Chapitre 2 – Fonctions d'une variable réelle

BTS — Tous groupements | Module Fct

Dernière mise à jour : 26 juin 2026

Objectifs du chapitre :

Maîtriser les notions de domaine de définition, parité et périodicité
Calculer des limites de fonctions (en l'infini, en un point, formes indéterminées)
Exploiter la continuité et le théorème des valeurs intermédiaires (TVI)
Dériver des fonctions composées et appliquer les règles opératoires
Connaître les propriétés des fonctions \(\ln\), \(\exp\) et puissances
Mener une étude complète de fonction (variations, asymptotes, représentation)
Déterminer un développement limité et l'exploiter (tangente, position de la courbe)
Étudier et tracer une courbe paramétrée (fonctions polynomiales de degré \(\leq 2\))
Modéliser des phénomènes physiques par des fonctions (décroissance, optimisation)

Situation professionnelle

Thermique du bâtiment — Loi de refroidissement

Un ingénieur thermicien étudie le refroidissement d'un local technique après l'arrêt du système de chauffage. La température intérieure suit une loi de la forme :

\[T(t) = T_{\text{ext}} + (T_0 - T_{\text{ext}})\,e^{-kt}\]

où \(T_0 = 22\,°\text{C}\) est la température initiale, \(T_{\text{ext}} = 5\,°\text{C}\) la température extérieure et \(k > 0\) un coefficient dépendant de l'isolation.

Problème : Au bout de combien de temps la température descend-elle sous \(12\,°\text{C}\) ? Quelle est la vitesse de refroidissement à un instant donné ? Pour répondre, il faut maîtriser les fonctions d'une variable réelle : limites, continuité, dérivation, exponentielle.

1. Rappels sur les fonctions

1.1. Domaine de définition

Définition — Domaine de définition
Le domaine de définition \(\mathcal{D}_f\) d'une fonction \(f\) est l'ensemble des valeurs de \(x\) pour lesquelles \(f(x)\) existe (a un sens dans \(\mathbb{R}\)).

Méthode — Déterminer un domaine de définition
Vérifier que :

Aucun dénominateur ne s'annule
L'expression sous une racine carrée (ou d'indice pair) est \(\geq 0\)
L'argument d'un logarithme est strictement positif

Exemple

Déterminer \(\mathcal{D}_f\) pour \(f(x) = \ln(2x - 3) + \dfrac{1}{\sqrt{x+1}}\).

Logarithme : \(2x - 3 > 0 \Leftrightarrow x > \frac{3}{2}\)
Racine au dénominateur : \(x + 1 \gt 0 \Leftrightarrow x \gt -1\) (et non nul, vérifié car \(\gt 0\))

Intersection : \(\mathcal{D}_f = \left]\frac{3}{2}\,;\,+\infty\right[\).

Mini-exercice : Déterminer le domaine de définition de \(f(x) = \dfrac{\sqrt{x-2}}{x-5}\).

1.2. Parité

Définition — Parité
Soit \(f\) définie sur un domaine \(\mathcal{D}\) symétrique par rapport à \(0\).

\(f\) est paire si \(\forall x \in \mathcal{D},\; f(-x) = f(x)\) — courbe symétrique par rapport à l'axe \((Oy)\)
\(f\) est impaire si \(\forall x \in \mathcal{D},\; f(-x) = -f(x)\) — courbe symétrique par rapport à l'origine \(O\)

Propriété
La parité permet de réduire l'étude d'une fonction à \([0\,;\,+\infty[\) puis de compléter par symétrie.

1.3. Périodicité

Définition — Périodicité
\(f\) est périodique de période \(T > 0\) si \(\forall x \in \mathcal{D},\; f(x + T) = f(x)\).
L'étude se réduit à un intervalle de longueur \(T\).

Exemple

La fonction \(f(x) = \sin(x)\) est impaire et périodique de période \(2\pi\). Son étude se réduit à \([0\,;\,\pi]\).

2. Limites de fonctions

2.1. Limites en l'infini

Définition — Limite en \(+\infty\)
On dit que \(f(x)\) tend vers \(\ell \in \mathbb{R}\) quand \(x\) tend vers \(+\infty\) si \(f(x)\) se rapproche aussi près que l'on veut de \(\ell\) pour \(x\) assez grand. On note : \[\lim_{x \to +\infty} f(x) = \ell\] Si \(f(x)\) croît sans borne, on écrit \(\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty\).

