Ch02 – Fonctions d'une variable réelle – QCM

Question 1

Quel est le domaine de définition de \(f(x) = \ln(2x - 3)\) ?

\(\mathbb{R}\) \(\left]\dfrac{3}{2}\,;\,+\infty\right[\) \(\left]-\infty\,;\,\dfrac{3}{2}\right[\) \([0\,;\,+\infty[\)

Question 2

Que vaut \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{3x^2 - 5x + 1}{2x^2 + 7}\) ?

\(0\) \(+\infty\) \(\dfrac{3}{2}\) \(-\dfrac{5}{7}\)

Question 3

Par croissances comparées, que vaut \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} x^2\,e^{-x}\) ?

\(0\) \(+\infty\) \(1\) Forme indéterminée non levable

Question 4

Une fonction \(f\) continue sur \([0\,;\,1]\) vérifie \(f(0) = -1\) et \(f(1) = 1\). D'après le théorème des valeurs intermédiaires, on peut affirmer que :

\(f\) est croissante \(f(x) = 0\) n'a pas de solution \(f\) est dérivable l'équation \(f(x) = 0\) admet au moins une solution dans \([0\,;\,1]\)

Question 5

Quelle est la dérivée de \(f(x) = e^{3x^2 - 1}\) ?

\(e^{3x^2 - 1}\) \(6x\,e^{3x^2 - 1}\) \(6x\,e^{6x}\) \((3x^2 - 1)\,e^{3x^2 - 2}\)

Question 6

Quelle est la dérivée de \(g(x) = \ln(x^2 + 4)\) ?

\(\dfrac{1}{x^2 + 4}\) \(\dfrac{1}{2x}\) \(\dfrac{2x}{x^2 + 4}\) \(2x\ln(x^2 + 4)\)

Question 7

En utilisant les propriétés du logarithme, \(\ln(a^3)\) est égal à :

\(3\ln a\) \((\ln a)^3\) \(\ln 3 + \ln a\) \(\dfrac{\ln a}{3}\)

Question 8

Résoudre l'équation \(2\,e^{3x - 1} = 10\). La solution est :

\(x = \dfrac{\ln 10}{3}\) \(x = \ln 5\) \(x = \dfrac{\ln 5 - 1}{3}\) \(x = \dfrac{1 + \ln 5}{3}\)

Question 9

Pour l'étude de \(f(x) = x\,e^{-x}\), on calcule \(f'(x) = e^{-x}(1 - x)\). En quel point \(f\) admet-elle son maximum ?

\(x = 0\) \(x = 1\) \(x = -1\) \(x = e\)

Question 10

Le développement limité d'ordre 2 de \(e^x\) en 0 est \(e^x = 1 + x + \dfrac{x^2}{2} + x^2\varepsilon(x)\). Quelle est l'équation de la tangente à la courbe de \(e^x\) en \(x = 0\) ?

\(y = 1\) \(y = x\) \(y = 1 + x\) \(y = 1 + x + \dfrac{x^2}{2}\)

Question 11

Toujours pour \(e^x\), avec le DL d'ordre 2, la position de la courbe par rapport à sa tangente en 0 est :

au-dessus de la tangente (terme \(\frac{x^2}{2} \gt 0\)) en dessous de la tangente confondue avec la tangente impossible à déterminer

Question 12

Pour la courbe paramétrée \(\begin{cases} x(t) = 2t \\ y(t) = -t^2 + 4 \end{cases}\), quel est le vecteur tangent en \(t = 1\) ?

\(\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix}\) \(\begin{pmatrix} 2 \\ -2 \end{pmatrix}\) \(\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}\) \(\begin{pmatrix} 0 \\ -2 \end{pmatrix}\)