 2{,}0\times10^{-3}\times\dfrac{\sqrt{2}}{2} \approx 1{,}41\times10^{-3}\,\text{Pa}\).
Un technicien de maintenance affiche à l'oscilloscope la tension \(u(t)\) suivante :
1. Lire sur le graphique l'amplitude \(U_m\) et la période \(T\) (en ms).
2. En déduire la pulsation \(\omega\) et la fréquence \(f\).
3. Le signal est nul et croissant à \(t=0\), et atteint son premier maximum à \(t_1 = 1\,\text{ms}\). Sachant que pour \(u(t)=U_m\cos(\omega t+\varphi)\) le maximum est atteint en \(t_1\) tel que \(\omega t_1+\varphi = 0\), déterminer \(\varphi\).
4. Donner l'expression complète de \(u(t)\) avec \(\omega\) exprimée en rad/s.
1. Lecture graphique : \(U_m = 6\,\text{V}\), \(T = 4\,\text{ms} = 4\times10^{-3}\,\text{s}\).
2. \(\omega = \dfrac{2\pi}{T} = \dfrac{2\pi}{4\times10^{-3}} = 500\pi \approx 1\,570{,}8\,\text{rad/s}\). \(f = \dfrac{1}{T} = 250\,\text{Hz}\).
3. \(\omega t_1 + \varphi = 0 \Rightarrow \varphi = -\omega t_1 = -500\pi\times10^{-3} = -0{,}5\pi = -\dfrac{\pi}{2}\,\text{rad}\).
4. \(u(t) = 6\cos\!\left(500\pi t - \dfrac{\pi}{2}\right) = 6\sin(500\pi t)\,\text{V}\), ce qui correspond bien à la courbe (nulle et croissante en \(t=0\)).
Une bobine de contacteur industriel est modélisée par une résistance \(R = 50\,\Omega\) en série avec une inductance \(L = 0{,}15\,\text{H}\), alimentée par le réseau \(50\,\text{Hz}\) (\(\omega = 100\pi\,\text{rad/s}\)). Le déphasage du courant par rapport à la tension est donné par \(\varphi = \arctan\!\left(\dfrac{L\omega}{R}\right)\), le courant étant en retard.
1. Calculer la valeur de \(L\omega\).
2. En déduire \(\varphi\) en degrés, arrondi au dixième.
3. Le courant est-il en avance ou en retard sur la tension ? De quel angle ?
1. \(L\omega = 0{,}15\times100\pi = 15\pi \approx 47{,}12\,\Omega\).
2. \(\varphi = \arctan\!\left(\dfrac{47{,}12}{50}\right) = \arctan(0{,}9425) \approx 43{,}3°\).
3. Dans un circuit RL, le courant est toujours en retard sur la tension. Il est ici en retard de \(43{,}3°\).
Un générateur de laboratoire délivre une tension d'essai \(u(t) = 100\cos(300t)\) (en volts).
1. Calculer la valeur efficace \(U\) de ce signal.
2. Comparer cette valeur à celle du réseau domestique (230 V efficaces). Cette tension d'essai est-elle plus ou moins dangereuse ?
1. \(U = \dfrac{U_m}{\sqrt{2}} = \dfrac{100}{\sqrt{2}} = 50\sqrt{2} \approx 70{,}7\,\text{V}\).
2. \(70{,}7\,\text{V} < 230\,\text{V}\) : cette tension d'essai est moins élevée que le réseau domestique, donc a priori moins dangereuse (bien que toute tension supérieure à la limite de sécurité de 50 V en alternatif reste dangereuse).
Sur l'écran d'un oscilloscope, un technicien lit une tension crête-à-crête \(U_{cc} = 20\,\text{V}\) pour un signal sinusoïdal symétrique.
1. Calculer la valeur maximale \(U_m\).
2. En déduire la valeur efficace \(U\).
1. Pour un signal symétrique, \(U_{cc} = 2U_m\), donc \(U_m = \dfrac{U_{cc}}{2} = \dfrac{20}{2} = 10\,\text{V}\).
2. \(U = \dfrac{U_m}{\sqrt{2}} = \dfrac{10}{\sqrt{2}} = 5\sqrt{2} \approx 7{,}07\,\text{V}\).
Un chargeur de batterie redresse une tension sinusoïdale de valeur maximale \(U_m = 100\,\text{V}\) à l'aide d'un pont de diodes (redressement double alternance). En sortie, la tension obtenue est \(v(t) = |u(t)|\).