Limites des fonctions de référence

Fonction	\(\lim_{x \to +\infty}\)	\(\lim_{x \to -\infty}\)
\(x^n\) (\(n \geq 1\))	\(+\infty\)	\((-1)^n \cdot \infty\)
\(\dfrac{1}{x^n}\)	\(0\)	\(0\)
\(\sqrt{x}\)	\(+\infty\)	non définie
\(e^x\)	\(+\infty\)	\(0\)
\(\ln(x)\)	\(+\infty\)	non définie

2.2. Limites en un point

Définition — Limite en un point \(a\)
On dit que \(\lim_{x \to a} f(x) = \ell\) si \(f(x)\) se rapproche de \(\ell\) quand \(x\) se rapproche de \(a\) (sans nécessairement que \(f(a)\) existe).

Opérations sur les limites
Si \(\lim f = \ell\) et \(\lim g = \ell'\), alors :

\(\lim (f + g) = \ell + \ell'\)
\(\lim (f \times g) = \ell \times \ell'\)
\(\lim \dfrac{f}{g} = \dfrac{\ell}{\ell'}\) si \(\ell' \neq 0\)

Ces règles s'étendent aux cas où \(\ell\) ou \(\ell'\) est infini, sauf dans les formes indéterminées.

2.3. Formes indéterminées

Attention — Formes indéterminées
Les sept formes indéterminées sont : \[\frac{0}{0} \quad;\quad \frac{\infty}{\infty} \quad;\quad 0 \times \infty \quad;\quad \infty - \infty \quad;\quad 0^0 \quad;\quad 1^{\infty} \quad;\quad \infty^0\] On ne peut pas conclure directement : il faut lever l'indétermination (factorisation, conjugaison, croissances comparées, règle de L'Hôpital...).

Méthode — Lever une forme indéterminée \(\frac{\infty}{\infty}\)
Pour un quotient de polynômes, factoriser par le terme de plus haut degré au numérateur et au dénominateur.

Exemple

Calculer \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{3x^2 - 5x + 1}{2x^2 + 7}\).

Forme \(\dfrac{\infty}{\infty}\). On factorise par \(x^2\) :

\[\frac{3x^2 - 5x + 1}{2x^2 + 7} = \frac{x^2\left(3 - \frac{5}{x} + \frac{1}{x^2}\right)}{x^2\left(2 + \frac{7}{x^2}\right)} = \frac{3 - \frac{5}{x} + \frac{1}{x^2}}{2 + \frac{7}{x^2}} \xrightarrow[x \to +\infty]{} \frac{3}{2}\]

Croissances comparées (à retenir) : \[\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty \qquad \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x^n} = 0 \qquad (n \geq 1)\] L'exponentielle l'emporte sur toute puissance ; toute puissance l'emporte sur le logarithme.

Exemple — Croissances comparées

\(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} x^2\,e^{-x}\) : forme \(\infty \times 0\).

On écrit \(x^2\,e^{-x} = \dfrac{x^2}{e^x}\). Par croissances comparées, \(e^x\) l'emporte sur \(x^2\), donc \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} x^2\,e^{-x} = 0\).

Mini-exercice : Calculer \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{5x^2 - 3x}{x^2 + 2x + 4}\).

3. Continuité

Définition — Continuité en un point
\(f\) est continue en \(a\) si :

\(f(a)\) existe
\(\displaystyle\lim_{x \to a} f(x)\) existe
\(\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = f(a)\)

\(f\) est continue sur un intervalle \(I\) si elle est continue en tout point de \(I\).

Fonctions continues usuelles
Les fonctions polynomiales, rationnelles (sur leur domaine), \(\sqrt{}\), \(\sin\), \(\cos\), \(\exp\), \(\ln\) sont continues sur leur domaine de définition.
Toute somme, produit, quotient (dénominateur non nul) ou composée de fonctions continues est continue.

Théorème des valeurs intermédiaires (TVI)
Si \(f\) est continue sur \([a\,;\,b]\) et si \(k\) est un réel compris entre \(f(a)\) et \(f(b)\), alors il existe au moins un \(c \in [a\,;\,b]\) tel que \(f(c) = k\).

