Exercices par capacités · BTS
Dernière mise à jour : 21 juin 2026
En utilisant \(15° = 45° - 30°\), calculer la valeur exacte de \(\cos(15°)\).
\(\cos(15°) = \cos(45° - 30°) = \cos 45°\cos 30° + \sin 45°\sin 30°\).
\(= \dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot\dfrac{1}{2} = \dfrac{\sqrt{6}}{4} + \dfrac{\sqrt{2}}{4} = \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \approx 0{,}966\).
En utilisant \(75° = 45° + 30°\), calculer la valeur exacte de \(\sin(75°)\).
\(\sin(75°) = \sin(45° + 30°) = \sin 45°\cos 30° + \cos 45°\sin 30°\).
\(= \dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot\dfrac{1}{2} = \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \approx 0{,}966\).
On donne \(\sin a = 0{,}6\) avec \(a \in \left[0\,;\,\dfrac{\pi}{2}\right]\). Calculer \(\cos a\), puis \(\sin(2a)\) et \(\cos(2a)\).
Comme \(a \in \left[0\,;\,\frac{\pi}{2}\right]\), \(\cos a \geq 0\) : \(\cos a = \sqrt{1 - \sin^2 a} = \sqrt{1 - 0{,}36} = \sqrt{0{,}64} = 0{,}8\).
\(\sin(2a) = 2\sin a\cos a = 2\times 0{,}6\times 0{,}8 = 0{,}96\).
\(\cos(2a) = 1 - 2\sin^2 a = 1 - 2\times 0{,}36 = 1 - 0{,}72 = 0{,}28\).
Linéariser \(\cos^2(\omega t)\) puis \(\sin^2(\omega t)\), et vérifier que leur somme vaut bien \(1\).
\(\cos^2(\omega t) = \dfrac{1 + \cos(2\omega t)}{2}\) et \(\sin^2(\omega t) = \dfrac{1 - \cos(2\omega t)}{2}\).
Somme : \(\dfrac{1 + \cos(2\omega t)}{2} + \dfrac{1 - \cos(2\omega t)}{2} = \dfrac{2}{2} = 1\). On retrouve la relation fondamentale.
Un signal vaut \(p(t) = \cos^2(\omega t)\) (puissance instantanée normalisée). En le linéarisant, identifier sa composante continue (valeur moyenne) et la fréquence de sa partie variable.
\(p(t) = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\cos(2\omega t)\).
La composante continue (valeur moyenne) est \(\dfrac{1}{2}\) car la moyenne d'un cosinus sur une période est nulle.
La partie variable \(\dfrac{1}{2}\cos(2\omega t)\) a pour pulsation \(2\omega\), donc une fréquence double de celle du signal initial.
Un signal s'écrit \(u(t) = 12\cos(100\pi t)\) (en volts). Déterminer l'amplitude, la pulsation, la fréquence et la période.
Amplitude : \(U_m = 12\) V. Pulsation : \(\omega = 100\pi\) rad/s.
Fréquence : \(f = \dfrac{\omega}{2\pi} = \dfrac{100\pi}{2\pi} = 50\) Hz.
Période : \(T = \dfrac{1}{f} = \dfrac{1}{50} = 0{,}02\) s \(= 20\) ms.
Le réseau fournit une tension efficace \(U = 230\) V. Calculer sa valeur maximale \(U_m\). Inversement, un oscilloscope affiche \(U_m = 48\) V : calculer la valeur efficace correspondante.
\(U_m = U\sqrt{2} = 230\sqrt{2} \approx 325\) V.
\(U = \dfrac{U_m}{\sqrt{2}} = \dfrac{48}{\sqrt{2}} = 24\sqrt{2} \approx 33{,}9\) V.
Un signal a pour expression \(u(t) = 48\cos\!\left(200\pi t - \dfrac{\pi}{3}\right)\) (en volts).
On relève les paramètres d'un signal sinusoïdal de tension sur un oscilloscope :
| Grandeur relevée | Valeur |
|---|---|
| Valeur maximale \(u_{\max}\) | \(+170\) V |
| Valeur minimale \(u_{\min}\) | \(-170\) V |
| Durée d'un cycle complet | \(16{,}7\) ms |
Déterminer l'amplitude, la fréquence, la pulsation et la valeur efficace.
Amplitude : \(U_m = \dfrac{u_{\max} - u_{\min}}{2} = \dfrac{170 - (-170)}{2} = 170\) V.
Période : \(T = 16{,}7\) ms \(= 0{,}0167\) s. Fréquence : \(f = \dfrac{1}{T} \approx 60\) Hz.
Pulsation : \(\omega = 2\pi f \approx 2\pi\times 60 \approx 377\) rad/s.
Valeur efficace : \(U = \dfrac{U_m}{\sqrt{2}} = \dfrac{170}{\sqrt{2}} \approx 120\) V.
