Fiche résumé – Fonctions d'une variable réelle

Chapitre 2 | BTS | Mathématiques

Dernière mise à jour : 21 juin 2026

L'essentiel :

Domaine, parité, périodicité : préalables à toute étude de fonction.
Croissances comparées : \(e^x \gg x^n \gg \ln x\) en \(+\infty\).
TVI : existence (et unicité si strictement monotone) d'une solution à \(f(x)=k\).
Dérivation en chaîne : \((g\circ u)'=u'\times g'(u)\). \(\ln\) et \(\exp\) sont réciproques.
DL d'ordre 1 = tangente ; DL d'ordre 2 = position courbe/tangente.

Définitions clés

Définition

Domaine \(\mathcal{D}_f\) : valeurs de \(x\) où \(f(x)\) existe (dénominateur \(\neq 0\), radicande \(\ge 0\), argument de \(\ln\) \(\gt 0\)).

Définition

Continuité en \(a\) : \(f(a)\) existe et \(\lim_{x\to a}f(x)=f(a)\). TVI : si \(f\) continue sur \([a;b]\) et \(k\) entre \(f(a)\) et \(f(b)\), alors \(\exists\, c\) tel que \(f(c)=k\) (unique si \(f\) strictement monotone).

Définition

Développement limité d'ordre \(n\) en 0 : \(f(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n+x^n\varepsilon(x)\) avec \(\varepsilon(x)\to 0\). Approche \(f\) par un polynôme au voisinage de 0.

Limites et formes indéterminées

Croissances comparées (à mémoriser) \[\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{x^n}=+\infty \qquad \lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x^n}=0\]

Limites usuelles : \(\lim_{x\to+\infty}e^x=+\infty\), \(\lim_{x\to-\infty}e^x=0\), \(\lim_{x\to 0^+}\ln x=-\infty\).

Attention — Formes indéterminées \[\frac{0}{0},\quad \frac{\infty}{\infty},\quad 0\times\infty,\quad \infty-\infty,\quad 0^0,\quad 1^{\infty},\quad \infty^0\]

On ne conclut pas directement : factoriser, conjuguer ou utiliser les croissances comparées. Pour un quotient de polynômes, factoriser par le terme de plus haut degré (la limite est celle du quotient des termes dominants).

Dérivées à connaître

Fonctions usuelles et opérations

\(f\)	\(f'\)	Opération	Dérivée
\(x^n\)	\(n\,x^{n-1}\)	\(f\times g\)	\(f'g+fg'\)
\(\sqrt{x}\)	\(\frac{1}{2\sqrt{x}}\)	\(\frac{f}{g}\)	\(\frac{f'g-fg'}{g^2}\)
\(e^x\)	\(e^x\)	\(e^{u}\)	\(u'\,e^{u}\)
\(\ln x\)	\(\frac{1}{x}\)	\(\ln(u)\)	\(\frac{u'}{u}\)
\(\sin x\)	\(\cos x\)	\([u]^n\)	\(n\,u'\,[u]^{n-1}\)
\(\cos x\)	\(-\sin x\)	\(\sqrt{u}\)	\(\frac{u'}{2\sqrt{u}}\)

Logarithme et exponentielle \[e^{a+b}=e^a e^b \qquad \ln(ab)=\ln a+\ln b \qquad \ln(a^n)=n\ln a\] \[\ln(e^x)=x \;(\forall x) \qquad e^{\ln x}=x \;(x\gt 0) \qquad x^{\alpha}=e^{\alpha\ln x}\;(x\gt 0)\]

Développements limités usuels en 0

\[e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots\] \[\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots\] \[\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \cdots \qquad \cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \cdots\] \[\frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + \cdots \qquad (1+x)^{\alpha} = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2 + \cdots\]

Tangente en 0 : \(y=f(0)+f'(0)\,x\). Position : signe du 1er terme de degré \(\ge 2\) (\(\gt 0\) : courbe au-dessus).

Méthode — Étude complète de fonction

Méthode

Domaine \(\mathcal{D}_f\) ; parité / périodicité éventuelle.
Limites aux bornes → asymptotes (horizontale \(y=\ell\), verticale \(x=a\), oblique \(y=ax+b\)).
Dérivée \(f'\), signe de \(f'\) → tableau de variations.
Points remarquables (extrema, zéros) puis tracé.

Méthode — Courbe paramétrée

\(\begin{cases}x=f(t)\\ y=g(t)\end{cases}\) — vecteur tangent \(\vec V(t)=\binom{f'(t)}{g'(t)}\), pente \(\dfrac{g'(t)}{f'(t)}\). Tableau de variation conjoint (lignes \(t\), \(x\), \(y\)) pour reconstituer le tracé. En BTS : polynômes de degré \(\le 2\).

Erreurs fréquentes

Attention

❌ Conclure directement sur une forme indéterminée.

✅ Lever l'indétermination (factorisation, croissances comparées) avant de conclure.

❌ Oublier la condition d'existence \(\gt 0\) avant de résoudre une équation en \(\ln\).

✅ Toujours poser le domaine, puis \(\ln(f(x))=k \Leftrightarrow f(x)=e^k\).

❌ Oublier le facteur \(u'\) dans la dérivation en chaîne.

✅ \((e^{u})'=u'e^{u}\), \((\ln u)'=\frac{u'}{u}\) — ne jamais omettre \(u'\).

❌ Appliquer un DL usuel ailleurs qu'au voisinage de 0.

✅ Pour un DL en \(a\neq 0\), poser \(h=x-a\) et écrire le DL en \(h\) en 0.