Corollaire — TVI et stricte monotonie
Si \(f\) est continue et strictement monotone sur \([a\,;\,b]\), alors pour tout \(k\) compris entre \(f(a)\) et \(f(b)\), l'équation \(f(x) = k\) admet une unique solution dans \([a\,;\,b]\).

Exemple — Application du TVI

Montrer que l'équation \(x^3 + x - 1 = 0\) admet une unique solution sur \([0\,;\,1]\).

Posons \(f(x) = x^3 + x - 1\). \(f\) est continue (polynomiale) et strictement croissante sur \(\mathbb{R}\) (car \(f'(x) = 3x^2 + 1 > 0\)).

\(f(0) = -1 < 0\) et \(f(1) = 1 > 0\). Par le TVI (corollaire), il existe un unique \(c \in [0\,;\,1]\) tel que \(f(c) = 0\).

Par dichotomie : \(f(0{,}68) \approx -0{,}006 < 0\) et \(f(0{,}69) \approx 0{,}019 > 0\), donc \(c \approx 0{,}68\).

4. Dérivation

4.1. Rappels

Définition — Nombre dérivé
Le nombre dérivé de \(f\) en \(a\), noté \(f'(a)\), est la limite (si elle existe) : \[f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}\] Géométriquement, c'est le coefficient directeur de la tangente à la courbe de \(f\) au point d'abscisse \(a\).

4.2. Dérivées des fonctions usuelles

Fonction \(f(x)\)	Dérivée \(f'(x)\)	Domaine
\(k\) (constante)	\(0\)	\(\mathbb{R}\)
\(x^n\)	\(n\,x^{n-1}\)	\(\mathbb{R}\)
\(\dfrac{1}{x}\)	\(-\dfrac{1}{x^2}\)	\(\mathbb{R}^*\)
\(\sqrt{x}\)	\(\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\)	\(\mathbb{R}_+^*\)
\(x^{\alpha}\) (\(\alpha \in \mathbb{R}\))	\(\alpha\,x^{\alpha - 1}\)	\(\mathbb{R}_+^*\)
\(e^x\)	\(e^x\)	\(\mathbb{R}\)
\(\ln x\)	\(\dfrac{1}{x}\)	\(\mathbb{R}_+^*\)
\(\sin x\)	\(\cos x\)	\(\mathbb{R}\)
\(\cos x\)	\(-\sin x\)	\(\mathbb{R}\)

4.3. Règles opératoires

Opérations sur les dérivées

Opération	Dérivée
\(k\,f\)	\(k\,f'\)
\(f + g\)	\(f' + g'\)
\(f \times g\)	\(f'\,g + f\,g'\)
\(\dfrac{f}{g}\)	\(\dfrac{f'\,g - f\,g'}{g^2}\)

4.4. Dérivée de fonctions composées

Théorème — Dérivation en chaîne
Si \(f = g \circ u\) (c'est-à-dire \(f(x) = g\big(u(x)\big)\)), alors : \[\boxed{f'(x) = u'(x) \times g'\big(u(x)\big)}\]

Cas particuliers fondamentaux :

Fonction	Dérivée
\(\big[u(x)\big]^n\)	\(n\,u'(x)\,\big[u(x)\big]^{n-1}\)
\(e^{u(x)}\)	\(u'(x)\,e^{u(x)}\)
\(\ln\big(u(x)\big)\)	\(\dfrac{u'(x)}{u(x)}\)
\(\sqrt{u(x)}\)	\(\dfrac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}\)

Exemple

Dériver \(f(x) = e^{3x^2 - 1}\).

On pose \(u(x) = 3x^2 - 1\), donc \(u'(x) = 6x\).

\(f(x) = e^{u(x)}\), d'où \(f'(x) = u'(x)\,e^{u(x)} = 6x\,e^{3x^2 - 1}\).

Exemple

Dériver \(g(x) = \ln(x^2 + 4)\).

On pose \(u(x) = x^2 + 4\), donc \(u'(x) = 2x\).

\(g'(x) = \dfrac{u'(x)}{u(x)} = \dfrac{2x}{x^2 + 4}\).

Mini-exercice : Dériver \(h(x) = (2x + 1)^4\) puis \(k(x) = \sqrt{x^2 + 9}\).