1. Rappeler la formule de la valeur moyenne d'un signal sinusoïdal redressé.
2. Calculer la valeur moyenne \(\langle v \rangle\) de la tension en sortie du pont de diodes.
1. \(\langle |u| \rangle = \dfrac{2U_m}{\pi}\).
2. \(\langle v \rangle = \dfrac{2\times100}{\pi} = \dfrac{200}{\pi} \approx 63{,}7\,\text{V}\).
Un atelier est alimenté sous une tension efficace \(U = 230\,\text{V}\). Une machine-outil absorbe un courant efficace \(I = 15\,\text{A}\) avec un facteur de puissance \(\cos\varphi = 0{,}75\).
1. Calculer la puissance apparente \(S\).
2. Calculer \(\sin\varphi\), puis la puissance active \(P\) et la puissance réactive \(Q\).
3. Calculer le déphasage \(\varphi\) en degrés.
4. On souhaite améliorer le facteur de puissance à \(\cos\varphi' = 0{,}93\) à l'aide d'une batterie de condensateurs. Calculer la puissance réactive \(Q_C\) que doit fournir cette batterie.
1. \(S = U\times I = 230\times15 = 3\,450\,\text{VA}\).
2. \(\sin\varphi = \sqrt{1-\cos^2\varphi} = \sqrt{1-0{,}5625} = \sqrt{0{,}4375} \approx 0{,}661\).
\(P = S\cos\varphi = 3\,450\times0{,}75 = 2\,587{,}5\,\text{W}\). \(Q = S\sin\varphi = 3\,450\times0{,}661 \approx 2\,282\,\text{VAR}\).
3. \(\varphi = \arccos(0{,}75) \approx 41{,}4°\).
4. Après compensation, \(\varphi' = \arccos(0{,}93) \approx 21{,}6°\), donc \(\tan\varphi' \approx 0{,}395\).
La nouvelle puissance réactive résiduelle est \(Q' = P\tan\varphi' \approx 2\,587{,}5\times0{,}395 \approx 1\,023\,\text{VAR}\).
Le condensateur doit donc fournir : \(Q_C = Q - Q' \approx 2\,282 - 1\,023 = 1\,259\,\text{VAR}\).
Un ingénieur mesure le spectre du courant absorbé par un variateur de fréquence industriel (fondamental à 50 Hz) :
| Rang \(n\) | 1 | 3 | 5 | 7 |
|---|---|---|---|---|
| Fréquence (Hz) | 50 | 150 | 250 | 350 |
| Amplitude (A) | 10,0 | 3,33 | 2,00 | 1,43 |
1. Identifier le fondamental et donner sa fréquence. Donner les fréquences des harmoniques de rangs 3, 5 et 7.
2. Calculer le produit \(n \times (\text{amplitude du rang } n)\) pour chaque rang. Que remarque-t-on ?
3. Le cours indique que l'amplitude de l'harmonique de rang \(n\) d'un signal créneau vaut \(\dfrac{4A}{n\pi}\). Ce spectre est-il compatible avec ce modèle ? Pourquoi n'observe-t-on que des harmoniques de rang impair ?
4. Expliquer, en une phrase, pourquoi la présence de ces harmoniques peut être problématique pour d'autres équipements raccordés au même réseau.
1. Le fondamental (rang 1) est à \(50\,\text{Hz}\). Harmonique de rang 3 : \(3\times50=150\,\text{Hz}\) ; rang 5 : \(5\times50=250\,\text{Hz}\) ; rang 7 : \(7\times50=350\,\text{Hz}\).
2. \(1\times10{,}0=10{,}0\) ; \(3\times3{,}33\approx10{,}0\) ; \(5\times2{,}00=10{,}0\) ; \(7\times1{,}43\approx10{,}0\). Le produit \(n\times(\text{amplitude})\) reste constant (≈ 10).
3. Cela signifie que l'amplitude du rang \(n\) est proportionnelle à \(\dfrac{1}{n}\), exactement comme pour un signal créneau (\(\frac{4A}{n\pi}\) est bien de la forme \(\frac{\text{cste}}{n}\)). Ce spectre est donc compatible avec un courant de forme proche du créneau (typique d'un variateur de fréquence). Seuls les rangs impairs apparaissent car le signal créneau, ayant une symétrie de demi-onde (\(f(t+T/2)=-f(t)\)), ne contient que des harmoniques impaires.
4. Ces harmoniques circulent dans tout le réseau électrique et peuvent provoquer un échauffement anormal ou des dysfonctionnements sur d'autres appareils sensibles raccordés à la même installation (d'où les normes de compatibilité électromagnétique comme la CEI 61000).