Soient deux signaux de même pulsation : \(u(t) = 5\cos\!\left(\omega t + \dfrac{\pi}{6}\right)\) et \(i(t) = 3\cos\!\left(\omega t - \dfrac{\pi}{4}\right)\). Déterminer le déphasage \(\Delta\varphi = \varphi_i - \varphi_u\) et préciser si \(i\) est en avance ou en retard sur \(u\).
\(\varphi_u = \dfrac{\pi}{6}\), \(\varphi_i = -\dfrac{\pi}{4}\).
\(\Delta\varphi = -\dfrac{\pi}{4} - \dfrac{\pi}{6} = -\dfrac{3\pi}{12} - \dfrac{2\pi}{12} = -\dfrac{5\pi}{12}\) rad.
\(\Delta\varphi \lt 0\) : le courant \(i\) est en retard sur la tension \(u\) (cas typique d'un circuit inductif).
À partir des définitions, calculer \(\cosh 0\), \(\sinh 0\) et \(\tanh 0\).
\(\cosh 0 = \dfrac{e^0 + e^0}{2} = \dfrac{1 + 1}{2} = 1\).
\(\sinh 0 = \dfrac{e^0 - e^0}{2} = 0\).
\(\tanh 0 = \dfrac{\sinh 0}{\cosh 0} = \dfrac{0}{1} = 0\).
Calculer \(\cosh 1\) et \(\sinh 1\) (utiliser \(e \approx 2{,}718\) et \(e^{-1} \approx 0{,}368\)), puis vérifier numériquement que \(\cosh^2 1 - \sinh^2 1 = 1\).
\(\cosh 1 = \dfrac{2{,}718 + 0{,}368}{2} = \dfrac{3{,}086}{2} \approx 1{,}543\).
\(\sinh 1 = \dfrac{2{,}718 - 0{,}368}{2} = \dfrac{2{,}350}{2} \approx 1{,}175\).
\(\cosh^2 1 - \sinh^2 1 \approx 1{,}543^2 - 1{,}175^2 \approx 2{,}381 - 1{,}381 = 1{,}000\). La relation est vérifiée.
Démontrer que \(\cosh x + \sinh x = e^x\) pour tout réel \(x\).
\(\cosh x + \sinh x = \dfrac{e^x + e^{-x}}{2} + \dfrac{e^x - e^{-x}}{2} = \dfrac{(e^x + e^{-x}) + (e^x - e^{-x})}{2} = \dfrac{2e^x}{2} = e^x\). \(\square\)
Le profil d'un câble suspendu (chaînette) suit \(y = a\cosh\!\left(\dfrac{x}{a}\right)\) avec \(a = 10\) m. Calculer la hauteur \(y\) du câble à l'abscisse \(x = 5\) m (utiliser \(e^{0{,}5} \approx 1{,}6487\) et \(e^{-0{,}5} \approx 0{,}6065\)).
\(y = 10\cosh\!\left(\dfrac{5}{10}\right) = 10\cosh(0{,}5)\).
\(\cosh(0{,}5) = \dfrac{e^{0{,}5} + e^{-0{,}5}}{2} = \dfrac{1{,}6487 + 0{,}6065}{2} = \dfrac{2{,}2552}{2} \approx 1{,}1276\).
\(y \approx 10\times 1{,}1276 \approx 11{,}3\) m.
Dériver les fonctions suivantes :
On utilise \((\cosh x)' = \sinh x\) et \((\sinh x)' = \cosh x\).
On donne \(f(t) = 5\,e^{-2t}\cos(3t)\) pour \(t \geq 0\). Identifier \(A\), \(a\), \(\omega\), \(\varphi\) et calculer le temps caractéristique \(\tau\).
Par identification avec \(A\,e^{at}\cos(\omega t + \varphi)\) :
\(A = 5\), \(a = -2\) s\(^{-1}\), \(\omega = 3\) rad/s, \(\varphi = 0\).
Temps caractéristique : \(\tau = \dfrac{1}{|a|} = \dfrac{1}{2} = 0{,}5\) s.
Pour le signal \(f(t) = 5\,e^{-2t}\cos(3t)\), calculer \(f(0)\) et déterminer \(\displaystyle\lim_{t\to+\infty} f(t)\) en justifiant.
\(f(0) = 5\,e^0\cos 0 = 5\times 1\times 1 = 5\).
Comme \(a = -2 \lt 0\), \(e^{-2t} \to 0\). De plus \(|\cos(3t)| \leq 1\), donc le produit est borné par \(5e^{-2t} \to 0\).
Par encadrement, \(\displaystyle\lim_{t\to+\infty} f(t) = 0\) : le signal s'éteint.
Calculer la dérivée du signal amorti \(f(t) = 5\,e^{-2t}\cos(3t)\) en utilisant la règle du produit.