5. Fonctions logarithme népérien et exponentielle

5.1. Fonction exponentielle

Définition
La fonction exponentielle est l'unique fonction \(f\) dérivable sur \(\mathbb{R}\) telle que : \[f' = f \quad \text{et} \quad f(0) = 1\] On la note \(\exp\) ou \(x \mapsto e^x\).

Propriétés algébriques
Pour tous \(a, b \in \mathbb{R}\) :

\(e^{a+b} = e^a \times e^b\)
\(e^{a-b} = \dfrac{e^a}{e^b}\)
\(\left(e^a\right)^n = e^{na}\)
\(e^0 = 1\) ; \(e^x > 0\) pour tout \(x\)

Limites fondamentales
\[\lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty \qquad \lim_{x \to -\infty} e^x = 0\] \[\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1\]

5.2. Fonction logarithme népérien

Définition
Le logarithme népérien est la fonction réciproque de l'exponentielle : \[\forall x > 0,\; y = \ln x \Longleftrightarrow x = e^y\] Domaine : \(]0\,;\,+\infty[\). Image : \(\mathbb{R}\).

Propriétés algébriques
Pour tous \(a, b > 0\) :

\(\ln(a \times b) = \ln a + \ln b\)
\(\ln\!\left(\dfrac{a}{b}\right) = \ln a - \ln b\)
\(\ln(a^n) = n\,\ln a\)
\(\ln 1 = 0\) ; \(\ln e = 1\)
\(\ln\!\left(\sqrt{a}\right) = \frac{1}{2}\,\ln a\)

Limites fondamentales
\[\lim_{x \to +\infty} \ln x = +\infty \qquad \lim_{x \to 0^+} \ln x = -\infty\] \[\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1\]

Relation fondamentale : \[\ln\big(e^x\big) = x \quad \forall x \in \mathbb{R} \qquad e^{\ln x} = x \quad \forall x > 0\]

5.3. Résolution d'équations et inéquations

Méthode — Résoudre des équations exponentielles et logarithmiques

\(e^{f(x)} = e^{g(x)} \Longleftrightarrow f(x) = g(x)\)
\(e^{f(x)} = k > 0 \Longleftrightarrow f(x) = \ln k\)
\(\ln\big(f(x)\big) = \ln\big(g(x)\big) \Longleftrightarrow f(x) = g(x)\) (avec \(f(x)>0\), \(g(x)>0\))
\(\ln\big(f(x)\big) = k \Longleftrightarrow f(x) = e^k\) (avec \(f(x)>0\))

Pour les inéquations, utiliser le sens de variation (\(\exp\) et \(\ln\) strictement croissantes).

Exemple

Résoudre \(2\,e^{3x-1} = 10\).

\(e^{3x-1} = 5\), donc \(3x - 1 = \ln 5\), d'où \(x = \dfrac{1 + \ln 5}{3} \approx 0{,}87\).

Mini-exercice : Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l'équation \(\ln(2x - 1) = 3\).

6. Fonctions puissances

Définition — Fonction puissance \(x^{\alpha}\)
Pour \(\alpha \in \mathbb{R}\) et \(x > 0\), on définit : \[x^{\alpha} = e^{\alpha \ln x}\] Cette définition prolonge la notion de puissance entière à tout exposant réel.

Propriétés
Pour \(x > 0\), \(y > 0\) et \(\alpha, \beta \in \mathbb{R}\) :

\(x^{\alpha} \times x^{\beta} = x^{\alpha + \beta}\)
\(\dfrac{x^{\alpha}}{x^{\beta}} = x^{\alpha - \beta}\)
\((x^{\alpha})^{\beta} = x^{\alpha\beta}\)
\((xy)^{\alpha} = x^{\alpha}\,y^{\alpha}\)

Dérivée
\[\frac{d}{dx}\left(x^{\alpha}\right) = \alpha\,x^{\alpha - 1} \qquad (x > 0)\]

Exemple

Dériver \(f(x) = x^{3/2}\) pour \(x > 0\).

\(f'(x) = \frac{3}{2}\,x^{1/2} = \frac{3}{2}\sqrt{x}\).