On donne \(e^2 \approx 7{,}389\).
1. Calculer des valeurs approchées de \(\cosh(2)\), \(\sinh(2)\) et \(\tanh(2)\), arrondies au millième.
2. Vérifier numériquement que \(\cosh^2(2) - \sinh^2(2) = 1\).
3. Calculer la dérivée de \(g(x) = \cosh(3x)\).
1. \(e^{-2} \approx \dfrac{1}{7{,}389} \approx 0{,}135\).
\(\cosh(2) = \dfrac{7{,}389+0{,}135}{2} \approx 3{,}762\). \(\sinh(2) = \dfrac{7{,}389-0{,}135}{2} \approx 3{,}627\). \(\tanh(2) = \dfrac{3{,}627}{3{,}762} \approx 0{,}964\).
2. \(\cosh^2(2) - \sinh^2(2) \approx 3{,}762^2 - 3{,}627^2 \approx 14{,}153 - 13{,}155 = 0{,}998 \approx 1\) (l'écart vient des arrondis).
3. Par dérivation composée (\(u=3x\), \(u'=3\)) : \(g'(x) = 3\sinh(3x)\).
Un câble de ligne électrique suspendu entre deux pylônes suit l'équation d'une chaînette \(y = a\cosh\!\left(\dfrac{x}{a}\right)\), avec \(a = 15\,\text{m}\) et \(x\) la distance horizontale à la verticale du point le plus bas.
1. Calculer \(y\) pour \(x = 6\,\text{m}\) (on donne \(e^{0{,}4}\approx1{,}4918\) et \(e^{-0{,}4}\approx0{,}6703\)).
2. La pente du câble en un point est donnée par \(y'(x) = \sinh\!\left(\dfrac{x}{a}\right)\). Calculer cette pente pour \(x=6\,\text{m}\), puis l'angle que fait le câble avec l'horizontale à cet endroit.
1. \(\dfrac{x}{a} = \dfrac{6}{15} = 0{,}4\). \(\cosh(0{,}4) = \dfrac{1{,}4918+0{,}6703}{2} = \dfrac{2{,}1621}{2} \approx 1{,}0811\).
\(y = 15\times1{,}0811 \approx 16{,}22\,\text{m}\).
2. \(\sinh(0{,}4) = \dfrac{1{,}4918-0{,}6703}{2} = \dfrac{0{,}8215}{2} \approx 0{,}4108\).
L'angle avec l'horizontale est \(\theta = \arctan(0{,}4108) \approx 22{,}3°\).
Après un choc (passage sur un nid-de-poule), un capteur de position mesure le déplacement vertical de la masse suspendue d'un amortisseur automobile :
\[x(t) = 0{,}05\,e^{-4t}\cos(20t) \quad \text{(en mètres, } t \text{ en secondes)}\]1. Identifier l'amplitude initiale \(A\), le coefficient d'amortissement \(a\) et la pulsation \(\omega\).
2. Calculer le temps caractéristique \(\tau\).
3. Calculer \(x(0)\) et \(\displaystyle\lim_{t\to+\infty}x(t)\). Interpréter physiquement ce dernier résultat.
4. Calculer \(x'(t)\).
1. \(A = 0{,}05\,\text{m}\), \(a = -4\,\text{s}^{-1}\), \(\omega = 20\,\text{rad/s}\).
2. \(\tau = \dfrac{1}{|a|} = \dfrac{1}{4} = 0{,}25\,\text{s}\).
3. \(x(0) = 0{,}05\times e^0\times\cos(0) = 0{,}05\,\text{m} = 5\,\text{cm}\).
Comme \(a=-4<0\), \(e^{-4t}\to0\) quand \(t\to+\infty\), et \(|\cos(20t)|\leq1\), donc \(\displaystyle\lim_{t\to+\infty}x(t) = 0\) : la masse revient à sa position d'équilibre, l'oscillation s'amortit complètement (rôle de l'amortisseur).
4. \(x'(t) = 0{,}05\big[-4e^{-4t}\cos(20t) - 20e^{-4t}\sin(20t)\big] = 0{,}05\,e^{-4t}\big[-4\cos(20t)-20\sin(20t)\big]\).
