Fonctions pour le traitement du signal | BTS | Mathématiques
Dernière mise à jour : 21 octobre 2026
Un technicien de maintenance affiche à l'oscilloscope la tension \(u(t)\) d'un capteur :
1. Lire sur le graphique l'amplitude \(U_m\) et la période \(T\) (en ms). (1 pt)
2. En déduire la pulsation \(\omega\) (en rad/s) et la fréquence \(f\) (en Hz). (1,5 pt)
3. Calculer la valeur efficace \(U\) de ce signal et vérifier la cohérence avec les lignes pointillées du graphique. (1,5 pt)
4. Donner l'expression complète de \(u(t)\), avec son unité. (1 pt)
1. Lecture graphique : \(U_m = 20\,\text{V}\), \(T = 10\,\text{ms}\).
2. \(\omega = \dfrac{2\pi}{T} = \dfrac{2\pi}{10\times10^{-3}} = 200\pi \approx 628{,}3\,\text{rad/s}\). \(f = \dfrac{1}{T} = \dfrac{1}{0{,}01} = 100\,\text{Hz}\).
3. \(U = \dfrac{U_m}{\sqrt2} = \dfrac{20}{\sqrt2} = 10\sqrt2 \approx 14{,}14\,\text{V}\), ce qui correspond bien aux lignes pointillées à \(\pm14{,}14\,\text{V}\) sur le graphique.
4. \(u(t) = 20\cos(200\pi t)\,\text{V}\) (phase nulle, car le maximum est atteint en \(t=0\)).
Une perceuse à colonne industrielle est alimentée sous une tension efficace \(U = 230\,\text{V}\). Elle absorbe un courant efficace \(I = 12\,\text{A}\) avec un facteur de puissance \(\cos\varphi = 0{,}85\).
1. Calculer la puissance apparente \(S\). (1 pt)
2. Calculer la puissance active \(P\). (1 pt)
3. Calculer la puissance réactive \(Q\) (on donnera \(\sin\varphi\) avec 3 chiffres significatifs). (1 pt)
4. Calculer le déphasage \(\varphi\) en degrés. (1 pt)
5. On souhaite relever le facteur de puissance à \(\cos\varphi' = 0{,}95\) par une batterie de condensateurs. Calculer la puissance réactive \(Q_C\) à fournir. (1 pt)
1. \(S = U\times I = 230\times12 = 2\,760\,\text{VA}\).
2. \(P = S\cos\varphi = 2\,760\times0{,}85 = 2\,346\,\text{W}\).
3. \(\sin\varphi = \sqrt{1-0{,}85^2} = \sqrt{1-0{,}7225} = \sqrt{0{,}2775} \approx 0{,}527\).
\(Q = S\sin\varphi = 2\,760\times0{,}527 \approx 1\,454\,\text{VAR}\).
4. \(\varphi = \arccos(0{,}85) \approx 31{,}8°\).
5. \(\varphi' = \arccos(0{,}95) \approx 18{,}2°\), \(\tan\varphi' \approx 0{,}329\).
\(Q' = P\tan\varphi' \approx 2\,346\times0{,}329 \approx 771\,\text{VAR}\).
\(Q_C = Q - Q' \approx 1\,454 - 771 = 683\,\text{VAR}\).
Un câble de ligne électrique suspendu entre deux pylônes suit l'équation d'une chaînette \(y = a\cosh\!\left(\dfrac{x}{a}\right)\), avec \(a = 16\,\text{m}\), \(x\) étant la distance horizontale à la verticale du point le plus bas du câble. On donne \(e^{0{,}625}\approx1{,}868\) et \(e^{-0{,}625}\approx0{,}535\).
1. Calculer \(\cosh(0{,}625)\) à l'aide des valeurs données. (1,5 pt)
2. En déduire la hauteur \(y\) du câble pour \(x = 10\,\text{m}\). (1 pt)
3. On rappelle que la pente du câble est donnée par \(y'(x) = \sinh\!\left(\dfrac{x}{a}\right)\). Calculer cette pente pour \(x=10\,\text{m}\), puis l'angle avec l'horizontale (arrondi au dixième de degré). (1,5 pt)
4. Vérifier numériquement que \(\cosh^2(0{,}625) - \sinh^2(0{,}625) = 1\). (1 pt)
1. \(\cosh(0{,}625) = \dfrac{e^{0{,}625}+e^{-0{,}625}}{2} = \dfrac{1{,}868+0{,}535}{2} = \dfrac{2{,}403}{2} \approx 1{,}202\).
2. \(\dfrac{x}{a} = \dfrac{10}{16} = 0{,}625\). \(y = a\cosh(0{,}625) = 16\times1{,}202 \approx 19{,}23\,\text{m}\).
3. \(\sinh(0{,}625) = \dfrac{e^{0{,}625}-e^{-0{,}625}}{2} = \dfrac{1{,}868-0{,}535}{2} = \dfrac{1{,}333}{2} \approx 0{,}667\).
Angle : \(\theta = \arctan(0{,}667) \approx 33{,}7°\).
4. \(\cosh^2(0{,}625) - \sinh^2(0{,}625) \approx 1{,}202^2 - 0{,}667^2 \approx 1{,}445 - 0{,}445 = 1{,}000\). ✓ (relation fondamentale des fonctions hyperboliques, toujours vérifiée).
Un ingénieur teste la rigidité d'un bras robotisé industriel. Après un choc contrôlé, un capteur de position mesure le déplacement \(x(t)\) de l'extrémité du bras :
\[x(t) = 12\,e^{-5t}\cos(40t) \quad \text{(en mm, } t \text{ en secondes)}\]1. Identifier l'amplitude initiale \(A\), le coefficient d'amortissement \(a\) et la pulsation \(\omega\). (1 pt)
2. Calculer le temps caractéristique \(\tau\). (1 pt)
3. Calculer \(x(0)\) et \(\displaystyle\lim_{t\to+\infty}x(t)\). Interpréter physiquement ce résultat pour le bras robotisé. (1,5 pt)
4. Calculer \(x'(t)\). (1,5 pt)
1. \(A = 12\,\text{mm}\), \(a = -5\,\text{s}^{-1}\), \(\omega = 40\,\text{rad/s}\).
2. \(\tau = \dfrac{1}{|a|} = \dfrac{1}{5} = 0{,}2\,\text{s}\).
3. \(x(0) = 12\times e^0\times\cos(0) = 12\,\text{mm}\).
Comme \(a=-5<0\), \(e^{-5t}\to0\) quand \(t\to+\infty\), donc \(\displaystyle\lim_{t\to+\infty}x(t) = 0\) : le bras revient à sa position d'équilibre après le choc, sans oscillation résiduelle — signe d'une bonne rigidité mécanique de la structure.
4. \(x'(t) = 12\big[-5e^{-5t}\cos(40t) - 40e^{-5t}\sin(40t)\big] = 12\,e^{-5t}\big[-5\cos(40t)-40\sin(40t)\big]\,\text{mm/s}\).