7. Étude complète de fonction

Méthode — Étude complète

Domaine de définition \(\mathcal{D}_f\)
Parité / périodicité éventuelle (réduction du domaine d'étude)
Limites aux bornes du domaine — asymptotes
Dérivée \(f'(x)\) — signe de \(f'\) — tableau de variations
Points remarquables : zéros de \(f\), extrema, points d'inflexion
Représentation graphique

Asymptotes

Asymptote horizontale \(y = \ell\) si \(\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \ell\)
Asymptote verticale \(x = a\) si \(\lim_{x \to a} f(x) = \pm\infty\)
Asymptote oblique \(y = ax + b\) si \(\lim_{x \to \pm\infty} \big[f(x) - (ax+b)\big] = 0\)

Exemple — Étude de \(f(x) = x\,e^{-x}\)

1. Domaine : \(\mathcal{D}_f = \mathbb{R}\).

2. Limites :

\(\lim_{x \to +\infty} x\,e^{-x} = \lim \dfrac{x}{e^x} = 0\) (croissances comparées) — asymptote horizontale \(y = 0\) en \(+\infty\)
\(\lim_{x \to -\infty} x\,e^{-x} = -\infty\) (car \(x \to -\infty\) et \(e^{-x} \to +\infty\))

3. Dérivée : \(f'(x) = e^{-x} + x\,(-e^{-x}) = e^{-x}(1 - x)\).

Comme \(e^{-x} > 0\), le signe de \(f'(x)\) est celui de \(1 - x\).

\(f'(x) > 0\) si \(x < 1\) — \(f\) croissante
\(f'(x) = 0\) si \(x = 1\) — maximum
\(f'(x) < 0\) si \(x > 1\) — \(f\) décroissante

4. Maximum : \(f(1) = 1 \times e^{-1} = \dfrac{1}{e} \approx 0{,}37\).

8. Développements limités en 0 (Approximation locale)

8.1. Définition

Définition — Développement limité en 0
Soit \(f\) une fonction définie au voisinage de \(0\). On dit que \(f\) admet un développement limité (DL) d'ordre \(n\) en \(0\) s'il existe des réels \(a_0, a_1, \ldots, a_n\) tels que : \[f(x) = a_0 + a_1\,x + a_2\,x^2 + \cdots + a_n\,x^n + x^n\,\varepsilon(x)\] où \(\varepsilon(x) \to 0\) quand \(x \to 0\).
Le polynôme \(a_0 + a_1\,x + \cdots + a_n\,x^n\) est la partie régulière du DL, et \(x^n\,\varepsilon(x)\) est le reste.

Interprétation
Au voisinage de \(0\), la fonction \(f(x)\) est approchée par un polynôme. Plus l'ordre \(n\) est élevé, meilleure est l'approximation. Le DL d'ordre 1 donne l'approximation affine (tangente).

8.2. DL usuels à connaître

Développements limités usuels au voisinage de \(0\) : \[e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots + \frac{x^n}{n!} + x^n\,\varepsilon(x)\] \[\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots + (-1)^{n+1}\frac{x^n}{n} + x^n\,\varepsilon(x)\] \[\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots\] \[\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots\] \[\frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots + x^n + x^n\,\varepsilon(x)\] \[(1+x)^{\alpha} = 1 + \alpha\,x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}\,x^2 + \cdots \qquad (\alpha \in \mathbb{R})\]

Attention
Les DL ci-dessus sont valables au voisinage de \(0\) uniquement. Pour un DL au voisinage d'un point \(a \neq 0\), on pose \(h = x - a\) et on écrit le DL en \(h\) au voisinage de \(0\).

8.3. Application : équation de la tangente

Tangente par DL
Le DL d'ordre 1 de \(f\) en \(0\) est \(f(x) = f(0) + f'(0)\,x + x\,\varepsilon(x)\).
L'équation de la tangente à la courbe de \(f\) au point d'abscisse \(0\) est donc : \[\boxed{y = f(0) + f'(0)\,x}\] C'est la partie régulière du DL d'ordre 1.

Exemple

Trouver l'équation de la tangente à \(f(x) = e^x\) en \(x = 0\).

DL d'ordre 1 : \(e^x = 1 + x + x\,\varepsilon(x)\).

Tangente : \(y = 1 + x\).