On pose \(u = 5e^{-2t}\) (\(u' = -10e^{-2t}\)) et \(v = \cos(3t)\) (\(v' = -3\sin(3t)\)).
\(f'(t) = u'v + uv' = -10e^{-2t}\cos(3t) + 5e^{-2t}(-3\sin(3t))\).
\(f'(t) = 5e^{-2t}\big[-2\cos(3t) - 3\sin(3t)\big]\).
Un circuit RLC produit une tension amortie \(u(t) = E\,e^{-1000\,t}\cos(3000\,t)\) (\(E = 10\) V). Calculer le temps caractéristique \(\tau\) et la valeur de l'enveloppe \(E\,e^{-1000\,t}\) à \(t = \tau\).
Le coefficient d'amortissement de l'enveloppe est \(a = -1000\) s\(^{-1}\), donc \(\tau = \dfrac{1}{1000} = 10^{-3}\) s \(= 1\) ms.
À \(t = \tau\), l'enveloppe vaut \(E\,e^{-1000\tau} = E\,e^{-1} \approx 10\times 0{,}368 = 3{,}68\) V.
L'amplitude est réduite à environ 37 % de sa valeur initiale au bout d'un temps caractéristique.
Un récepteur est alimenté sous \(U = 230\) V (efficace) et absorbe un courant \(I = 5\) A (efficace) avec \(\cos\varphi = 0{,}9\). Calculer la puissance active \(P\).
\(P = U\cdot I\cdot\cos\varphi = 230\times 5\times 0{,}9 = 1\,035\) W.
Un moteur est alimenté sous 230 V (efficace), absorbe 8 A (efficace) avec un déphasage \(\varphi = 30°\) (\(\cos 30° \approx 0{,}866\), \(\sin 30° = 0{,}5\)). Calculer les puissances apparente \(S\), active \(P\) et réactive \(Q\).
Puissance apparente : \(S = U\cdot I = 230\times 8 = 1\,840\) VA.
Puissance active : \(P = S\cos\varphi = 1\,840\times 0{,}866 \approx 1\,594\) W.
Puissance réactive : \(Q = S\sin\varphi = 1\,840\times 0{,}5 = 920\) VAR.
Vérification : \(\sqrt{P^2 + Q^2} = \sqrt{1594^2 + 920^2} \approx \sqrt{2\,540\,836 + 846\,400} \approx \sqrt{3\,387\,236} \approx 1\,840 = S\). Cohérent.
Un atelier est alimenté sous 230 V (efficace). Un moteur absorbe 12 A avec \(\cos\varphi = 0{,}8\). Calculer \(S\), \(P\), \(Q\) et le déphasage \(\varphi\) en degrés (\(\sin\varphi = \sqrt{1 - 0{,}8^2}\)).
\(S = 230\times 12 = 2\,760\) VA.
\(P = 2\,760\times 0{,}8 = 2\,208\) W.
\(\sin\varphi = \sqrt{1 - 0{,}64} = \sqrt{0{,}36} = 0{,}6\), donc \(Q = 2\,760\times 0{,}6 = 1\,656\) VAR.
\(\varphi = \arccos(0{,}8) \approx 36{,}9°\).
On superpose \(u_1(t) = 10\cos(100\pi t)\) et \(u_2(t) = 10\cos\!\left(100\pi t + \dfrac{\pi}{3}\right)\). Déterminer l'amplitude \(R\) du signal somme \(u = u_1 + u_2\).
On développe \(u_2 = 10\left(\cos\dfrac{\pi}{3}\cos(100\pi t) - \sin\dfrac{\pi}{3}\sin(100\pi t)\right) = 5\cos(100\pi t) - 5\sqrt{3}\sin(100\pi t)\).
Somme : \(u = (10 + 5)\cos(100\pi t) - 5\sqrt{3}\sin(100\pi t) = 15\cos(100\pi t) - 5\sqrt{3}\sin(100\pi t)\).
Amplitude : \(R = \sqrt{15^2 + (5\sqrt{3})^2} = \sqrt{225 + 75} = \sqrt{300} = 10\sqrt{3} \approx 17{,}3\) V.
Pour améliorer le facteur de puissance de l'atelier de l'exercice 22 (\(P = 2\,208\) W, \(Q = 1\,656\) VAR), on installe un condensateur de compensation pour atteindre \(\cos\varphi' = 0{,}95\). Calculer la puissance réactive \(Q_C\) que le condensateur doit fournir (\(\tan(\arccos 0{,}95) \approx 0{,}329\)).
La puissance active \(P\) est inchangée. Après compensation, la puissance réactive résiduelle doit être :
\(Q' = P\tan\varphi' = 2\,208\times 0{,}329 \approx 726\) VAR.
Le condensateur doit fournir : \(Q_C = Q - Q' = 1\,656 - 726 = 930\) VAR.