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Interrogation — Ch02 : Fonctions d'une variable réelle

BTS | Mathématiques | Durée : 40 min | /20

Dernière mise à jour : 21 juin 2026

Nom : _____ Prénom : _____ Date : _____

Exercice 1 — Domaine de définition (3 pts)

Déterminer le domaine de définition de chacune des fonctions suivantes.

  1. \(f(x) = \dfrac{\sqrt{x + 3}}{x - 2}\) (1,5 pt)
  2. \(g(x) = \ln(3x - 6)\) (1,5 pt)

Exercice 2 — Limites (4 pts)

Calculer les limites suivantes en précisant la méthode.

  1. \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{2x^2 - 3x + 1}{5x^2 + 4}\) (1,5 pt)
  2. \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} x^3\,e^{-x}\) (1,5 pt)
  3. \(\displaystyle\lim_{x \to 0^+} \ln(x)\) (1 pt)

Exercice 3 — Dérivation (4 pts)

Dériver les fonctions suivantes (préciser \(u\) et \(u'\) pour les fonctions composées).

  1. \(f(x) = e^{2x^2 - 1}\) (1,5 pt)
  2. \(g(x) = \ln(x^2 + 5)\) (1,5 pt)
  3. \(h(x) = (3x - 2)^4\) (1 pt)

Exercice 4 — Logarithme et exponentielle (4 pts)

  1. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l'équation \(3\,e^{2x - 1} = 12\). Donner la valeur exacte puis une valeur approchée. (2 pts)
  2. Résoudre dans son domaine l'équation \(\ln(3x + 1) = 2\). Vérifier la condition d'existence. (2 pts)

Exercice 5 — Étude locale et développement limité (5 pts)

On considère la fonction \(f(x) = \ln(1 + x)\), définie au voisinage de \(0\). On rappelle le développement limité :

\[\ln(1 + x) = x - \frac{x^2}{2} + x^2\,\varepsilon(x), \qquad \varepsilon(x) \to 0.\]

  1. Donner l'équation de la tangente \(T\) à la courbe de \(f\) au point d'abscisse \(0\). (2 pts)
  2. À l'aide du DL d'ordre 2, déterminer la position de la courbe de \(f\) par rapport à \(T\) au voisinage de \(0\). (3 pts)

Correction

Exercice 1 (3 pts)

a) Racine : \(x + 3 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge -3\). Dénominateur non nul : \(x - 2 \neq 0 \Leftrightarrow x \neq 2\). D'où \(\mathcal{D}_f = [-3\,;\,2[\,\cup\,]2\,;\,+\infty[\). (1,5 pt)

b) Logarithme : \(3x - 6 \gt 0 \Leftrightarrow x \gt 2\). D'où \(\mathcal{D}_g = \,]2\,;\,+\infty[\). (1,5 pt)

Exercice 2 (4 pts)

a) Forme \(\frac{\infty}{\infty}\). Termes dominants : \(\dfrac{2x^2}{5x^2} = \dfrac{2}{5}\). Donc \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{2x^2 - 3x + 1}{5x^2 + 4} = \dfrac{2}{5}\). (1,5 pt)

b) \(x^3\,e^{-x} = \dfrac{x^3}{e^x}\), forme \(\frac{\infty}{\infty}\). Par croissances comparées, \(e^x\) l'emporte sur \(x^3\), donc \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} x^3\,e^{-x} = 0\). (1,5 pt)

c) Limite de référence : \(\displaystyle\lim_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty\). (1 pt)

Exercice 3 (4 pts)

a) \(u(x) = 2x^2 - 1\), \(u'(x) = 4x\). Comme \((e^u)' = u'\,e^u\) : \(f'(x) = 4x\,e^{2x^2 - 1}\). (1,5 pt)

b) \(u(x) = x^2 + 5\), \(u'(x) = 2x\). Comme \((\ln u)' = \dfrac{u'}{u}\) : \(g'(x) = \dfrac{2x}{x^2 + 5}\). (1,5 pt)

c) \(u(x) = 3x - 2\), \(u'(x) = 3\), \(n = 4\). Comme \((u^n)' = n\,u'\,u^{n-1}\) : \(h'(x) = 4 \times 3 \times (3x - 2)^3 = 12\,(3x - 2)^3\). (1 pt)

Exercice 4 (4 pts)

a) \(3\,e^{2x-1} = 12 \Leftrightarrow e^{2x-1} = 4 \Leftrightarrow 2x - 1 = \ln 4\), donc \(x = \dfrac{1 + \ln 4}{2}\). Valeur approchée : \(\ln 4 \approx 1{,}386\), d'où \(x \approx \dfrac{2{,}386}{2} \approx 1{,}19\). (2 pts)

b) Condition d'existence : \(3x + 1 \gt 0 \Leftrightarrow x \gt -\dfrac{1}{3}\). \(\ln(3x+1) = 2 \Leftrightarrow 3x + 1 = e^2\), donc \(x = \dfrac{e^2 - 1}{3} \approx \dfrac{7{,}389 - 1}{3} \approx 2{,}13\). Cette valeur vérifie \(x \gt -\frac{1}{3}\) : solution \(x = \dfrac{e^2 - 1}{3}\). (2 pts)

Exercice 5 (5 pts)

a) Le DL d'ordre 1 est \(\ln(1+x) = 0 + x + x\,\varepsilon(x)\) (on a \(f(0) = \ln 1 = 0\) et \(f'(0) = 1\) car \(f'(x) = \dfrac{1}{1+x}\)). La partie régulière d'ordre 1 donne la tangente : \(T : y = x\). (2 pts)

b) DL d'ordre 2 : \(\ln(1+x) = x - \dfrac{x^2}{2} + x^2\,\varepsilon(x)\). La différence courbe − tangente vaut :

\(f(x) - y_T = \left(x - \dfrac{x^2}{2}\right) - x + x^2\,\varepsilon(x) = -\dfrac{x^2}{2} + x^2\,\varepsilon(x) \approx -\dfrac{x^2}{2}\).

Le premier terme non nul après la tangente est \(-\dfrac{x^2}{2}\), de coefficient \(a_2 = -\dfrac{1}{2} \lt 0\). Donc la courbe de \(f\) est en dessous de sa tangente \(T\) au voisinage de \(0\) (cohérent avec la concavité de \(\ln\)). (3 pts)

Total : 3 + 4 + 4 + 4 + 5 = 20 points.