8.4. Position de la courbe par rapport à la tangente

Méthode — Position courbe/tangente
On écrit le DL d'ordre 2 (ou plus) de \(f(x)\). La différence \(f(x) - y_T(x)\) (où \(y_T\) est la tangente) est donnée par les termes de degré \(\geq 2\) du DL :

Si le premier terme non nul après la tangente est \(a_2\,x^2\) avec \(a_2 > 0\) : la courbe est au-dessus de la tangente au voisinage de \(0\)
Si \(a_2 < 0\) : la courbe est en dessous de la tangente
Si \(a_2 = 0\) et le premier terme non nul est de degré impair : point d'inflexion (la courbe traverse la tangente)

Exemple — Position pour \(e^x\)

DL d'ordre 2 : \(e^x = 1 + x + \dfrac{x^2}{2} + x^2\,\varepsilon(x)\).

Tangente : \(y = 1 + x\). Donc \(f(x) - y_T = \dfrac{x^2}{2} + x^2\,\varepsilon(x) \approx \dfrac{x^2}{2} > 0\) au voisinage de \(0\).

La courbe de \(e^x\) est au-dessus de sa tangente en \(0\) (ce qui est cohérent avec la convexité de l'exponentielle).

8.5. Utilisation d'un logiciel de calcul formel

Méthode — Déterminer un DL avec un logiciel
En pratique, les développements limités se calculent à l'aide d'un logiciel de calcul formel (CAS) :

Python (SymPy) : from sympy import *; x = symbols('x'); series(exp(x), x, 0, 5)
GeoGebra CAS : commande TaylorPolynomial(f, 0, n)
Calculatrice : menu Calcul formel → Développement de Taylor

Le logiciel fournit la partie régulière du DL à l'ordre souhaité, que l'on peut ensuite exploiter pour l'étude locale.

Exemple — Vérification par logiciel

On souhaite le DL d'ordre 4 de \(f(x) = \dfrac{1}{1+x^2}\) en \(0\).

On sait que \(\dfrac{1}{1-u} = 1 + u + u^2 + \cdots\). En posant \(u = -x^2\) :

\(\dfrac{1}{1+x^2} = 1 - x^2 + x^4 - \cdots\)

Un logiciel confirme : series(1/(1+x**2), x, 0, 5) donne \(1 - x^2 + x^4 + O(x^5)\).

8.6. Visualisation : fonction et ses approximations

Comparaison de \(e^x\) avec ses DL d'ordre 1, 2 et 3 au voisinage de \(0\).

À retenir sur les DL :

Un DL d'ordre \(n\) approche \(f(x)\) par un polynôme de degré \(n\) au voisinage de \(0\)
DL d'ordre 1 = tangente ; DL d'ordre 2 = position courbe/tangente
Connaître les DL usuels de \(e^x\), \(\ln(1+x)\), \(\sin x\), \(\cos x\), \(\frac{1}{1-x}\), \((1+x)^\alpha\)

9. Courbes paramétrées

9.1. Définition

Définition — Courbe paramétrée
Une courbe paramétrée dans le plan est définie par : \[\begin{cases} x = f(t) \\ y = g(t) \end{cases} \qquad t \in I\] où \(f\) et \(g\) sont des fonctions d'une variable réelle \(t\) (le paramètre) et \(I\) est un intervalle de \(\mathbb{R}\).
À chaque valeur de \(t\), on associe le point \(M(t) = \big(f(t)\,,\,g(t)\big)\) du plan.

Remarque
Contrairement à une courbe \(y = f(x)\), une courbe paramétrée peut se recouper et ne passe pas nécessairement le « test de la droite verticale ». Le paramètre \(t\) représente souvent le temps (trajectoire d'un objet).

9.2. Tableau de variation conjoint

Méthode — Construire un tableau de variation conjoint

Calculer \(f'(t)\) et \(g'(t)\)
Étudier le signe de \(f'(t)\) (variations de \(x\)) et de \(g'(t)\) (variations de \(y\))
Construire un tableau à trois lignes :
- Ligne 1 : valeurs de \(t\)
- Ligne 2 : variations de \(x = f(t)\) (flèches ↗ ou ↘)
- Ligne 3 : variations de \(y = g(t)\) (flèches ↗ ou ↘)
En combinant les deux lignes, on déduit la direction de parcours de la courbe

9.3. Vecteur tangent

Définition — Vecteur tangent
En un point \(M(t)\) de la courbe, le vecteur tangent (ou vecteur dérivé) est : \[\vec{V}(t) = \begin{pmatrix} f'(t) \\ g'(t) \end{pmatrix}\] Ce vecteur indique la direction de la tangente à la courbe et le sens de parcours.