Après extinction d'une source sonore dans une salle, le niveau de pression acoustique décroît localement selon le modèle amorti (amplitude normalisée, sans unité) :
1. Donner le temps caractéristique \(\tau\) de cette décroissance.
2. Vérifier que l'enveloppe vaut bien \(\frac{1}{e}\approx0{,}368\) de sa valeur initiale à l'instant \(t=\tau\).
3. Calculer l'instant \(t\) à partir duquel l'enveloppe est descendue à 5 % de sa valeur initiale (on donne \(\ln(0{,}05)\approx-3{,}00\)).
1. L'enveloppe est \(e^{-3t}\), donc \(a=-3\,\text{s}^{-1}\) et \(\tau = \dfrac{1}{3} \approx 0{,}33\,\text{s}\).
2. À \(t=\tau=1/3\,\text{s}\) : \(e^{-3\times1/3} = e^{-1} \approx 0{,}368\). ✓ (conforme au graphique, où l'enveloppe touche la courbe à cette valeur).
3. On cherche \(t\) tel que \(e^{-3t}=0{,}05\), soit \(-3t = \ln(0{,}05) \approx -3{,}00\), donc \(t \approx 1{,}00\,\text{s}\).
Deux récepteurs sont alimentés par un même réseau de pulsation \(\omega\) et parcourus par les courants \(i_1(t) = 8\cos(\omega t)\) et \(i_2(t) = 6\cos\!\left(\omega t+\dfrac{\pi}{2}\right)\) (en ampères). Le courant total est \(i(t)=i_1(t)+i_2(t)\).
1. Développer \(i_2(t)\) à l'aide de la formule d'addition du cosinus.
2. En déduire \(i(t)\) sous la forme \(a\cos(\omega t)+b\sin(\omega t)\).
3. Mettre \(i(t)\) sous la forme canonique \(R\cos(\omega t-\psi)\) (donner \(R\) et \(\psi\) en degrés).
1. \(i_2(t) = 6\left[\cos(\omega t)\cos\dfrac{\pi}{2}-\sin(\omega t)\sin\dfrac{\pi}{2}\right] = 6\big[0-\sin(\omega t)\big] = -6\sin(\omega t)\).
2. \(i(t) = 8\cos(\omega t) - 6\sin(\omega t)\), soit \(a=8\), \(b=-6\).
3. \(R = \sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{8^2+(-6)^2} = \sqrt{64+36} = \sqrt{100} = 10\,\text{A}\).
\(\tan\psi = \dfrac{b}{a} = \dfrac{-6}{8} = -0{,}75\), donc \(\psi \approx -36{,}9°\).
\(i(t) = 10\cos(\omega t-\psi) = 10\cos(\omega t+36{,}9°)\,\text{A}\).
Mettre le signal \(u(t) = 4\cos(\omega t) + 3\sin(\omega t)\) (en volts) sous la forme canonique \(R\cos(\omega t-\psi)\).
Ici \(a=4\), \(b=3\). \(R=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5\,\text{V}\).
\(\tan\psi = \dfrac{b}{a} = \dfrac{3}{4} = 0{,}75\), donc \(\psi \approx 36{,}9°\).
\(u(t) = 5\cos(\omega t-36{,}9°)\,\text{V}\).
Deux récepteurs sont parcourus par les courants \(i_1(t) = 6\cos(\omega t)\) et \(i_2(t) = 8\cos\!\left(\omega t-\dfrac{\pi}{2}\right)\) (en ampères).
1. Écrire les phaseurs \(\underline{I_1}\) et \(\underline{I_2}\) associés à ces deux courants sous forme algébrique \(x+jy\).
2. Calculer le phaseur total \(\underline{I} = \underline{I_1}+\underline{I_2}\).
3. En déduire le courant total \(i(t)\) sous forme canonique \(R\cos(\omega t+\varphi)\) (module et argument du phaseur, argument en degrés).
1. \(\underline{I_1} = 6\,e^{j0} = 6\). \(\underline{I_2} = 8\,e^{-j\pi/2} = 8\big[\cos(-\pi/2)+j\sin(-\pi/2)\big] = -8j\).
2. \(\underline{I} = \underline{I_1}+\underline{I_2} = 6 - 8j\).
3. Module : \(|\underline{I}| = \sqrt{6^2+8^2} = \sqrt{36+64} = \sqrt{100} = 10\,\text{A}\).
Argument : \(\arg(\underline{I}) = \arctan\!\left(\dfrac{-8}{6}\right) \approx -53{,}1°\) (partie réelle positive, partie imaginaire négative : 4e quadrant, valeur directe).
\(i(t) = 10\cos(\omega t-53{,}1°)\,\text{A}\).