Attention — Point singulier
Si \(f'(t_0) = 0\) et \(g'(t_0) = 0\) simultanément, le vecteur tangent est nul : on parle de point singulier. L'étude de la tangente nécessite alors un calcul plus approfondi (DL du paramétrage).

Équation de la tangente
Si \(f'(t_0) \neq 0\), la tangente au point \(M(t_0) = \big(x_0, y_0\big)\) a pour pente : \[p = \frac{g'(t_0)}{f'(t_0)}\] et son équation est : \[y - y_0 = \frac{g'(t_0)}{f'(t_0)}\,(x - x_0)\]

9.4. Construction pas à pas

Méthode — Tracer une courbe paramétrée

Déterminer l'intervalle d'étude et les éventuelles symétries
Calculer les dérivées \(f'(t)\) et \(g'(t)\), trouver leurs zéros
Construire le tableau de variation conjoint
Calculer les coordonnées des points remarquables (extrémités, points où \(f'=0\) ou \(g'=0\))
Tracer les vecteurs tangents en quelques points clés
Relier les points en respectant le sens de parcours et les tangentes

9.5. Exemple : trajectoire parabolique

Contexte BTS — Arc parabolique en architecture

Un architecte dessine un arc parabolique pour la structure d'un hangar de stockage. La forme de l'arc est décrite par un paramétrage où \(t\) représente un paramètre de position le long de l'arc.

Exemple — Courbe paramétrée polynomiale

On considère la courbe paramétrée :

\[\begin{cases} x(t) = 2t \\ y(t) = -t^2 + 4 \end{cases} \qquad t \in [-3\,;\,3]\]

1. Dérivées : \(x'(t) = 2\) et \(y'(t) = -2t\).

\(x'(t) = 2 > 0\) pour tout \(t\) : \(x\) est toujours croissante.

\(y'(t) = 0 \Leftrightarrow t = 0\). \(y'(t) > 0\) si \(t < 0\), \(y'(t) < 0\) si \(t > 0\).

2. Points remarquables :

\(t\)	\(-3\)	\(-2\)	\(-1\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)
\(x\)	\(-6\)	\(-4\)	\(-2\)	\(0\)	\(2\)	\(4\)	\(6\)
\(y\)	\(-5\)	\(0\)	\(3\)	\(4\)	\(3\)	\(0\)	\(-5\)

3. Vecteur tangent en \(t = 0\) : \(\vec{V}(0) = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix}\) — tangente horizontale au sommet.

Vecteur tangent en \(t = 1\) : \(\vec{V}(1) = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \end{pmatrix}\) — pente \(\frac{-2}{2} = -1\).

4. Équation cartésienne : De \(x = 2t\), on tire \(t = \frac{x}{2}\), d'où \(y = -\frac{x^2}{4} + 4\). C'est bien une parabole de sommet \((0\,;\,4)\).

Exemple — Trajectoire d'un matériau en chute

Un charpentier laisse tomber une pièce de bois depuis une passerelle en mouvement. La trajectoire est modélisée par :

\[\begin{cases} x(t) = 1{,}5\,t \\ y(t) = 3 - 4{,}9\,t^2 \end{cases} \qquad t \geq 0\]

C'est une courbe paramétrée polynomiale (\(\deg \leq 2\)). Le vecteur tangent est \(\vec{V}(t) = \begin{pmatrix} 1{,}5 \\ -9{,}8\,t \end{pmatrix}\).

En \(t = 0\) : \(\vec{V}(0) = \begin{pmatrix} 1{,}5 \\ 0 \end{pmatrix}\) (départ horizontal). La composante verticale augmente en valeur absolue : la trajectoire s'incurve vers le bas.

Courbe paramétrée \(x = 2t\), \(y = -t^2 + 4\) pour \(t \in [-3\,;\,3]\).

À retenir sur les courbes paramétrées :

Définies par \(\begin{cases} x = f(t) \\ y = g(t) \end{cases}\), le paramètre \(t\) parcourt un intervalle
Le vecteur tangent est \(\vec{V}(t) = \begin{pmatrix} f'(t) \\ g'(t) \end{pmatrix}\)
Le tableau de variation conjoint permet de reconstituer le tracé
En BTS, on se limite aux fonctions polynomiales de degré \(\leq 2\)

10. Applications — Modélisation

10.1. Décroissance radioactive / Loi de refroidissement de Newton

Modèle exponentiel décroissant
Lorsqu'une grandeur \(y\) décroît proportionnellement à sa valeur actuelle, elle suit une loi de la forme : \[\boxed{y(t) = y_0\,e^{-kt}} \qquad (k > 0)\]

\(y_0\) : valeur initiale
\(k\) : constante de décroissance
Demi-vie : \(t_{1/2} = \dfrac{\ln 2}{k}\)

Exemple — Refroidissement d'un local

Un local technique est à \(T_0 = 22\,°\text{C}\). Le chauffage est coupé, la température extérieure est \(T_{\text{ext}} = 5\,°\text{C}\). La constante de refroidissement est \(k = 0{,}12\,\text{h}^{-1}\).

\(T(t) = 5 + 17\,e^{-0{,}12\,t}\)

Question : Au bout de combien d'heures la température passe-t-elle sous \(12\,°\text{C}\) ?

\(T(t) = 12 \Longleftrightarrow 5 + 17\,e^{-0{,}12\,t} = 12 \Longleftrightarrow e^{-0{,}12\,t} = \dfrac{7}{17}\)

\(-0{,}12\,t = \ln\!\left(\dfrac{7}{17}\right) \Longrightarrow t = \dfrac{-\ln(7/17)}{0{,}12} = \dfrac{\ln(17/7)}{0{,}12} \approx 7{,}4\,\text{h}\)

La température passe sous \(12\,°\text{C}\) au bout d'environ 7 h 24 min.

10.2. Dépréciation d'un équipement

Exemple — Dépréciation exponentielle

Une chaudière industrielle achetée \(25\,000\,€\) se déprécie selon \(V(t) = 25\,000\,e^{-0{,}15\,t}\) (en euros, \(t\) en années).

Valeur après 5 ans : \(V(5) = 25\,000\,e^{-0{,}75} \approx 11\,809\,€\)
Taux de dépréciation instantané à \(t = 5\) : \(V'(5) = -0{,}15 \times 11\,809 \approx -1\,771\,€/\text{an}\)
Durée pour atteindre \(5\,000\,€\) : \(t = \dfrac{\ln(25\,000/5\,000)}{0{,}15} = \dfrac{\ln 5}{0{,}15} \approx 10{,}7\,\text{ans}\)

10.3. Optimisation de coûts

Exemple — Coût de production

Le coût total de fabrication de \(x\) éléments de charpente (en dizaines) est modélisé par :

\[C(x) = 0{,}5\,x^3 - 6\,x^2 + 25\,x + 50 \qquad (x \in [1\,;\,10])\]

Le coût moyen par dizaine est \(\bar{C}(x) = \dfrac{C(x)}{x} = 0{,}5\,x^2 - 6\,x + 25 + \dfrac{50}{x}\).

Pour minimiser \(\bar{C}\), on dérive : \(\bar{C}'(x) = x - 6 - \dfrac{50}{x^2}\).

On résout numériquement \(\bar{C}'(x) = 0\) et on trouve \(x \approx 7{,}0\). Le coût moyen est minimal pour une production d'environ 70 éléments.

L'essentiel du chapitre :

Domaine, parité, périodicité : préalables à toute étude de fonction
Limites : résultat en \(\pm\infty\) et en un point ; 7 formes indéterminées à lever
Croissances comparées : \(e^x \gg x^n \gg \ln x\)
TVI : existence (et unicité si monotonie) de solutions d'équations
Dérivation : tableau des dérivées, règles opératoires, dérivation en chaîne
\(\ln\) et \(\exp\) : fonctions réciproques, propriétés algébriques, limites
Fonctions puissances : \(x^{\alpha} = e^{\alpha\ln x}\)
Étude de fonction : domaine, limites, dérivée, tableau de variations, graphique
Développements limités : approximation locale, tangente, position courbe/tangente
Courbes paramétrées : vecteur tangent, tableau de variation conjoint, tracé
Applications : refroidissement de Newton, dépréciation, optimisation de coûts